2019年北京物理高考第24题雨滴圆盘模型的探讨
吴广国 满娜 邹斌
摘? ?要：2019年高考理综卷（北京卷）物理部分最后一题（第24题），以较为复杂的雨滴下落模型为背景，求解雨滴下落过程中克服摩擦力做的功，充分体现了运动与相互作用观和能量观等要素。题设条件给出雨滴下落受到的空气阻力正比于速度的平方，先将雨滴看成球体，来研究雨滴的收尾速度;后将雨滴简化成圆盘模型，只考虑雨滴圆盘与空气分子碰撞的情况下，证明其所受阻力正比于雨滴速度的平方。题目设计思想充分体现了“科学思维”中的模型构建、科学推理和科学论证等要素。文章对只考虑空气分子碰撞雨滴圆盘模型下所受阻力的解法进行了改进，期望与同行进行探讨。
关键词：科学思维;雨滴圆盘模型;收尾速度;高考北京卷
中圖分类号：G633.7 文献标识码：A ? ? 文章编号：1003-6148（2020）9-0036-3
在《普通高中物理课程标准（2017年版）》中提出的物理课程基本理念，特别强调要注重体现物理学科本质，培养学生的物理学科核心素养。通过高中物理课程的学习，学生应具有建构模型的意识和能力，能运用科学思维方法，从定性和定量两个方面对相关问题进行科学推理、找出规律、形成结论[1]。2019年北京高考第24题以“雨滴空中下落”为背景素材[2-6]，通过对相关知识的介绍，给出了雨滴球体模型和雨滴圆盘模型，以及雨滴球体模型所受空气阻力的表达式。让学生证明雨滴圆盘模型所受空气阻力与雨滴速度平方成正比关系，考查考生通过新情境获取信息、思考并解决问题和知识迁移的能力。
由流体力学可知，雨滴在空气中下落所受阻力有两种，分别是粘滞阻力和压差阻力。比较小的物体在粘性较大的流体中缓慢运动，即雷诺数很小的情况下，粘滞阻力是主要因素，其大小正比于物体运动的速度。如果在雨滴下落过程中，雨滴上表面形成涡旋后，此时压差阻力占主要因素，其大小正比于物体运动速度的平方。因此，有一类雨滴在下落过程中虽然半径增加但尺度仍然极小，所受空气阻力始终以粘滞阻力为主;而另一类半径较大，下落过程中其上表面产生涡旋，所受空气阻力以压差阻力为主[7]。
雨滴通常形成于高空大约2000多米处，如果没有空气阻力，则雨滴落到地面附近时，速度可达200 m/s。而实际雨滴落到地面的速度通常仅为几米每秒，这与雨滴下落过程中受到空气阻力有关。第1问设置了求解雨滴下落过程中克服空气阻力做的功，本质是雨滴的重力势能转化成雨滴的动能和摩擦产生的热能，从学科核心素养上看充分体现了物理观念中的能量观。后两问分别给出了雨滴的两种模型：球体模型和圆盘模型，并且给出球体模型所受阻力的表达式，而后请考生证明雨滴圆盘模型所受阻力正比于雨滴速度的平方。试题设计巧妙，层层推进，考查了科学思维中的模型构建、科学推理和科学论证的核心素养。
1? ? 2019年高考理综卷（北京卷）物理第24题原题
第24题原题如下：
雨滴落到地面的速度通常仅为几米每秒，这与雨滴下落过程中受到空气阻力有关。雨滴间无相互作用且雨滴质量不变，重力加速度为g。
（1）质量为m的雨滴由静止开始，下落高度h时速度为u，求这一过程中克服空气阻力所做的功W。
（2）将雨滴看作半径为r的球体，设其竖直落向地面的过程中所受空气阻力f = kr2v2，其中v是雨滴的速度，k是比例系数。
a.设雨滴的密度为ρ，推导雨滴下落趋近的最大速度vm与半径r的关系式;
b.示意图中画出了半径为r1、r2（r1>r2）的雨滴在空气中无初速下落的v-t图线，如图1所示，其中______对应半径为r1的雨滴（选填①②）;若不计空气阻力，请在图中画出雨滴无初速下落的v-t图线。
（3）由于大量气体分子在各方向运动的几率相等，其对静止雨滴的作用力为零。将雨滴简化为垂直于运动方向面积为S的圆盘，证明：圆盘以速度v下落时受到的空气阻力f∝v2（提示：设单位体积内空气分子数为n，空气分子质量为m0）。
2? ? 对2019年高考理综卷（北京卷）物理第24题第3问的解析和评述
该题第1小问和第2小问解答比较简单，这里不再赘述。
关于第3小问的解答：根据题设条件，大量气体分子在各方向运动的几率相等，其对静止雨滴的作用力为零。以下只考虑雨滴下落的定向运动。
简化的圆盘模型如图2所示。设空气分子与圆盘碰撞前后相对速度大小不变。在时间Δt内，与圆盘碰撞的空气分子质量为：
由牛顿第三定律，可知圆盘所受空气阻力：
采用不同的碰撞模型，也可得到相同结论。
第3小问给出了雨滴的另一种模型——圆盘模型，并且题设指出由于大量气体分子在各方向运动的几率相等，其对静止雨滴的作用力为零。而当雨滴以速度v下落的过程中，也看成分子热运动引起的碰撞作用力为零，所以对于圆盘模型的雨滴下落时，其阻力简化为假设大量的空气分子静止状态下，雨滴圆盘与雨滴下方vΔt空间中空气分子的碰撞作用力。模型设计层层递进，考查考生知识和方法的迁移能力，由球体模型向圆盘模型的迁移，评价了考生科学推理和科学论证的能力。
3? ? 关于雨滴圆盘模型的进一步探讨
考题中给出雨滴球体模型下所受空气阻力f=kr2v2，第3问中给出大量气体分子在各方向运动的几率相等，其对静止雨滴的作用力为零，而把雨滴简化成圆盘模型后，让证明雨滴所受空气阻力与雨滴圆盘速度的平方成正比。在解答过程中也认为运动着的雨滴所受空气分子热运动的作用力也为零，这样的假设值得商榷。从题目解答中可以看到，对于雨滴的阻力，命题组也是仅仅考虑与空气分子的碰撞所带来的阻力，而不考虑粘滞阻力，笔者给出了只考虑雨滴模型与均匀分布的空气分子碰撞下的作用力的新解法。
