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让“数形结合”思想在高中数学课堂中绽放异彩

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刘静

【摘要】本文论述培养学生数形结合思想方法的措施，结合具体教材内容合理运用数形结合方法，借助信息技术手段营造数形结合情境，借形助数直观展现数量关系，形数结合发掘隐含条件，数形转化发展学生思维能力，并精心设计专题训练，以加强数形结合方法的应用能力。

【关键词】高中数学数形结合思想数形转化专题训练

【中图分类号】G? 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2020）01B-0148-03

数和形是研究数学的两大元素，数形结合是一种重要的数学思想。通常分为两种情形，一种是运用数的精确性来表述形的属性，另外一种是借助形的直观、形象来阐明数之间的关系，两者相互促进。在高中数学教学中，知识难度、深度有所增加，数形结合思想是一种解决问题的有效的教学方法。教师可以通过形象具体的图片直观展示抽象的知识，或者用数量揭示几何关系，让数学课堂变得更为精彩。

一、结合具体教材内容，合理运用数形结合方法

自从新课改实施以来，高中数学教材内容也有所调整，不少知识都蕴含一定的数形结合思想。这是新课改的一大发展趋势，使数学知识要点与数形结合思想之间的关系更为密切。在高中数学教学中，为让数形结合思想在课堂上绽放异彩，教师首先需认真分析和研读教学内容，善于从中提取有关数形结合的知识点，然后据此有针对性地渗透数形结合思想。转变教学形式与学生的学习方式，使他们在数形结合思想辅助下更好地学习与理解数学知识。

例如，在北师大版高中数学必修 1 第一章《集合》教学时，教师可以这样引入，请全班同学起来，然后请女生坐下，让学生观察、思考，可否用画图的方式来表示女生与男生及全班同学的关系。他们可能会想到，画一个大圆表示全班同学，再将大圆分成两个部分，一部分代表站立的男生，另外一部分代表坐下的女生，使其逐步认识集体与部分，部分与部分之间的关系。教师以此为切入点讲解集合的概念，逐步认识集合。利用图形进一步讲解集合和集合中的元素，以及集合中元素的特点。利用图与数的关系诠释集合概念的形成过程。

教师结合教材内容有针对性地渗透数形结合思想，引导学生在数形结合下认识和理解概念，增强他们的直观认识和记忆力，提高学习质量。

二、借助信息技术手段，营造数形结合情境

近年来，随着信息技术的飞速发展和广泛应用，多媒体教学设备已经普及，给课堂教学形式与内容带来巨大改变。在高中数学课程教学中教师需紧跟时代潮流，借助信息技术手段直观化、形象性的优势，通过图形或动画形式将部分抽象难懂的知识呈现出来，营造生动、具体的数形结合情境。为学生提供一个良好的学习平台，使其在信息技术引领下展开思考、分析和讨论，锻炼他们的学习能力与探究能力，深化认识数形结合思想。

比如，在实施北师大版高中数学必修 4 第二章《平面向量的线性运算》教学时，学生已经了解向量的表示方法，零向量、平行向量、单位向量、相等向量等概念，教师可设置这样的问题：（1）类比数的加法猜想向量的加法，需怎样定义向量的加法？（2）加法法则是什么？与数的运算法则有什么不同？然后让他们进行分析。因为向量是既有大小又有方向的量，所以教师可引导学生联系物理中位移的概念，并在课件中出示图 1，展示设置的问题：某人从 A 点经 B 点到 C 点，与从点 A 直接到点 C 的位移是否一样？学生很快就知道，從 A 点直接到 C 点的位移? 是 A 点经 B 点到 C 点的位移? 和? 的合成，即位移。也就是说，A 点经 B 点到 C 点的位移? 和? 的结果与 A 点直接到 C 点的位移? 结果相同。然后引入向量运算方法，让学生清晰地了解向量加法的定义，直观理解计算过程。令，，则向量? 叫做? 与? 的和，记作，即。令，则。让他们知道，数学中向量和的运算方法跟矢量的加运算一样。

教师充分借助信息技术手段直观、形象的优势，将向量加法计算过程生动、具体地呈现出来，营造数形结合情境。不仅便于学生理解向量加法的意义，而且更具趣味性。

三、借形助数，直观展现数量关系

由于“数”和“形”是一种对应关系，有些数量较为抽象，学生难以把握，而“形”具有形象、直观的优势，能表达出较多的具体思维内容。因此，我们可将数量转化为图形来分析和处理问题。在高中数学教学过程中，教师可以采用以数化形的方法，把一些难懂抽象的有关数量关系的数学形式进行化解，通过图形的方式直观呈现出来，以此降低学生对知识的理解难度，利用图形辅助分析、推理，最终解决数量问题。

在开展北师大版高中数学必修 4 第一章第 4 节《任意角的三角函数》教学时，教师可以这么提问，锐角三角函数是否能推广至任意角？让学生先独立思考，再相互讨论。然后引导学生画图，在 Rt△MOP 中，∠M 为直角，OP 为斜边，∠MOP=α，于是，，。但这仅能表示锐角的三角函数，使其产生认知冲突，发现以前用直角三角形的锐角的对边、邻边、斜边之间的比值来表示三角函数的方法在此行不通。接着画一个直角坐标系，用角终边上点的坐标表示锐角三角函数，设锐角 α 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的正半轴重合，那么它的终边就在第一象限。在 α 的终边上任取一点 P，设点 P 坐标为（x，y），它与原点的距离，过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M，则线段 OM 的长度为 x，线段 MP 的长度为 y，使其结合平面直角坐标系表示角 α 正弦、余弦和正切，那么就可以用这种方法求任意角的三角函数值。

教师指导学生先用几何图形求锐角三角函数的正弦、余弦和正切，然后再借助平面直角坐标系求锐角三角函数的正弦、余弦和正切，借助图形将数学符号直观地展现出来，降低理解难度。

四、形数结合，发掘隐含条件

虽然图形有直观、形象的特点，但在定量方面还必须借助数量来计算。特别是对于较复杂的图形来说，既要把图形准确数量化，又需留心观察图形特点，发掘其中的隐含条件，利用图形的几何意义和性质，准确地把图形中的数量关系找出来，然后分析计算。在高中数学教学中，教师需组织学生仔细观察和认真分析图形，把图形中的各元素之间的关系转化成数量关系或运算形式，以有效解答问题。树立以形化数的数学思想，掌握高效的学习方法。

以北师大版高中数学必修 2 第三单元《直线的方程》教学为例，教师可以设置例题如下：

求点 P（-1，4）到直线 l：（m+1）x+（2-m）y+m-5=0 的距离 d 的最大值。

设 Q 是直线 l 上的任意一点，因为点与线之间最短距离是垂线段，所以 d≤PQ，当且仅当 PQ⊥l 时两者相等，此时 d 取得最大值为丨PQ丨。学生虽然能画出草图，但难以求出答案。这时要用到以形化数的方法，将原方程转化为 x+2y-5+m（x-y+1）=0，表示直线过 x+2y-5=0 与 x-y+1=0 直线的交点，据此求出 x=1，y=2，两直线交点是 Q（1，2），即直线 l 恒过定点 Q（1，2）。当 PQ⊥l 时，d 取最大值。

图数结合，将数的问题与图的问题进行结合，给学生充足的观察与思考时间，激活思维，引导他们高效、快速地解答方程问题。

五、数形转化，发展学生思维能力

在数形结合思想中，数量与图形是能够相互转化的，有些知识或问题并非纯粹的以数化形，或以形化数，而是要两者之间相互转化。在高中数学教学中，教师需依据具体的知识与问题，引领学生从已知出发，认真分析并找出数量与图形的相互转变关系。通常的方法是看到图形思考数量、见到数量想象图形，也就是说，以数化形、以形变数，两者相结合，把繁琐抽象的数学问题进行简单化处理，提升学生运用数形结合思想的能力。

在北师大版高中数学必修 1 第二章《函数》教学实践中，有这样一道例题：

已知函数，如果 f（x0）>1，求 x0 的取值范围。

本题主要考查函数的基本知识，可利用函数的单调性解不等式或借助数形结合思想解题。教师可先介绍一般解法，让 x>0，或 x≤0，2x-1>1，解得 x<-1 或 x>1。然后讲述数形结合法，要求学生在平面直角坐标系中画出函数 y=f（x）的图象与直线 y=1。他们就能清晰地看到两者的交点是（-1，1）和（1，1），由 f（x0）>1 得出 x0<-1 或 x0>1。

随后教师可设置类似题目：已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f（x）=x（1+x），试求当 x<0 时函数 f（x）的解析式。让学生继续运用数形结合思想解题。

教师指导学生先将题目中的数量转化為图形，再根据图形转化成数量关系，实现数与形之间的灵活转化。以此活跃学生的思维，让他们学会准确运用数形结合方法解题。

六、精心设计专题训练，加强数形结合方法的应用能力

在高中数学教学中，涉及数形结合的知识点很多，比如，集合、函数、方程与不等式、三角函数、解析几何、立体几何等。教师要想提高学生运用数形结合思想的能力，那么就要在课堂教学中精心设计专题训练，专门设置一些适合运用数形结合方法解决的题目，触类旁通，使其掌握解题方法，形成知识迁移能力，提高他们的解题能力。

在北师大版高中数学必修 5 第三章《不等式》教学中，当学习完本章知识内容后，教师可围绕数形结合思想开展专题训练，设置需要利用数形结合思想求解的练习题。如，已知不等式? 的解集为（0，4]，那么 a 的取值范围是什么？教师要求学生先在同一平面直角坐标系内分别作出 y=ax 和? 的图象，然后进行求解。令 y=ax，，得到 0≤x≤4。因此 y=ax 是过原点且斜率是 a 的直线;（0≤x≤4）是圆心坐标为（2，0），半径为 2 的圆，但它仅是在 x 轴及 x 轴上方的部分。不等式? 的几何意义是半圆在（0，4]上，恒处于直线的上方。如图 3 所示，由此可知当 a<0时，上述结论成立，所以 a 的取值范围为 a<0。

教师围绕数形结合思想设计专题训练，为学生提供更多运用数形结合思想分析和解答题目的机会，使他们学会举一反三，使数学课堂绽放异彩。

在高中数学课堂教学中，教师需综合多个方面的有利因素融入数形结合思想，全力提升课堂的精彩程度。对学生进行熏陶与感染，使其学会主动运用数形结合思想学习知识和解答题目，进而提高他们的综合素质。

【参考文献】

[1]汪冬兴.数形结合在高中数学教学中的价值渗透[J].数学大世界（下旬），2019（8）

[2]王仁贵.浅析高中数学教学中数形结合方法的应用[J].学苑教育，2019（18）

（责编卢建龙）

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