关于圆内比例线段问题的探究与思考
郭芝萍
[摘 ?要] 圆内的比例线段是平面几何的重点问题，该问题涉及线段关系提炼、代换等内容，问题解析时需要综合应用几何定理来构建解题思路，由于图形结构较为复杂，因此构建方式较为多样，文章将深入探究圆内比例线段问题的常用策略，并深入思考教学建议，与读者交流.
[关键词] 圆;比例线段;三角形相似;代换;等比
问题综述
圆是中学阶段需要掌握的基本图形，依托圆构建的几何问题众多，圆内的比例线段问题是其中的典型代表，具有很强的综合性，涉及圆的性质、线段关系、几何转化等内容，因此可以全面考查学生的基本知识和解题思维. 以圆为背景构建的线段比值问题，解题的难点主要有两个：一是如何合理利用圆的性质来进行解题切入，二是如何利用几何定理来完成线段问题转化. 因此，开展考题探究需要深入挖掘圆内特性、把握线段特点，充分利用平面几何的性质定理来完成问题转化和思路构建.
策略探究
圆内的比例线段问题的题型特点多样，所证线段之间的性质关联也多变，对于不同的题型需要采用不同的方法策略，常用的方法有基本定理法、等线代换法、等比转化法和等积转化法等. 上述方法均是基于一定的性质定理和数学思想所构建的，适用于不同的题型，下面对其进行深入探究.
1. 策略一：用定理，相似转化
从比例线段的形式来看，比例线段与相似三角形对应边成比例的性质之间有着极大的关联，因此可以利用三角形相似的性质来完成比例线段的证明. 实际解题时需充分把握圆的特性，化“积”为“比”，结合比例形式来探索相似三角形.
例1 ?如图1所示，四边形ABCD是圆的内接四边形，已知DP∥CA交BA的延长线于点P，试证明AD·DC=PA·CB.
分析 ?对于比例线段问题，首先尝试化“积”为“比”，利用相似三角形性质来证明，即可将比例线段转化为 = ，显然只需要证明△ADP和△CBD相似，探索出两组等角即可.
证明 ?连接DB，由DP∥CA可得∠1=∠2=∠3，因为四边形ABCD是圆的内接四边形，所以∠PAD=∠BCD. 所以有△ADP∽△CBD. 由三角形的相似性质可得 = ，即AD·DC=PA·CB，证毕.
评析：求证比例线段问题最为基础的方法就是利用三角形相似或者圆幂定理，上述在求证时进行的化“积”为“比”为后续的相似三角形探究提供了参考. 学习相似三角形性质，不应仅关注其性质本身，还需要透过比例形式挖掘其中的乘积关系，提升对性质的理解.
2. 策略二：找关系，等线代换
对于位于不同三角形中的线段比例问题，由于三角形不存在相似关系，故无法直接应用相似性质来转化出比例线段关系. 此时可以采用等线段代换法，即结合条件提炼相关等长线段，从而实现等长代换，然后借助三角形相似性质来完成解题.
例2 ?△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，现以BC的中点为圆心，以BC长为直径画圆，与AB相交于点D，设AC的中点为E，连接DE和CD，再连接OE，与CD的交点为点F，试回答下列问题.
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由;
（2）试证明2DE2=AB·EF.
分析 ?（1）DE是⊙O的切线，过程略;（2）证明2DE2=AB·EF，可将其化为比例形式 = ，证明比例线段成立需要借助三角形相似性质，故需要对上式进行等线段转化. BC为⊙O的直径，则∠ADC=90°，点E为斜边AC的中点，故AC=2DE，进而可将问题转化为证明 = ，显然上式属于△DEF和△BAC相似的性质，后续只需要结合条件证明两三角形相似即可.
证明 ?根据条件可推知∠DFE=∠ACB=90°，∠DEO=∠CAB，从而可证△DEF与△BAC相似，由相似性质可得 = . 根据（1）问知DE是⊙O的切线，可知△ADC为直角三角形，点E为斜边AC上的切线，故AC=2EC=2DE，所以有 = ，即2DE2=AB·EF，证毕.
评析：上述是涉及倍数关系的线段比例问题，该类问题突破的关键是通过等线段代换来消去其中的倍数，后续只需探寻其中的相似三角形即可. 等线代换的方式有很多，可以借助平分点，也可以由三角形全等以及题干中的线长关系来完成.
3. 策略三：建联系，等积推导
处理比例线段一般有两种思路：一是“化等积为等比”，二是直接进行等积推导. 如不能直接由相似三角形的性质得出，则可以采用等积互推的方式，即将其视为是线段乘积问题，然后通过等积推导来完成证明. 等积互推可通过构建多组相似三角形进行，也可以直接借助圆内的特殊定理及結论，如相交弦定理、割线定理、切割线定理等，以提升解题效率.
例3 ?如图3所示，⊙O与⊙C相交于A，B两点，其中PQ是⊙O的切线，切点为点P，切线PQ与⊙C相交于点Q和M. 现延长AB与PQ的交点为点N，试求证NP2=NM·NQ.
分析 ?本题目以两圆为背景建立了相关线段，求证线段比例关系. 首先需要分析图形特征，点N是⊙O外的一点，而NP和NA分别为⊙O的切线和割线，显然满足切割线定理使用的条件，可使用该定理提炼条件. 而AN和QN又可视为是⊙C外一点N引出的两条相交割线，因此满足割线定理使用的条件，同样可以由定理得出相等比例关系. 后续综合应用上述定理提炼的线段关系即可完成线段比例式的证明.
证明 ?在⊙O中使用切割线定理，可得NP2=NB·NA，而在⊙C中使用割线定理可得NB·NA=NM·NQ. 综合上述两式，可得NP2=NM·NQ，证毕.
评析：上述求证比例线段问题时综合运用了割线定理和切割线定理，实际上上述两定理是基于三角形相似性质对特定圆内比例线段问题的结论总结. 因此在学习探究时需要深入剖析定理构建的过程，探究定理的适用模型，掌握图形提取的方法技巧.
4. 策略四：构关联，等比代换
对于特定情形的比例线段问题也可以采用等比代换的方法，即首先将所证式子转化为线段比例式的形式，然后结合图形条件通过等比代换将其证明.
例4 ?已知PA是⊙O的切线，切点为A，割线PBC与⊙O相交于点B和C，AD⊥PC于点D. 现分别过点B和C作切线PA的垂线，垂足分别为点M和点N，如图4所示，试证明AD2=BM·CN.
分析 ?根据题干中的条件可确定△PAD、△PBM和△PCN均为直角三角形，而AD，BM和CN均为上述直角三角形的边，因此可根据上述三角形之间的相似关系来得出关于线段的比，后续通过等比代换来完成证明.
证明 ?由∠PMB=∠PDA=90°，∠P=∠P 可证△PAD∽△PBM，所以有 = ，同样可证△PCN∽△PAD，由三角形相似性质可得 = ，而由切割线定理可得 = ，等比代换可得 = ，即AD2=BM·CN，证毕.
评析：上述过程在求证比例线段时采用的是等比代换的思路，即根据三角形相似性质和圆内的相关结论来构建等比关系，然后通过等比互推来完成证明. 几何性质定理是等比代换的基础，因此在学习时需要深入了解与圆、三角形相关的性质定理，总结等比推导的方法策略.
总结思考
圆内的比例线段问题是学生需要重点掌握的问题类型，从考查内容来看综合了圆、三角形等几何图形，涉及相切、平行、分割等几何关系，上述思路构建的过程也是从知识综合的角度进行，具有一定的参考价值，下面提出几点教学建议.
1. 关注问题的核心内容
比例线段的问题形式一般以几何线段长为基础，以求证线段乘积或比值关系为主要形式，其核心内容是根据图形特征，调用性质定理来构建线段之间的关系，其中三角形相似性质和圆内的性质结论是解题突破的核心内容. 因此在实际教学中需要教师引导学生关注问题的核心内容，把握问题突破的关键所在.
2. 关注突破的数学基础
从上述考题的突破过程来看，解题的根本目的就是利用数学定理来提炼图形中的线段关系，通过恒等代换的方式来构建线段的比例形式，在该过程中需要掌握两点内容：一是基本的数学定理，二是代换的基本方法. 上述两点同时也是数学教学的基础内容，具有极高的教學价值，在实际教学中教师可以立足三角形和圆的基本性质，总结线段关系的构建方法，结合数式变形来完成知识整合，使学生掌握解题的方法技巧.
3. 关注解析的思想方法
比例线段问题的突破策略有很多，上述探究了相似转化、等线代换、等积推导和等比代换的解析过程，实际上其中渗透着众多的数学思想，例如数形结合思想、化归转化思想等. 解题时正是在数学思想的指导下完成了思路构建，而数学思想是考题教学的核心，因此开展考题教学不应局限于考题突破的方法本身，还应深入到解题的数学思想，以提升学生思想、发展学生思维作为教学的核心任务.
