浅谈在“题后反思”中发展思维品质
魏新
[摘 ?要] 经过多年从事教育事业的摸索与实践，笔者深深体会到：学生解题后反思习惯的养成，可以成为解题的一种指导思想，可以有效提高解题效率，可以提升学习效果，也可以发展思维品质. 在解题教学中，通过题后反思培养和发展学生的思维品质，需要教师引导学生反思易错之处，追根溯源解决学生的困惑;反思解题方法规律，实现在原有经验中的生长;反思思维能力，实现发展性思维的拓展.
[关键词] 数学教学;解题;题后反思;思维品质
孔子云：“学而不思则罔”，此处的“罔”就是迷惑而无所得，将此名言进行推广和引申，则不难体会出解题后反思的意义所在了. 事实上，数学解题的根本价值并不在于学生做题的数量，而在于通过解题活动促进知识的整合、规律的探究及思维的提升，这才是教学的价值取向. 以思维为主线的题后反思是对知识和方法的巩固提炼，是对分析和解决问题策略的抽象概括，是对所蕴含的思想方法的不断总结. 因此，解题教学中教师需从思维的视角播种反思，重构解题的过程，实现解题的价值，关注数学本质，不断形成新方法，不断生长新经验，不断扩展新思维.
反思易错之处，追根溯源解决学生的困惑
学生对问题理解的最佳状态就是“悟”，而悟的过程就是感悟的过程，也是反思的过程，是在不断反思中寻求错因的过程，也是在追根溯源中解除困惑的过程. 这就需要教师在易错之处为学生创造更多的反思机会，在教师的有效提问指引下，在生生互动的相互补充下，找寻错误的根源，助力学生的数学思考，促进学生思维的发展和数学素养的提升.
案例1 ?在讲解完“负负得正”这一规则后，教师呈现以下例题：
计算：（-3）×（-4）=______.
生1：我得出的答案是9.
师：不对，有没有其他结果？
生2：我算出的答案是12.
师：很好，可否给大家讲解一下计算过程？
……
教学分析 ?此案例是早年笔者听过的一节公开课中的一个片段. 在下课后，笔者对生1进行了访谈，问及答案的缘由时，生1说：“我是将此题放在数轴上进行思考的，也就是位于（-3）上的一点，需乘以（-4），则可以理解为沿着数轴相反方向移动4次，每次移动3格，因此可以得出答案9. ”笔者不禁为该生的思路拍手称好，尽管他得出了一个错误答案，但他的思维方向真是创意无限. 那么，他错误的根源是什么呢？此想法的依据又是什么呢？该如何纠正呢？综合以上分析，笔者认为，从思维方向进行思考，上述案例中的“错误”资源是一个很有价值的教学资源. 若是在教学过程中，执教者可以把握如此鲜活的错误资源，通过以上三问来延展学生的反思和探究，则可以使学生的数学思考既具有横向的宽度，又富有纵向的深度. 然而，执教者忽略式应对，使得原本可以引发“火热思考”的思维之火被冷水浇灭，甚是可惜！
在七年级代数的教学中，计算问题无疑是学生的“一道坎”，如何突破这一教学难点是广大数学教师潜心探究的核心问题. 一些教师在例题教学中巧借反思这一路径，消除了学生的困顿，实现了学生能力的提升.
案例2 ?在执教“单项式、多项式的乘除法”时，教师设计以下例题：
（1）请分别指出以下各式的意义：①（-2）2;②-2×2;③-2-2;④2-2.
（2）试辨析以下各式是否正确：①a2+a2=a4;②a4÷a2=a4÷2=a2;③-a3·（-a）2=（-a）3+2 =-a5;④（-a）0÷a3=0;⑤（a-2）3·a=a-2+3+1=a2.
在解题完成后，以如下问题为载体实施反思小结：
（1）哪些方面的错误是计算中时常出现的？
（2）这些错误产生的根本原因是什么？
（3）如何“根除”这些错误？
教学分析 ?这样引导学生，既有助于学生走出错误的窠臼，获得计算能力上的提升，同时也为学生提供了基本套路上的指引. 在讨论和反思中，学生充分剖析错误根源，并且有针对性地给出了解决策略，这样一来，不仅使学生明确了“病因”，明晰了修正方法，还避免了类似错误的“复发”，从而为学生计算正确率和速度的提升奠定了良好的基础.
反思解题方法规律，实现在原有经验中的生长
在解题教学中，教师可以引导学生反思多种解题的方法，在猜测、揣摩、总结、归纳和提炼中，探求最优解法，培养思维的灵活性. 教师还可充分挖掘例题的延展性，有意识地设计递进式变式题，体现层次性特征，激发深度思考，拉长思维链，增长解题方法策略，拓展思维品质.
案例3 ?一等腰三角形的腰长为4，底长6，试求该等腰三角形的周长.
本题的难度较小，学生很快形成解题策略，完善解题步骤，得出结论. 笔者以变式题组训练来生长学生的思维：
变式1 ?一等腰三角形的腰长为4，周长为14，试求该等腰三角形的底长.
变式2 ?一等腰三角形的一条边长为4，另一边长为6，试求出该等腰三角形的周长.
变式3 ?一等腰三角形的一条边长为3，另一边长为6，试求出该等腰三角形的周长. （此题通过“三角形的三边关系”，可以得出长为3的边是底边）
变式4 ?一等腰三角形的一腰长是x，试求出该等腰三角形的底边长y的取值范围.
变式5 ?一等腰三角形的一腰长是x，底边长为y，周长为14，请写出x与y的函数关系式，并在平面直角坐标系内画出图像. （相较于变式4，此变式又有了新的生长，尤其是需要深入理解并合理运用好“0<y<2x”这一条件，以此搭建好此变式的解题路径）
教学分析 ?上述例题中，由“三角形的三边关系”出发，生长层次性较强的问题链，促进思维场的形成. 在变式的过程中，引领学生从解决此类问题的基本支架出发，从不同视角和不同路径进行探究，从而完善解题思路，有利于培养学生思维的灵活性. 然后，由特殊到一般变式，有助于学生思维变通性的培养，同时让学生感悟到解题策略本质的不变性.
反思思维能力，实现发展性思维的拓展
众所周知，好奇是源于人们对某些问题的关注，疑问主要是兴趣所致. 在数学教学中，学生对数学问题的好奇以及探求问题、寻求方法的疑问是学好数学、学会数学的前提. 低阶的教师一味地为学生排难解惑，而真正高明的教师则是巧妙地、不着痕迹地为学生创设只有深入思考才能突破的思维障碍，引发学生的好奇與疑问，让学生时时产生思维冲突，而与此同时又获得思考的快乐，从而实现发展性思维的拓展.
案例4 ?在执教完“一次函数”之后，教师可设计以下例题：
一物流公司需将A、B两种货品运送至某地，其中A种货品1240吨，B种货品880吨，现以一列货车运输. 已知该货车挂有甲和乙两种规格的货车车厢40节，使用每节甲型车厢的费用是6000元，使用每节乙型车厢的费用是8000元.
（1）设运送A、B两种货品的总费用是y万元，该货车挂甲型车厢x节，试写出y与x之间的函数关系式;
（2）若一节甲型车厢最多可装A种货品15吨和B种货品15吨，一节乙型车厢最多可装A种货品25吨和B种货品35吨，那么按以上要求装载这批货物时，有几种安排车厢的方案？
（3）以上几种方案中，哪一种方案最省运费？最少运费是多少万元？
教学分析 ?在探究问题（1）时，不少学生可以很快获得解题思路，并得出答案y=-0.2x+32. 而问题（2）中涉及的知识为“不等式组的整数解”，在亲历思考、探究、讨论、计算等过程中，学生得出以下方案：①甲型24节，乙型16节;②甲型25节，乙型15节;③甲型26节，乙型14节. 通过问题（2）的结论来解决问题（3）就轻而易举了.
在解题过程中，学生深入认识、透彻理解及学会反思是学好数学、享受数学的保障. 反思与分析促进学生的数学发展性思维.
总之，在以思维活动为载体，引导学生展开题后反思的过程中，教师需充分发挥学生的主体性，让学生积极主动地参与到反思活动中去，这样的过程可以让学生更加全面地经历数学知识的生长、数学思想的体验，从而对数学产生更加充分的认识和理解，并且获得各方面能力的提升.
