| 标题 | 物流系统中一类向量优化问题弱有效解集非空紧性的刻画与研究 |
| 范文 | 摘要:向量优化问题在物流系统中有着广泛的应用,在向量优化问题中,决策者为了选择一个“最好的”可行方案,需要综合考虑各个目标因素。由于向量优化问题的解和决策者的偏好紧密联系,所以最优解的概念在这里是没有意义的。通常研究的是有效解和弱有效解,它们和决策者的控制结构密切相关。文章研究了当目标空间的控制结构为多面体锥时,锥约束凸向量优化问题的弱有效解集的非空紧性的各种刻画,从而为向量优化问题计算方法的发展提供了很好的理论基础。 关键词:向量优化;弱有效解;锥约束优化 中图分类号:F224文献标识码:A Abstract: There are many applications about vector optimization problems in logistics system. In order to solve these kinds of problems, people should take into account many factors which are related to their preferences. While considering these problems, we usually study the efficient solution and weakly efficient solution instead of optimal solution. In this paper, I characterize the nonemptiness and compactness of the weakly efficient solution set of a cone-constrained convex vector optimization problem, which is very help to obtain some weakly efficient solution in vector optimization problems. Key words: vector optimization; weakly efficient solution; cone-constrained optimization 1研究背景和基本知识 向量优化问题在物流技术中有着广泛的应用,物流系统中许多决策问题都有多个目标,例如:当今全球市场竞争激烈,新产品的生命周期越来越短,顾客期望值不断提高,这些因素迫使企业开始投资并关注于它们的供应链。在供应链中,企业首先需要购买原材料,在一个或多个工厂中生产出产品,然后运到仓库临时存储,最后再运给零售商或客户。在这个系统中,需要考虑的是减少成本和提高服务水平两个目标。另外,系统的所有成本,包括运输和配送,以及原材料、在制品和成品的库存,都要最小化。因此这也是一个多目标问题。又如,在派送网络配置问题中,考虑几个生产厂向一群地理上分散的零售商提供产品。目前仓库配置被认为是不合理的,管理者希望重新组织或重新设计配送网络。这可能源于需求模式的改变或一些现有仓库租约的终结。另外,需求模式的改变可能需要改变工厂的产量、新供应商的选择,以及货物在配送网络中的流动方式。管理者应如何选择仓库的位置和容量,确定每个厂商的生产批量,并设定设施之间的运输流,包括生产厂到仓库和仓库到零售商,以保证这些决策可以最小化所有生产、库存和运输的成本,并满足必要的服务水平要求。这是一个含有生产、库存,运输成本和服务水平的有4个目标的决策问题。 以上列举的多目标决策问题都有一些共同的特点,其中最显著的是以下两点:目标间的不可公度性和目标间的矛盾性。所谓目标间的不可公度性是指各个目标没有统一的度量标准,因而难于进行比较,例如在供应链问题中,成本以元计,而服务水平以顾客的满意度计。目标间的矛盾性是指如果采用一种方案去改进某一目标的值,可能会使另一目标的值变坏。例如在派送网络配置问题中如果提高产量,增加库存就会使运输成本增加;如果提高服务水平就会使库存增加。由于多个目标之间的矛盾性和不可公度性,因此不能简单的把多个目标归并为单个目标,使用求解单目标决策问题的方法去求解多目标决策问题,这样就提高了求解多目标的问题的难度,同时也说明了多目标问题解集的复杂性。 在向量优化问题中,决策者需要综合考虑各个目标因素。在做出决定时,人们试图去选择一个“最好的”可行方案。它意味着需要把所有可行的方案按照优劣排列先后次序,方案的优劣是根据所有目标的属性值衡量的,而目标的属性值是建立在决策人的偏好结构的基础上的。换句话说,决策人的偏好结构是指对于一个多目标决策问题,他能按自己的偏好把可行方案中的每两个进行比较,区分其优劣,然后排列该方案的先后次序。比较两个方案时,将产生次序关系。偏好序为一种次序关系,它也是一种二元关系。这种二元关系包括一个方案严格优于另一方案,一个方案无差异于另一个方案,一个方案不劣于另一个方案。我们用符号φ表示严格偏好序的“优于”,用符号～表示优先—无差异序的“无差异序”,用符号≥表示优先—无差异序的“至少不劣于”。 对于上述偏好序,记它的方案集合为YR,如果它具有以下性质: (1)自反性即对y∈Y, y≥Y (2)反对称性即对y, y∈Y, y≥y且y≥yy=y (3)传递性即对y,y, y∈Y, y≥y且y≥yy≥y 则称这个序为偏序,称Y为偏序集(偏序空间)。如果YY,则Y也为偏序集。如果Y上任意两点均可以比较大小,则Y为全序集。 为了更好的描述这一类问题,在参考文献[1]中引入了控制结构的概念。设Y为线性空间,CY非空,在C上定义了Y的序≤C,即y≤C yy-y∈C。 则称C为控制结构。如果C为尖闭凸锥,则≤C为偏序。 如前面所述,由于向量优化问题的解和决策者的偏好紧密相关,所以最优解的概念在这里是没有意义的。我们通常研究的是有效解和弱有效解,它们和决策者的控制结构密切相关。设Y为控制结构为D的序空间。如果对y∈Y都有y--D,我们称∈Y为Y的一个有效点;如果intD≠φ,对y∈Y都有y--intD,我们称∈Y为Y的一个弱有效点。 研究优化问题解集的特性为计算方法的发展提供了很好的理论基础。 到目前为止,已经有很多学者对单目标规划解的特性进行了很详尽的研究,例如参考文献[2]、[3]、[4]。 由于向量优化问题应用的广泛性和解集的复杂性,近些年也引起了很多研究者的兴趣,而且得出了很有价值的结论,例如,参考文献[5]、[6]、[7]、[8]。当目标空间的控制结构为Pareto锥时,参考文献[6]得到了有限维空间一般凸优化问题弱有效解集非空紧性的刻画,参考文献[7]、[8]详尽的研究了有限维空间锥约束凸优化问题弱有效解集的非空紧性,并把所得的结果应用到罚函数方法的收敛性上,参考文献[5]刻画了无限维自反Banach空间中一般凸向量优化问题弱有效解集的非空有界性,参考文献[9]刻画了无限维自反Banach空间中锥约束凸向量优化问题弱有效解非空有界性,并且把结果用来分析一类罚函数方法的收敛性。 本文在以上研究基础上进行了推广,研究了当目标空间的控制结构为多面体锥时,锥约束凸向量优化问题弱有效解的非空紧性的刻画,从而为求解这类向量规划问题提供了很好的理论基础。 2弱有效解集非空紧性的刻画 假设a∈R, i∈1,…,r,令D=x∈R: ax≥0, i∈1,…,r且有非空内部。 这一节我们考虑下列锥约束优化问题: D-minfx CVPs.t. x∈C gx∈-K 其中,CR是非空闭凸集;fx=fx,…,fx: C→R是向量值函数,fx是D-凸的,并且每一个, i∈1,…,r在C上是下半连续的;K是一个非空闭凸集,Y是一个赋泛空间,并且Y为K引入的序空间;gx: C→Y是K-凸的,而且对于每一个μ∈K, μx在C是下半连续的。 我们定义CVP的可行解集为X,即X=x∈C: gx∈-K 在这一节,我们假定X≠φ;同时我们令Fx=Fx,…,Fx,其中,Fx=, x∈C, i ∈1,…,r。 定义~2.1向量x∈X是向量优化问题CVP的一个有效解,当且仅当fx-fx-D, x∈X。这一节,我们定义CVP的有效解集为E。 向量x∈X是向量优化问题CVP的一个弱有效解,当且仅当fx-fx-intD, x∈X。我们定义CVP的弱有效解集为E。 在这一节,我们还要考虑下面的向量优化问题: D-minfx s.t. x∈C gx=:supμgx≤0 因为μgx是下半连续的凸函数,并且K是有界的,所以我们可以容易的验证gx是实值的,下半连续的凸函数,见参考文献[8]。 根据参考文献[8] (Proposition 2.1和Proposition 2.2),我们可以类似的得到下面的命题~2.1和命题~2.2。 命题~2.1向量优化问题CVP和有相同的有效解集和弱有效解集。 命题~2.2考虑向量优化问题CVP。E是非空紧的,当且仅当每一个θx=maxFx,gx, i=1,…,r在C上是水平有界的。 在这一节,我们同时要考虑下面的单目标优化问题: minFx CVPs.t. x∈C gx=:supμgx≤0 定义~2.2我们定义CVP的最优解集为S。 类似于参考文献[8](Proposition 2.3,Proposition 2.4和Theorem 2.1),我们可以得到下面的命题~2.3,命题 ~2.4和定理~2.1。 命题~2.3S是非空紧的,当且仅当θx, i∈1,…,r在C上是水平有界的。 命题~2.4S是非空紧的,当且仅当对任意的v∈K, Fx在集合X=x∈X: gx∈v-K上是水平有界的。 定理~2.1E是非空紧的,当且仅当对任意的i∈1,…,r和任意的v∈K, Fx在集合X=x∈X: gx∈v-K上是水平有界的。 参考文献: [1]Yu, P. L.. Cone convexity, Cone extreme points, and nondominated solutions in decision problems with multiple objectives[J]. Optim. Theory Appl., 1974,14:319-377. [2]Mangasarian, O.L.. A simple characterization of solution sets of convex programs[J]. Operations Research Letters, 1988,7:21 -26. [3]Burke, J.V., Ferris, M. Characterization of solution sets of convex programs[J]. Operations Research Letters, 1991,10:57-60. [4]Jeyakumar, V., Lee, G. M., Dinh, N. Lagrange multiplier conditions charactering the optional solutions sets of cone-constrained convex programs[J]. Journal of Optimization Theory and Applications, 2004,123:83-103. [5]Deng, S. Characterizations of the nonemptiness and boundedness of weakly efficient solution sets of convex vector optimization problems in real reflexive Banach spaces[J]. Journal of Optimization Theory and Applications, 2009,140:1-7. [6]Deng, S. Characterizations of the nonemptiness and compactness of solution sets in convex vector optimization[J]. Journal of Optimization Theory and Applications, 1998,96:123-131. [7]Huang, X. X., Yang, X. Q.. Characterizations of the nonemptiness and compactness of the set of weakly efficient solutions for convex vector optimization and applications[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2001,264:270-287. [8]Huang, X. X., Yang, X. Q., Teo, K. L.. Characterizing nonemptiness and compactness of the solution set of a convex vector optimization problem with cone constraints and applications[J]. Journal of Optimization Theory and Applications, 2004,123:391-407. [9] 张亚琴,黄学祥. Characterizing nonemptiness and boundedness of weak efficient solution set for constrained convex vector optimization in reflexive Banach space[J]. 运筹学学报,2009,13(1):51-60. |
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