数学实验：学生数学思考力增长的新作用点

2022.07.26

陈兆绪

[摘? 要] 数学思考力是指一种逻辑运用、本质联系和信息建立的能力，也是一种搜索更广、潜入更深的思维活动. 以数学问题为导向，以解决问题为目标，注重学生对知识的探究过程，这正是数学思考力的体现. 以数学实验为载体，让学生在动手操作过程中掌握思考方法，懂得思考步骤，具备思考能力，能促进学生思考力的增长.

[关键词] 初中数学;数学实验;数学思考力

德国数学家康托尔说过：“数学的本质在于思考的充分自由. ”《义务教育数学课程标准》将“双基”调整为“四基”，即在“基础知识、基本技能”的基础上，增加了“基本思想、基本活动经验”. 数学思考力是数学核心素养的核心. 数学实验可以启迪学生的思维. 在课堂中，以学生为中心，以实验为手段，能使学生在数学实验操作过程中厘清数学本质，并让数学思考在数学教学中落地生根.

数学实验与学习方法：让学生

在实验中形成主动思考意识

美国心理学家布鲁纳曾说：“兴趣是对学习的最好刺激，一个人抱着兴趣去研究某个问题时就会达到惊人的程度. ”数学实验要求学生用观察、思考和试验等途径实现知识内化，同时，实验中一连串层层深入的问题可以激发学生的学习兴趣，可以引领学生兴趣盎然地走向挑战，从而促使学生在实验中形成主动思考的意识.

案例1?一元一次方程的应用.

演示实验：用一个大杯向一个小杯倒水.

由于杯子的形状不一样，所以，在大杯往小杯倒水后，会发生水面高度的变化. 利用学生这一生活中比较常见的事例创设教学情境，能让学生对水面高度的变化原因产生好奇，从而为后面的数学实验做铺垫.

教学时，为学生提供两个底面半径分别为3.2 cm（A）和4 cm（B）的量筒. 让学生首先将B量筒装满水，其高度为4 cm，然后将量筒内的水倒进A量筒内，在此过程中认真观察倒水前后两个量筒内水的高度有什么变化，以及A量筒内的水面高度是多少.

在兴趣的驱动下，学生开始积极地动手实验，这种直观的、简单的实验操作能让学生很快地发现，在倒水的过程中，由于底面半径发生了变化，所以水面的高度也随之发生变化，但始终存在水的体积相等这一关系. 根据这一等量关系，我们可以假设A量筒内的水面高度是x cm，于是有π×42×4=π×3.22×x，解得x=6.25. 所以A量筒内的水面高度为6.25 cm.

选择学生比较熟悉的体积问题，其等量关系一目了然. 此例能让学生在等体积水中水面的变化过程中产生问题意识，并体会到其中所蕴含的不变量，从而引出用一元一次方程求解实际问题的基本步骤.

数学实验与数学理解：让学生

在实验中思考数学概念内涵和

外延

心理认知学认为：“初中生的思维能力比较弱，且正处于想象、推理的萌芽阶段. ”处于該阶段的学生的思考力的形成离不开直观形象的支撑，尤其是数学概念的理解，运用数学实验可以帮助学生直观地观察数学对象，让学生不在抽象中挣扎、徘徊，而在实验中思考数学概念的内涵与外延，加深对数学概念的理解.

案例2?对称轴与轴对称图形.

师：现在请同学们将一张纸平放在桌面上，然后往纸上滴一滴墨水，并将纸张对折压平，稍等片刻后，打开纸，并观察有什么现象.

学生实验，有的学生很快发现纸张两边的墨迹沿着折痕折叠后重合，随后教师出示图1.

师：谁能说出如何剪出这幅图案呢？请你们动手试一试.

（学生动手操作，发现将图案对折后两部分完全重合，所以可以利用图形对称的方法剪出图案）

师：通过前面两次操作，你们觉得它们有什么共同点？

生1：像这样，将一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，我们就说这个图形是轴对称图形，这条直线是对称轴.

师：那我们学过的哪些图形是轴对称图形？

生2：圆、等边三角形.

生3：长方形.

生4：平行四边形.

生5：平行四边形好像不是轴对称图形.

学生中出现了不同的意见，有的赞同，有的反对，如何来验证呢？接下来，笔者让学生用学具进行自主操作.

生6：我从平行四边形的一个顶点向其对边垂直剪下一个三角形，然后将这个直角三角形拼在另一个缺口，就变成了长方形. 因为长方形是轴对称图形，所以平行四边形也是.

师：听着好像很有道理.

生7：我发现无论怎么折，两边都无法重合，所以我认为平行四边形不是轴对称图形.

师：还有要补充的吗？

生8：刚才我们学过，要判断一个图形是否为轴对称图形，关键是看它对折后两边是否能重合. 所以，从轴对称图形的概念来看，显然平行四边形不是轴对称图形.

在对称轴与轴对称图形概念的教学中，笔者安排了三次数学实验，让学生在环环相扣的实验中充分地思考着、体验着、感受着，不同观点之间相互碰撞、辩论，有效地激活了学生的思考力.

数学实验与动态生成，让学生

在实验中思考“变”与“不变”

数学实验是学生通过动手、动脑和动口“做数学”的一种学习活动，是学生综合运用作图工具、测量工具、模型、剪刀和纸张等工具进行数学思维的一种探究活动. 克莱因曾说过：“数学是一种精神，一种理性精神. ”其中，“理性”二字充分体现在从“变”中准确把握“不变”的本质，并能以“不变”应“万变”.

案例3?勾股定理的探索.

问题：在△ABC中，边AB，BC，AC的长分别为c，a，b.

（1）若△ABC为一般三角形，则a，b，c之间有什么数量关系？

（2）若∠B=∠C，则a，b，c之间有什么数量关系？

（3）若∠A=∠B=∠C，则a，b，c之间有什么数量关系？

请同学们在草稿纸上通过画图进行探索，从问题（1）到问题（3），从一般到特殊，让学生认识到，当三角形的角度发生变化时，其对应三边的关系也随之发生变化.

预设生成：学生从问题（1）中得到a-b<c

学生小组合作，借助几何画板制作三角形，测量各边的长，并记录实验数据，展示成果.

组1：展示的成果为表1.

学生通过对数据的分析发现直角三角形的三边满足a2+b2=c2，这一结论是否成立，请各组学生检查自己所做的情况，验证是否满足上述关系.

组2：我们发现，只有第2组的结果相差较大，其余四组均成立.

师：出现这种现象的原因是什么呢？

生1：可能a2+b2=c2并非对所有直角三角形都成立. 而且我们的实验只有几组数据，未必能代表全部.

生2：可能是数据取的精度不够，如果多保留几位，是不是误差就会变得很小？

這是笔者在课前没有预设到的，所以，趁学生兴趣正浓厚时，笔者让学生利用表格、几何画板等工具自主设计实验，学生通过多组数据的统计分析，发现当测定的数值保留精度越高时，几乎所有的数值都满足a2+b2=c2. 由此，我们可以说直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理.

在数学学习中，学生常常因找不到突破口而困惑，此时可以通过数学实验来发现规律，从而打开突破口. 在上述环节中，我们从特殊值出发，得到关系式a2+b2=c2，那么该关系式是否具有普适性呢？接着，学生再次从特殊回到一般，这也是学生思考力增长的难点. 分析式子的结构，可以联想到边长分别为a，b和c的正方形的面积，因此，想到“构造法”，对任意的直角三角形进行构造，如图2.

此时，只需要证明正方形DCBE和CFGA的面积之和等于正方形BAMN的面积即可. 我们常用的方法是割补法. 割补的过程对学生的思维具有极大的挑战. 只有给予学生充足的时间，鼓励学生积极思考，勇敢面对挑战，才能让他们克服思维障碍. 学生在草稿纸上做了多种尝试.

生3：我首先对a2+b2=c2进行变形，得到（a-b）2+2ab=c2，所以构造出图3. 然后根据割补法得到图4，接着对正方形BAMN的面积进行计算，得到S=（a-b）2+4×■ab=c2.

利用数学实验将整个勾股定理的探索有机串联起来，能让学生在边操作边思维的过程中实现对勾股定理的猜测、验证和证明，最后反思和总结勾股定理的证明过程，将知识上升为经验，促进学生思考力的再次生长.

英国迪士尼乐园的路径是游客“走”出来的，数学思考力的形成也需要依靠师生的共同努力才能形成. 在数学实验教学中，教师应预留充足的时间给学生，从而激活他们的思考点，延展他们的数学思考触角，让数学思考逐渐走向开放，形成良好的思考习惯.