一种基于多涡卷混沌系统的切换调制保密通信
黄沄 赵卫峰++张鹏
摘 要： 考虑到现有切换调制保密通信的不足，设计了一种含有符号函数的同步控制器，并提出一种基于多涡卷混沌系统的切换调制保密通信方案。该方案解决了切换调制保密通信中驱动系统和响应系统过多的问题，同时也能解决驱动系统切换瞬间接收端的恢复信号与发送端的信息信号不一致的问题。理论分析与数值仿真结果的一致性表明了该切换调制保密通信方案的有效性。
关键词： 多涡卷混沌系统； 同步控制器； 切换调制； 保密通信
中图分类号： TN918.6?34 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2017）07?0028?04
A switching modulation secret communication based on multi?scroll chaotic system
HUANG Yun1， ZHAO Weifeng1， ZHANG Peng2
（1. Asset Management Department， Chongqing University of Posts and Telecommunications， Chongqing 400065， China；
2. Teaching Affair Office， Chongqing University of Posts and Telecommunications， Chongqing 400065， China）
Abstract： For the insufficient of the current switching modulation secret communication， a synchronous controller with sign function was designed， and a switching modulation secret communication scheme based on multi?scroll chaotic system is proposed. The scheme has solved the problems of overmany driving systems and response systems in the switching modulation secret communication， and inconsistent restoring signal of the receicing terminal and information signal of the transmitting terminal at the moment of the driving system swiching. The effectiveness of the switching modulation secret communication scheme was verified by the consistency of the theoretical analysis result and numerical simulation result.
Keywords： multi?scroll chaotic system； synchronization controller； switching modulation； secret communication
0 引 言
自文献[1?2]实现混沌同步以来，混沌同步及其在保密通信中的应用引起了国内外学者的广泛关注[3?12]。为了增加信息信号的保密性，已经发展了诸多种不同的混沌保密通信方案[6?12]。近来，一种切换调制保密通信方案被提出[10?12]。在这些切换调制保密通信中，通过开关切换驱动系统把信息信号掩蔽在多个混沌信号里，从而减少发射信号的相关性，并且进行多次非线性变换加密，增加发射信号的复杂度，进而提高保密通信的保密性。但是，这些切换调制保密通信方案[10?12]有许多不足之处：方案中需要很多驱动系统和响应系统，对于实际应用，成本太高；方案在解密时需要判断用哪个响应系统来解密，因此，解密过程比较复杂；在驱动系统切换时，新的驱动系统和响应系统初始值不一致，将导致驱动系统和响应系统在一小段时间内出现不同步状态，从而导致接收端的恢复信号与发送端的信息信号不一致。针对以上问题，本文考虑到多涡卷混沌系统能通过改变其非线性函数产生不同数量的混沌吸引子，因此，可使用一个多涡卷混沌系统代替切换调制保密通信中的多个驱动系统，从而降低实际应用的成本。
据此，本文提出一种基于多涡卷混沌系统的切换调制保密通信方案，并且设计了一种含有符号函数的同步控制器。该同步控制器能实现用一个响应系统与具有不同涡卷数量的多涡卷混沌系统同步。由于只有一个响应系统，因此，在解密时不需要判断使用哪个响应系统来解密，从而使得解密过程变得更简单，但保密性并未降低。同样，由于驱动系统和响应系统都只有一个系统，因此，在切换前后，驱动系统和响应系统的状态变量的值不变。而由于切换时两系统仍然保持同步狀态，因此，切换后驱动系统和响应系统的初始值相同，即不会出现短暂的不同步状态，从而避免了在切换瞬间出现接收端的恢复信号和发送端的信息信号不一致的现象。
1 多涡卷混沌系统的同步
文献[13]研究了一种两个吸引子网格多涡卷混沌系统，其状态方程为：
[x1=x3-f1（x2）x2=2x3-0.8sgn（x3）x3=f2（x1）-x3] （1）
其中，非线性函数[f1， f2∈f11， f12]是三角函数，且[f11（x），][f12（x）]的数学表达式为：
[f11（x）=12αm=-Mm≠0M x-2m-mm+α-x-2m-mm-α -x] （2）
[f12（x）=12αn=-Nn≠0N+1 x-2n-nn+α-x-2n-nn-α -x+1] （3）
式中[α=0.02。]本文固定[f1（x2）]为式（2），[f2（x1）]为式（3），此时，系统（1）能产生[（2M+1）×（2N+2）]对网格多涡卷。
注意，由于状态变量[x1，x2]有界，因此，三角函数[f1（x2），][f2（x1）]一定有界，进而一定存在一个常数[k，]使得：
[k≥maxmaxf1x2，maxf2x1] （4）
把式（1）作为驱动系统，选取Lorenz系统作为响应系统：
[y1=10（y2-y1）+u1y2=28y1-y2-y1y3+u2y3=y1y2-83y3+u3] （5）
式中[u=u1，u2，u3T]为同步控制器。
定义误差系统[e=x-y，]其中[e=e1，e2，e3T，][x=][x1，x2，x3T，][y=y1，y2，y3T。]
为了实现在多涡卷混沌系统（1）的涡卷数量变化时，系统（1）和系统（5）仍能同步，且保持同步控制器[u]不变，本文设计了一种含有符号函数的同步控制器：
[u1=10y1-y2+y3+ksgne1+k1e1u2=-28y1+y2+2y3+y1y3-0.8sgn（x3）+k1e2u3=53y3-y1y2+ksgne3+k1e3] （6）
证明：定义Lyapunov函数：
[V=12eTe=12i=13ei2（t）] （7）
对[V]求导得：
[V=e1e1+e2e2+e3e3=e1x3-f1x2-10y2-y1-u1+e22x3-0.8sgnx3-28y1+y2+y1y3-u2+e3f2x1-x3-y1y2+83y3-u3][=eTpe+-e1f1x2-ke1sgne1+e3f2x1-ke3sgne3≤eTpe+e1f1x2-ke1+e3f2x1-ke3≤eTpe]
即，[V≤eTpe，]其中[p]为对称矩阵：
[p=-k100.50-k110.51-k1+1]
显然，存在常数[k1]使得对称矩阵[p]负定，就有[V≤eTpe≤0]。根据Lyapunov稳定性理论，误差系统[e=x-y]将全局渐进稳定于零。证毕。
选取[k=k1=20，]对系统（1）和系统（5）的同步进行数值仿真。当[M，][N]取1和0不同值时，误差系统[e]随时间[t]的变化误差曲线如图1所示。
从图1可以看出，驱动系统在具有不同的涡卷数量时，其驱动系统和响应系统仍能同步，从而验证了该同步控制器的有效性。
2 新的切换调制保密通信方案
利用同步控制器（6）设计的切换调制保密通信方框图如图2所示。
在该方案中，驱动系统是多涡卷混沌系统（1）。通过切换开关改变多涡卷混沌系统的非线性函数，使得多涡卷混沌系统的的涡卷数量改变。显然，在涡卷数量变化后，其混沌信号将发生变化。由于发射端和接收端都只有一个系统，该方案较现有的切换调制保密通信方案[10?12]的成本将更低。而在解密时，也不需要判断使用哪个响应系统来解密，从而使得解密过程变得更简单，但保密性并未降低。同样，由于驱动系统和响应系统都只是一个系统，因此，在切换瞬间，驱动系统和响应系统的状态变量的值不变，而由于切换时两系统仍然保持同步状态，因此，切换后驱动系统和响应系统的初始值相同，即不会出现短暂的不同步状态，从而避免了在切换瞬间出现接收端的恢复信号和发送端的信息信号不一致的现象。
3 切换调制保密通信的数值仿真
根据图2所示的保密通信方案，本文选择的多级加密非线性变换函数（可逆函数）为：
用四阶龙格?库塔法进行数值仿真。取步长为0.01，驱动系统（1）和响应系统（5）的初始状态分别为[x（0）=[0.2，1.1，1]，][y（0）=[-5，4，3] 。]当发送端的信息信号为正弦信号[m（t）=sin（πt）]时，其波形如图3所示。
设置发送端的切换过程为每10 s切换一次，正弦信號经加密后的发送信号[s（t）]如图4所示。接收端解密后的恢复信号[m（t）]如图5所示。
当发送端的信息信号为方波信号[q（t）]时，其波形如图6所示。
同样设置发送端的切换过程为每10 s切换一次，方波信号经加密后的发送信号[ss（t）]如图7所示，接收端解密后的恢复信号[q（t）]如图8所示。
从图3和图5，图6和图8可以看出，恢复的正弦信号和方波信号与传输的正弦信号和方波信号一致，且在切换点处不存在信息信号与恢复信号不一致的现象，从而验证了该切换调制保密通信方案的有效性。
4 结 论
本文提出一种基于多涡卷混沌系统的切换调制保密通信方案。在该切换调制保密通信中，驱动系统和响应系统都只有一个系统，降低了切换调制保密通信在实际应用中的成本。在解密时，不需要判断使用哪个响应系统来解密，从而使得解密过程变得更简单，但保密性并未降低。同时，在切换时不会出现短暂的不同步状态，避免了在切换瞬间出现接收端的恢复信号和发送端的信息信号不一致的现象。因此，该切换调制保密通信在工程上具有更大的应用价值。
参考文献
[1] OTT E， GREBOGI C， YORKE J A. Controlling chaos [J]. Physical review letters， 1990， 64（11）： 1196?1199.
[2] PECORA L M， CARROLL T L. Synchronization in chaotic systems [J]. Physical review letters， 1990， 64（8）： 821?824.
[3] HUANG L L， ZHANG J， SHI S S. Circuit simulation on control and synchronization of fractional order switching chaotic system [J]. Mathematics and computers in simulation， 2015， 113（C）： 28?39.
[4] PAN I， DAS S， ROUTH A. Towards a global controller design for guaranteed synchronization of switch chaotic systems [J]. Applied mathematical modelling， 2015， 39（8）： 2311?2331.
[5] HE X， LI C， HUANG J， et al. Generalized synchronization of arbitrary?dimensional chaotic systems [J]. Optik： international journal for light and electron optics， 2015， 126（4）： 454?459.
[6] 毛学志，徐勇，刘建平，等.基于反正切的网格混沌吸引子及其保密通信[J].通信学报，2014，35（12）：106?115.
[7] YU F， WANG C H. Secure communication based on a four?wing chaotic system subject to disturbance inputs [J]. Optik： international journal for light and electron optics， 2014， 125（20）： 5920?5925.
[8] 刘乐柱，张季谦，许贵霞，等.一种基于混沌系统部分序列参数辨识的混沌保密通信方法[J].物理学报，2014，63（1）：24?29.
[9] ABDULLAH A. Synchronization and secure communication of uncertain chaotic systems based on full?order and reduced?order output?affine observers [J]. Applied mathematical and computation， 2013， 219（19）： 10000?10011.
[10] 张加树，肖先赐.基于广义混沌映射切換的混沌同步保密通信[J].物理学报，2001，50（11）：2121?2125.
[11] 孙琳，姜德平.驱动函数切换调制实现超混沌数字保密通信[J].物理学报，2006，55（7）：3283?3288.
[12] WANG X Y， GAO Y F. A switch?modulated method for chaos digital secure communication based on user?defined protocol [J]. Communications in nonlinear science and numerical simulation， 2010， 15（1）： 99?104.
[13] LUO X H， TU Z W， LIU X R， et al. Implementation of a novel two?attractor grid multi?scroll chaotic system [J]. Chinese physics B， 2010， 19（7）： 127?132.
摘 要： 考虑到现有切换调制保密通信的不足，设计了一种含有符号函数的同步控制器，并提出一种基于多涡卷混沌系统的切换调制保密通信方案。该方案解决了切换调制保密通信中驱动系统和响应系统过多的问题，同时也能解决驱动系统切换瞬间接收端的恢复信号与发送端的信息信号不一致的问题。理论分析与数值仿真结果的一致性表明了该切换调制保密通信方案的有效性。
关键词： 多涡卷混沌系统； 同步控制器； 切换调制； 保密通信
中图分类号： TN918.6?34 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2017）07?0028?04
A switching modulation secret communication based on multi?scroll chaotic system
HUANG Yun1， ZHAO Weifeng1， ZHANG Peng2
（1. Asset Management Department， Chongqing University of Posts and Telecommunications， Chongqing 400065， China；
2. Teaching Affair Office， Chongqing University of Posts and Telecommunications， Chongqing 400065， China）
Abstract： For the insufficient of the current switching modulation secret communication， a synchronous controller with sign function was designed， and a switching modulation secret communication scheme based on multi?scroll chaotic system is proposed. The scheme has solved the problems of overmany driving systems and response systems in the switching modulation secret communication， and inconsistent restoring signal of the receicing terminal and information signal of the transmitting terminal at the moment of the driving system swiching. The effectiveness of the switching modulation secret communication scheme was verified by the consistency of the theoretical analysis result and numerical simulation result.
Keywords： multi?scroll chaotic system； synchronization controller； switching modulation； secret communication
0 引 言
自文献[1?2]实现混沌同步以来，混沌同步及其在保密通信中的应用引起了国内外学者的广泛关注[3?12]。为了增加信息信号的保密性，已经发展了诸多种不同的混沌保密通信方案[6?12]。近来，一种切换调制保密通信方案被提出[10?12]。在这些切换调制保密通信中，通过开关切换驱动系统把信息信号掩蔽在多个混沌信号里，从而减少发射信号的相关性，并且进行多次非线性变换加密，增加发射信号的复杂度，进而提高保密通信的保密性。但是，这些切换调制保密通信方案[10?12]有许多不足之处：方案中需要很多驱动系统和响应系统，对于实际应用，成本太高；方案在解密时需要判断用哪个响应系统来解密，因此，解密过程比较复杂；在驱动系统切换时，新的驱动系统和响应系统初始值不一致，将导致驱动系统和响应系统在一小段时间内出现不同步状态，从而导致接收端的恢复信号与发送端的信息信号不一致。针对以上问题，本文考虑到多涡卷混沌系统能通过改变其非线性函数产生不同数量的混沌吸引子，因此，可使用一个多涡卷混沌系统代替切换调制保密通信中的多个驱动系统，从而降低实际应用的成本。
据此，本文提出一种基于多涡卷混沌系统的切换调制保密通信方案，并且设计了一种含有符号函数的同步控制器。该同步控制器能实现用一个响应系统与具有不同涡卷数量的多涡卷混沌系统同步。由于只有一个响应系统，因此，在解密时不需要判断使用哪个响应系统来解密，从而使得解密过程变得更简单，但保密性并未降低。同样，由于驱动系统和响应系统都只有一个系统，因此，在切换前后，驱动系统和响应系统的状态变量的值不变。而由于切换时两系统仍然保持同步狀态，因此，切换后驱动系统和响应系统的初始值相同，即不会出现短暂的不同步状态，从而避免了在切换瞬间出现接收端的恢复信号和发送端的信息信号不一致的现象。
1 多涡卷混沌系统的同步
文献[13]研究了一种两个吸引子网格多涡卷混沌系统，其状态方程为：
[x1=x3-f1（x2）x2=2x3-0.8sgn（x3）x3=f2（x1）-x3] （1）
其中，非线性函数[f1， f2∈f11， f12]是三角函数，且[f11（x），][f12（x）]的数学表达式为：
[f11（x）=12αm=-Mm≠0M x-2m-mm+α-x-2m-mm-α -x] （2）
[f12（x）=12αn=-Nn≠0N+1 x-2n-nn+α-x-2n-nn-α -x+1] （3）
式中[α=0.02。]本文固定[f1（x2）]为式（2），[f2（x1）]为式（3），此时，系统（1）能产生[（2M+1）×（2N+2）]对网格多涡卷。
注意，由于状态变量[x1，x2]有界，因此，三角函数[f1（x2），][f2（x1）]一定有界，进而一定存在一个常数[k，]使得：
[k≥maxmaxf1x2，maxf2x1] （4）
把式（1）作为驱动系统，选取Lorenz系统作为响应系统：
[y1=10（y2-y1）+u1y2=28y1-y2-y1y3+u2y3=y1y2-83y3+u3] （5）
式中[u=u1，u2，u3T]为同步控制器。
定义误差系统[e=x-y，]其中[e=e1，e2，e3T，][x=][x1，x2，x3T，][y=y1，y2，y3T。]
为了实现在多涡卷混沌系统（1）的涡卷数量变化时，系统（1）和系统（5）仍能同步，且保持同步控制器[u]不变，本文设计了一种含有符号函数的同步控制器：
[u1=10y1-y2+y3+ksgne1+k1e1u2=-28y1+y2+2y3+y1y3-0.8sgn（x3）+k1e2u3=53y3-y1y2+ksgne3+k1e3] （6）
证明：定义Lyapunov函数：
[V=12eTe=12i=13ei2（t）] （7）
对[V]求导得：
[V=e1e1+e2e2+e3e3=e1x3-f1x2-10y2-y1-u1+e22x3-0.8sgnx3-28y1+y2+y1y3-u2+e3f2x1-x3-y1y2+83y3-u3][=eTpe+-e1f1x2-ke1sgne1+e3f2x1-ke3sgne3≤eTpe+e1f1x2-ke1+e3f2x1-ke3≤eTpe]
即，[V≤eTpe，]其中[p]为对称矩阵：
[p=-k100.50-k110.51-k1+1]
显然，存在常数[k1]使得对称矩阵[p]负定，就有[V≤eTpe≤0]。根据Lyapunov稳定性理论，误差系统[e=x-y]将全局渐进稳定于零。证毕。
选取[k=k1=20，]对系统（1）和系统（5）的同步进行数值仿真。当[M，][N]取1和0不同值时，误差系统[e]随时间[t]的变化误差曲线如图1所示。
从图1可以看出，驱动系统在具有不同的涡卷数量时，其驱动系统和响应系统仍能同步，从而验证了该同步控制器的有效性。
2 新的切换调制保密通信方案
利用同步控制器（6）设计的切换调制保密通信方框图如图2所示。
在该方案中，驱动系统是多涡卷混沌系统（1）。通过切换开关改变多涡卷混沌系统的非线性函数，使得多涡卷混沌系统的的涡卷数量改变。显然，在涡卷数量变化后，其混沌信号将发生变化。由于发射端和接收端都只有一个系统，该方案较现有的切换调制保密通信方案[10?12]的成本将更低。而在解密时，也不需要判断使用哪个响应系统来解密，从而使得解密过程变得更简单，但保密性并未降低。同样，由于驱动系统和响应系统都只是一个系统，因此，在切换瞬间，驱动系统和响应系统的状态变量的值不变，而由于切换时两系统仍然保持同步状态，因此，切换后驱动系统和响应系统的初始值相同，即不会出现短暂的不同步状态，从而避免了在切换瞬间出现接收端的恢复信号和发送端的信息信号不一致的现象。
3 切换调制保密通信的数值仿真
根据图2所示的保密通信方案，本文选择的多级加密非线性变换函数（可逆函数）为：
用四阶龙格?库塔法进行数值仿真。取步长为0.01，驱动系统（1）和响应系统（5）的初始状态分别为[x（0）=[0.2，1.1，1]，][y（0）=[-5，4，3] 。]当发送端的信息信号为正弦信号[m（t）=sin（πt）]时，其波形如图3所示。
设置发送端的切换过程为每10 s切换一次，正弦信號经加密后的发送信号[s（t）]如图4所示。接收端解密后的恢复信号[m（t）]如图5所示。
当发送端的信息信号为方波信号[q（t）]时，其波形如图6所示。
同样设置发送端的切换过程为每10 s切换一次，方波信号经加密后的发送信号[ss（t）]如图7所示，接收端解密后的恢复信号[q（t）]如图8所示。
从图3和图5，图6和图8可以看出，恢复的正弦信号和方波信号与传输的正弦信号和方波信号一致，且在切换点处不存在信息信号与恢复信号不一致的现象，从而验证了该切换调制保密通信方案的有效性。
4 结 论
本文提出一种基于多涡卷混沌系统的切换调制保密通信方案。在该切换调制保密通信中，驱动系统和响应系统都只有一个系统，降低了切换调制保密通信在实际应用中的成本。在解密时，不需要判断使用哪个响应系统来解密，从而使得解密过程变得更简单，但保密性并未降低。同时，在切换时不会出现短暂的不同步状态，避免了在切换瞬间出现接收端的恢复信号和发送端的信息信号不一致的现象。因此，该切换调制保密通信在工程上具有更大的应用价值。
参考文献
[1] OTT E， GREBOGI C， YORKE J A. Controlling chaos [J]. Physical review letters， 1990， 64（11）： 1196?1199.
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[8] 刘乐柱，张季谦，许贵霞，等.一种基于混沌系统部分序列参数辨识的混沌保密通信方法[J].物理学报，2014，63（1）：24?29.
[9] ABDULLAH A. Synchronization and secure communication of uncertain chaotic systems based on full?order and reduced?order output?affine observers [J]. Applied mathematical and computation， 2013， 219（19）： 10000?10011.
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