以数形结合实现对比值定义理解的案例分析
邵邦武
摘 ? ?要：现行的初中物理教材中有众多的物理概念都是用比值定义法来定义的。然而，教材中并没有明确阐释比值定义法的本质，造成物理概念的量度公式被符号形式化，忽视了物理量背后的本质属性。文章以数形结合的方式，将抽象思维与形象思维相结合，通过实例分析比值定义的本质特征，让学生理解比值定义的内涵，感悟定义新物理量的方法，提升科学素养。
关键词：比值定义;数形结合;教学设计;案例分析
中图分类号：G633.7 文献标识码：A ? ?文章编号：1003-6148（2020）10-0028-5
1 ? ?比值定义法的重要性
初二学生自开始学习物理后，就逐渐在认识物理世界，在这过程中除了要观察、了解各种物理现象，还会遇到许多物理概念，只有真正地理解这些概念才称得上“认识”物理。在诸多物理概念中有相当一部分是用比值定义法得出的，比如速度、密度、功率、效率、比热容、热值、电流、电阻等。所谓比值定义法，就是用两个或多个基本物理量的“比”来定义一个新物理量的方法。比值定义法的基本特点是被定义的物理量往往反映的是物质本质的属性，它不随参与定义的物理量大小改变而改变[1]。
2 ? ?理解比值定义的困难所在
比值定义法在众多物理概念的定义中占有重要的地位。然而，现行的初中物理教材没有专门的章节来介绍比值定义方面的内容，也没有明确说明为何要进行比值定义，其本质意义何在？這给学生的学习造成许多困惑，也给教师的教学带来困难。用比值定义法建立物理概念时，如果没有搞清概念表达的属性，没有从量度公式中理解它们的物理过程及物理符号的真实含义，就容易使得这些量度公式被符号形式化，忽视了物理量的丰富内容，导致学生死记硬背和乱用。因此，教学中需要采用有效的教学方式对比值定义进行较为全面、深入的分析，这对后续学习物理是非常有益的。通过实践探索发现，用数形结合的方法可以有效攻克难点，体现其独到的教学优势。
3 ? ?数形结合的应用优势
数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，将原本需要通过抽象思维解决的问题，借助形象思维就能够解决，有利于抽象思维和形象思维的协调发展，同时优化解决问题的方法[2]。正是基于这种处理问题的方法，在初中物理课堂中尝试采用数形结合的方法进行比值定义的教学，目的就是要将比值所表征的抽象本质通过直观的图像呈现出来，降低学生的理解难度，直达本质内涵。
4 ? ?数形结合认识比值定义的教学设计
初中学生认识物理世界是从运动开始的，所以我们的教学设计从速度概念的建立开始，利用数形结合从比值定义法中找到规律，认识本质特征，并能依此尝试定义新物理量。
4.1 ? ?教学目标
（1）掌握数形结合的思维方法，明白图像所蕴含的物理意义;
（2）理解比值定义的内涵，会用比值法来定义新物理量。
4.2 ? ?教学思路
（1）初步感受。通过讲授匀速直线运动中速度的概念，让学生体验如何通过数形结合的方法进行比值定义。
（2）进阶训练。通过观察自由落体运动现象，根据时间、位移和速度的相关数据，描绘出v-t图像，尝试用比值定义的方法定义重力加速度。
（3）实战应用。通过探究弹簧所受弹力与伸长量关系的实验，让学生自行从中发现规律并定义出新的物理量——劲度系数。
4.3 ? ?新课引入
情境创设：小敏1岁时身高为50 cm，3岁时身高增了20 cm ，5岁时又长了20 cm ，到了7岁时身高已达120 cm。
提问：描述小敏的身高变化。
换成图像来表达这个信息，看看有何不同？（图1）
设计意图：在新课教学前让学生先体会“数”与“形”，从中感受图像比语言表达的信息更加直观形象，能够更清晰地反映事物的本质特征和预测事物发展的趋势。图像其实是“数”和“形”的有机结合体。“形”就是“图线”，“数”就是其中所蕴含的数学表达式，数形结合能够揭示数据背后用语言无法完整表达的基本形态和发展趋势。所以，采用数形结合的方法来研究物理问题有重要的意义。
4.4 ? ?新课教学
4.4.1 ? ?数形结合初识比值定义法
情境创设：一辆小汽车在平直公路匀速行驶，研究者从某一时刻起每10 s对它进行一次定位，记录的数据见表1。
（1）分析表格中的数据，找出其中隐含的“不变量”——恒量。通过分析数据，找出路程与时间的比值是一个不变量。但这个恒量仍比较抽象，表征的意义也不够直观。
（2）用描点法作出小汽车的s-t关系图像，并从中找出规律，如图2所示。
从图像中可以发现，路程以一种固定的趋势随时间变化，表现为图像的斜率不变，因此斜率就是我们要找的“不变量”，它表征小汽车运动快慢不变的本质特征，且不随路程和时间的改变而改变。在s-t图中斜率是路程与时间的“比值”，这个“比值”有特定的物理意义，在这里人们把它定义为“速度”。
从以上两种方式中提炼出共同的做法：用比的方法来找“不变量”，从而提出比值定义法。最后，抽象概括出此比值为反映事物本质属性的一个新的物理量，与定义式里的物理量并没有关系，是一个不变量。
设计意图：运用“数”与“形”的结合，将抽象的物理知识具象到数字与图形中，更加有利于学生去理解。相对于数据，图像对于情境的描述更加直观，更容易观察到数据的变化规律，找出本质特征。因此，用数形结合的方式进行比值定义的教学，可以让比值代表的内涵更具体化和显性化，有助于对物理量本质的理解。
4.4.2 ? ?数形结合进行比值定义的思维过程
不管是用“数”还是“形”进行比值定义物理量时，都是寻求一个“不变量”，在寻找这个“不变量”时有两种思维方式，如图3所示。一种是抽象思维，另一种是形象思维。数形结合，一方面是将抽象思维和形象思维协调发展，将原本需要通过抽象思维解决的问题，借助形象思维进行显性化处理，优化了解决问题的方法。另一方面，通过数形结合的方法对物理情境进行分析，促进学生从感性认知上升到理性认知，学会利用科学方法获得新知识，并且能够以文字或公式的形式定义新知识。这两种思维方式相辅相成，相得益彰。
4.4.3 ? ?進阶尝试：数形结合定义重力加速度
情境：据记载，1590年出生在比萨城的意大利物理学家伽利略，曾在比萨斜塔上做自由落体实验，他将一个重10磅、一个重1磅的铁球从相同的高度同时扔下，结果两个铁球同时落地，由此发现了自由落体定律。后来人们将羽毛和苹果放在真空管中做实验，发现它们同时落地。
提问：是什么力使得铁球下落？不同铁球都能同时落地，说明它们存在“共性”，能否给这个“共性”下个定义？
通过频闪照相机记录得到一个苹果做自由落体运动时的相关数据，见表2。
分析数据作出v-t图像，找出不变量，并尝试进行定义。在v-t图像中可直观得出线性图线，其斜率为9.8 m/s2（如图4所示），因此速度与时间的“比值”应该就是能反映自由落体运动共性特征的一个物理量，人们把它定义为重力加速度，用g表示，即g=v/t。所有物体在做自由落体运动时所获得的重力加速度都是一样的，与质量大小无关。
设计意图：重力加速度对初中生来说是个全新的物理量，虽然之前没有见过，但通过数形结合画出的v-t图像与前面匀速直线运动的s-t图像特征相似，通过思维迁移，不难发现该线性图像的斜率也是不变的，同时也代表一个物理量。由此，让学生感受到利用数形结合的方法可以更直观地发现规律，自己也能够轻易地用“比值”来定义新物理量，从而加深对比值定义的理解，感悟它的本质内涵。
4.4.4 ? ?实战演练：数形结合定义“新”物理量——弹簧的劲度系数
探究“弹簧伸长量与弹力的关系”时，让学生观察实验现象，发现规律并自行定义弹簧的劲度系数。如图5所示，在一块展示板（板面贴一张方格纸）上挂5根一样的弹簧，第一根不挂钩码，原长7 cm ，后面4根分别挂上1至4个钩码，当弹簧静止时标记弹簧末端的位置，用刻度尺测量弹簧的长度，记录数据（见表3）。
直接看表格中的数据，简单地将，并不能得出不变量。于是，把实验展板上的钩码取下，将展板白纸上弹簧末端的标记点连接起来，发现正好是一条直线，将展板旋转90°，再画上横坐标（长度L）和纵坐标（拉力F），如图6所示，可以看出线性关系。不过在求斜率时发现自变量不能是弹簧总长L，而应该选取伸长量Δx（Δx=L-L0），因此求出斜率k=，也就找出了不变量。如前面的s-t图像一样，意味着这条直线的斜率代表一个物理量，我们可以给它下一个定义：在弹性限度内，弹性体弹力的大小跟弹性体伸长（或缩短）长度的比值叫做弹性体的劲度系数。于是，弹力与伸长量的关系就可以写成F=kx。这个规律是英国科学家胡克发现的，因此称为胡克定律。为了证实这一定律，并扩大适用范围，胡克还做了大量实验，制作了各种材料构成的不同形状的弹性体，最终发现都符合这一规律。
设计意图：这个实验的巧妙之处在于4根完全相同的弹簧每次伸长量与所受拉力都能在同一个展板上保留，可以直观地进行比较。同时，将每根受力伸长的弹簧末端做上标记，取下弹簧和钩码后，将各个标记点连接起来，并画上两条坐标，就呈现出F-x关系的线性图，无需另外描点，数据真实，图像直观，学生一眼就能看出斜率是个定值，它反映的是弹性体的一种属性，可以用一个新物理量来定义。这也让学生更加确信，通过数形结合可以轻松定义出新的物理量，真切感受到数形结合在物理学习中的独特优势。
通过以上三个案例分析，可以发现用数形结合的方法进行比值定义，可以更直观地看出参与定义的物理量之间的正比关系，且比值是一个不变的恒量。该比值不随定义所用的物理量大小的改变而改变，可以抽象概括出此比值为反映事物本质属性的一个新的物理量。
4.4.5 ? ?比值定义中各物理量之间的关系
为了加深对比值定义的理解，我们还得让学生知道各个物理量之间的关系。这里有两组关系：一组是新物理量与参与定义的物理量之间的关系;另一组是参与定义的两个物理量之间的关系。
新定义的物理量是不变量，从图像上也可以清楚地看出它不随定义量的改变而改变，比值定义的物理量与参与定义的物理量之间没有因果关系[3]。例如，速度是描述物体运动快慢的物理量，它是通过位移与时间的比值来定义，位移是物体位置变化的表现，时间是物体运动持续性的表现。当物体做匀速直线运动时，位移和时间发生改变，但速度却保持不变，这三者虽然有关联，但速度与它们没有因果关系，速度大小的变化是由受力情况决定。
在比值定义的三个量中，比值量是“不变量”，而另外两个定义量是“变化量”，且它们都是正比的关系。这种根据“不变量”来研究“变化量”之间的正比关系有很强的应用价值。比如，“绿波带”行车原理。“绿波带”是通过信号灯控制，使汽车在按照建议的速度——“绿波速度”（如图7所示的指示牌上显示的时速为50 km～55 km），通过主动调控路口红绿灯，一路绿灯通行，形成绿色通行波带。简单来说，就是根据两个路口之间的距离和设计的车速，计算出两个路口之间的绿灯间隔时间。这里的不变量就是速度v，而变化量是路程s和时间t。如果车辆在上一个路口绿灯后按照设计的车速行驶，那么到达下一个路口的时候刚好也是绿灯，一路绿灯畅通无阻，减少交通延误。再如，弹簧测力计的工作原理。在弹性限度内弹簧伸长量Δx与所受拉力F成正比，其中不变量是劲度系数k，变化量是Δx与F，已知Δx就可以得到F。例如，某实验小组的同学对A、B 两根长度相同、粗细不同的橡皮筋进行探究，并做成橡皮筋测力计，将橡皮筋的一端固定，另一端悬挂钩码（如图8），记录橡皮筋受到的拉力大小F 和橡皮筋的伸长量Δx，根据多组测量数据作出的图像如图9所示， 将这两根细橡皮筋并联起来代替弹簧测力计，能够测量力的最大值为22.5 N。
5 ? ?总 ?结
用“数”的严谨和“形”的直观两者有机结合的方法认识比值定义，一方面能将抽象内涵具体化，更好地揭示所定义概念的本质属性。另一方面通过数形结合，让学生的抽象思维和形象思维得到整合训练，在变与不变的辩证研究中加深对概念内涵和外延的理解，感悟定义新物理量的方法，在学习中不断提升科学素养。
参考文献：
[1]王爱生，佟岩.初中教科书中引入比值法定义物理概念的思考与实践[J].物理教师，2007，28（3）：26-27.
[2]张桂峰.数形结合思想在初中数学教学中的应用[J].考试（中考版）， 2012（9）：42-44.
[3]郑渊方.比值定义物理量的思维本质及教学启示[J].物理教师，2015，36（4）：34-37.
（栏目编辑 ? ?邓 ? 磊）
