《例说分类讨论思想在解题中的一些应用（二）》-理学论文，数学论文-论文范文参考-科学狗论文网

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例说分类讨论思想在解题中的一些应用（二）

范文

陈显华

【摘要】分类讨论又称分情况讨论.当一个数学问题在一定的题设下，其结论并不唯一时，我们就需要对这一问题进行必要的分类.将一个数学问题根据题设分为有限的若干种情况，在每一种情况中分别求解，最后再将各种情况下得到的答案进行归纳综合，这种研究问题的思想方法就是分类讨论的思想方法.分类讨论法是根据问题的不同情况分类求解，它体现了化整为零和积零为整的思想与归类整理的方法，是极为重要的思想方法.

【关键词】分类讨论思想;解题;应用

一、用分类讨论思想求三角形的边长

例1等腰三角形一条腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成15 cm和6 cm两部分，求等腰三角形的腰长和底边长.

解设等腰三角形的腰长为2x cm，底边长为y cm，则根据题意，可得

2x+x=15，x+y=6或2x+x=6，x+y=15.

分别解这两个二元一次方程组，得

x=5，y=1或x=2，y=13.

∵x=2时，2x=4，

又∵4+4<13，

∴x=2，y=13应该被舍去.

综上所述，等腰三角形一条腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成15 cm和6 cm两部分，等腰三角形的腰长为10 cm，底边长为1 cm.

例2已知直角三角形两边的长x，y满足x2-4+y2-5y+6=0，则第三边的长为.

解根据非负数的性质，可得x2-4=0，且y2-5y+6=0，

∴x=±2，y=3或2.

∵x，y表示直角三角形的边长，

∴x=-2应该被舍去.

∴x=2，y=3或x=2，y=2.

当x=2，y=2时，根据勾股定理可得第三边的长为22+22=22;

当x=2，y=3时，根据勾股定理可得第三边的长为22+32=13.

当直角三角形的两边长为2和3时，并不能确定它们都是直角边，斜边有可能为3，故第三边长也可能为32-22=5.

综上所述，已知直角三角形两边的长x，y满足x2-4+y2-5y+6=0，则第三边的长为22，13或5.

二、用分类讨论思想判断三角形的形状

例3已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，试判断△ABC的形状.

解∵a2c2-b2c2=a4-b4，

∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2），

∴c2（a2-b2）-（a2+b2）（a2-b2）=0.

∴（a2-b2）[c2-（a2+b2）]=0.

当a2-b2=0时，即a=b时，此时△ABC是等腰三角形;

当a2-b2≠0时，经化简，得c2=a2+b2，此时△ABC是直角三角形.

综上所述，△ABC是等腰三角形或直角三角形.

三、用分类讨论思想求二次函数的最值

例4已知二次函数y=x2，在-1≤x≤4这个范围内，求函数的最值.

解∵-1≤x≤4包含了x=0，

∴函数y=x2的最小值为0.

又∵当x=-1时，y=1，当x=4时，y=16，

∴当-1≤x≤4时，函数y=x2的最大值为16.

综上所述，二次函数y=x2，在-1≤x≤4这个范围内的最小值为0，最大值为16.

四、用分类讨论思想进行与圆有关的计算

例5如图1所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4.若以点C为圆心、R为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，则R的取值范围是.

解如图2所示，以点C为圆心、R为半径的圆与斜边AB相切，过点C作CD⊥AB于D，则CD=R.

根据勾股定理，可得AB=AC2+BC2=32+42=5，

∴S△ABC=12AC·BC=12AB·CD.

∴R=CD=AC·BCAB=3×45=125=2.4.

如图3所示，当以点C为圆心、R为半径的圆与斜边AB相交于一点，那么R应满足AC

综上所述，当R=2.4或3

例6已知⊙A和⊙B相切，其圆心距为8 cm，⊙A的半径为3 cm，则⊙B的半径是（）.

A.5 cmB.11 cmC.3 cmD.5 cm或11 cm

解设⊙A和⊙B的半径分别为rA和rB，圆心距为d.

当⊙A和⊙B外切时，rA=3，d=8，

∴rA+rB=d.

∴rB=5，即⊙B的半径是5 cm.

当⊙A和⊙B内切时，rA=3，d=8，

∴rB-rA=d，

∴rB=11，即⊙B的半径是11 cm.

综上所述，已知⊙A和⊙B相切，其圆心距为8 cm，⊙A的半径为3 cm，则⊙B的半径rB=5 cm或rB=11 cm，选D.

例7在半径为R的圆内，求长为R的弦所对的圆周角的度数.

解如图4所示，当圆周角的顶点C在优弧上时，⊙O的半径为R，AB=R，∠ACB是长为R的弦所对的圆周角.连接OA，OB，则OA=OB=AB=R，于是△OAB为等边三角形，

∴∠AOB=60°，

∴∠ACB=12∠AOB=30°.

如图5所示，当长为R的弦AB所对的圆周角的顶点C在劣弧AB上时，连接OA，OB，同理可得△OAB為等边三角形，

∴∠AOB=60°，

∴优弧AMB所对的圆心角为360°-60°=300°，

∴优弧AMB所对的圆周角∠ACB=150°.

综上所述，在半径为R的圆内，长为R的弦所对的圆周角的度数为30°或150°.

例8已知⊙O的半径为5 cm，AB和CD是⊙O的两条弦，且AB∥CD，AB=6 cm，CD=8 cm，则AB和CD间的距离为（）.

A.7 cmB.1 cmC.7 cm或1 cmD.5 cm或10 cm

解如图6所示，当弦AB和弦CD位于圆心O的两侧时，过圆心O作OF⊥AB，垂足为F，延长FO交CD于E，连接OA，OC，则由“如果一条直线垂直于两平行线中的一条，那么它也垂直于另一条直线”，知FE⊥CD，所以△AOF和△COE皆为直角三角形，由垂径定理，可知AF=12AB=3 cm，CE=12CD=4 cm.

在Rt△AOF中，∠AFO=90°，OA=5，AF=3，根据勾股定理，可得OF=OA2-AF2=52-32=4.

同理，在Rt△COE中，∠CEO=90°，OC=5，CE=4，根据勾股定理，可得OE=OC2-CE2=52-42=3.

∵F，O，E三点共线，且FE=OF+OE，

∴FE=4+3=7，即弦AB和弦CD之间的距离为7 cm.

如图7所示，当弦AB和弦CD位于圆心O的同侧时，过圆心O作OE⊥CD，垂足为E，交AB于点F，则由“如果一条直线垂直于两平行线中的一条，那么它也垂直于另一条直线”，知OF⊥AB，所以△AOF和△COE皆为直角三角形，而且由垂径定理，可知AF=12AB=3 cm，CE=12CD=4 cm.

在Rt△AOF和Rt△COE中分别根据勾股定理，可得OF=4，OE=3.

∵F，O，E三点共线，且FE=OF-OE，

∴FE=4-3=1，即弦AB和弦CD之间的距离为1 cm.

综上所述，弦AB和弦CD之间的距离为7 cm或1 cm.

所以本题选C.

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