网站首页  词典首页

请输入您要查询的论文：

　

标题 高考数学必做解答题——概率统计
范文 粟高军
1 随机事件的概率
（ ）必做1 袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个，已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是 .
（1）求n的值；
（2）从袋子中不放回地随机抽取2个球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.
①记“a+b=2”为事件A，求事件A的概率；
②在区间[0，2]内任取实数x，y，求事件“x2+y2>（a-b）2恒成立”的概率.
破解思路 （1）n的值可通过“等概率性”直接求解. （2）第①小题的基本事件数为有限个，属于古典概型问题，可分为第一次取0号球，第二次取2号球；第一次取2号球，第二次取0号球两种情况来求概率. 第②小题中x，y两个数都在连续的区间内取，基本事件数为无限个，属于“测度”为面积的几何概型问题.
精妙解法 （1）由题意可得 = = ，解得n=2.
（2）①由于是不放回地抽取，事件A只有两种情况：第一次取0号球，第二次取2号球；第一次取2号球，第二次取0号球. 所以P（A）= = = .
②记“x2+y2>（a-b）2恒成立”为事件B，则事件B等价于“x2+y2>4恒成立. （x，y）可以看成平面中的点，则全部结果所构成的区域为Ω={（x，y）0≤x≤2，0≤y≤2，x，y∈R}；而事件B构成的区域B={（x，y）x2+y2>4，（x，y）∈Ω}，所以P（B）= =1- .
误点警示 古典概型中基本事件数一般是通过分类求解，要注意“有放回”与“无放回”的区别，也要注意“有序与无序”的区别；利用几何概型求概率时，要注意寻找试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域，更要注意“测度”为面积型与长度型的准确判定.
（ ）必做2 甲、乙、丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为 ，乙、丙做对的概率分别为m，n（m>n），且三位学生是否做对相互独立. 记ξ为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：
（1）求至少有一位学生做对该题的概率；
（2）求m，n的值；
（3）求ξ的数学期望.
破解思路 本题主要考查对立事件以及和事件的概率的求法.
精妙解法 设“甲做对”为事件A，“乙做对”为事件B，“丙做对”为事件C，由题得P（A）= ，P（B）=m，P（C）=n.
（1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“ξ=0”是对立的，
所以至少有一位学生做对该题的概率是1-P（ξ=0）=1- = .
（2）由题意知P（ξ=0）=P（ ）= （1-m）（1-n）= ，P（ξ=3）=P（ABC）= mn= .
整理得mn= ，m+n= ，由m>n，解得m= ，n= .
（3）由题意知a=P（ξ=1）=PA +P B +P C= （1-m）（1-n）+ m（1-n）+ （1-m）n= ，b=P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）= ，所以ξ的数学期望为E（ξ）=0×P（ξ=0）+1×P（ξ=1）+2×P（ξ=2）+3×P（ξ=3）= .
金刊提醒
古典概率在概率论中占有相当重要的地位，是高考重点考查的内容. 这类试题常与排列组合相结合，往往伴随分类讨论思想.几何概型多与函数、方程、不等式等联系，同时也更广泛地满足了随机模拟的需要.
2 离散型随机变量的分布列、期望与方差
（ ）必做1 高三（1）班和高三（2）班各已选出3名学生组成代表队，进行乒乓球对抗赛，比赛规则是：①按“单打、双打、单打”的顺序进行三盘比赛；②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，但不得参加两盘单打比赛；③先胜两盘的队获胜，比赛结束. 已知每盘比赛双方胜的概率均为 .
（1）根据比赛规则，高三（1）班代表队共可排出多少种不同的出场阵容？
（2）高三（1）班代表队连胜两盘的概率为多少？
（3）设高三（1）班代表队获胜的盘数为ξ，求ξ的分布列和期望.
破解思路 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望.考虑①和②，第（1）问的出场阵容可以这样考虑：先确定三组（从三人中选两人进行单打，再从单打中选一人与第三个人组合双打），然后将三组按比赛先后次序排列. 第（2）问高三（1）班连胜两盘有两种情况：前两局胜，或第一局负、第二局和第三局胜. 第（3）问根据“设出随机事件变量ξ→列出变量ξ的可能取值→分别求出ξ可能取值的概率→列表→套用公式求数学期望”的流程求解即可.
精妙解法 （1）参加单打的队员有A 种方法，参加双打的队员有C 种方法. 所以高三（1）班出场阵容共有A ·C =12（种）.
（2）高三（1）班代表队连胜两盘，可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负、其余两盘胜. 所以连胜两盘的概率为 × + × × = .
（3）ξ的取值可能为0，1，2.
P（ξ=0）= × = ，P（ξ=1）= × × + × × = ，
P（ξ=2）= × + × × + × × = .
所以ξ的分布列为：
所以E（ξ）=1× +2× = .
极速突击 求离散型随机变量的分布列、期望与方差的一般方法：①理解ξ的意义，写出ξ可能的全部取值；②求ξ取每个值的概率；③写出ξ的分布列；④由期望的定义求出E（ξ）；⑤由方差的定义求D（ξ）.
（ ）必做2 形状如图1所示的三个游戏盘中（图①是正方形，M，N分别是所在边中点，图②是半径分别为2和4的两个同心圆，O为圆心；图③是正六边形，点P为其中心）各有一个玻璃小球，依次摇动三个游戏盘后，将它们水平放置，就完成了一局游戏.
（1）一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分的概率是多少？
（2）用随机变量ξ表示一局游戏后，小球停在阴影部分的事件数与小球没有停在阴影部分的事件数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望.
破解思路 解决本题的关键首先要理解好题意，将其归结为“测度”为面积的几何概型；另外一定要认真审题.
精妙解法 （1）“一局游戏后，这三个盘中的小球停在阴影部分”分别记为事件A1，A2，A3 .
由题意知，A1，A2，A3互相独立，且P（A1）= ，P（A2）= ，P（A3）= ，
所以“一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分”的概率为P（A1A2A3）=P（A1）P（A2）P（A3）= × × = .
（2）一局游戏后，这三个盘中的小球停在阴影部分的事件数可能是0，1，2，3，相应的小球没有停在阴影部分的事件数可能取值为3，2，1，0，所以ξ可能的取值为1，3.
由分析可得P（ξ=3）=P（A1A2A3）+P（ ）=P（A1）P（A2）P（A3）+P（ ）P（ ）P（ ）= × × + × × = ；P（ξ=1）=1- = .
所以ξ的分布列为：
数学期望E（ξ）=1× +3× = .
3 抽样方法与总体分布的估计
（ ）必做1 某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]，得到如图1所示的频率分布直方图.
（1）求图中实数a的值；
（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；
（3）若从数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.
破解思路 第（1）问根据“频率分布直方图中，小矩形的面积之和为1”可解得a；第（2）问利用样本估计总体的思想即可解决；第（3）问中的事件“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”包括两个基本事件：“这两名学生的数学成绩在[40，50）分数段内”和“这两名学生的数学成绩在[90，100]分数段内”.
精妙解法 （1）由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以10×（0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01）=1，即a=0.03.
（2）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1-10×（0.005+0.01）=0.85. 由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85=544（人）.
（3）成绩在[40，50）分数段内的人数为40×0.05=2人，成绩在[90，100]分数段内的人数为40×0.1=4人. 若从这6名学生中随机抽取2人，则总的取法有C =15.
如果两名学生的数学成绩都在[40，50）分数段内或都在[90，100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10. 如果一个成绩在[40，50）分数段内，另一个成绩在[90，100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.
所以，所取两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的取法数为C +C =7，故所求概率为P（M）= .
金刊提醒
本考点以实际问题为背景，考查频率分布直方图和用样本的数字特征估计总体的数字特征.要弄懂直方图，熟练掌握众数、中位数、平均数、方差、标准差的计算方法.
4 回归分析与独立性检验
（ ）必做1 某次运动会在我市举行，为了搞好接待工作，组委会招募了16名男志愿者和14名女志愿者，调查发现，男、女志愿者中分别有10人和6人喜爱运动，其余不喜爱.
（1）根据以上数据完成下面的2×2列联表：
（2）根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与喜爱运动有关？
（3）从女志愿者中抽取2人参加接待工作，若其中喜爱运动的人数为ξ，求ξ的分布列和期望.
参考公式：
K2= ，其中n=a+b+c+d.
参考数据：
破解思路 第（1）、（2）问比较基础，根据题意可以补全表格，根据参考公式和参考数据可以判断性别与喜爱运动是否相关；第（3）小问利用离散型随机变量的分布列与期望的知识解决.
精妙解法 （1）补全2×2列联表如下：
（2）假设喜爱运动与性别无关，由已知数据可求得：
K2= ≈1.1575<2.706.
因此，在犯错的概率不超过0.10的前提下不能判断喜爱运动与性别有关.
（3）喜爱运动的人数为ξ的取值分别为0，1，2，其概率分别为：
P（ξ=0）= = ，P（ξ=1）= = ，P（ξ=2）= = .
所以喜爱运动的人数ξ的分布列为：
所以E（ξ）=0× +1× +2× = .
金刊提醒
本部分内容是新课标数学的新增内容，主要考查线性回归分析和独立性检验的统计方法.
一般情况下，在尚未断定两个变量之间是否具有线性相关关系的情况下，应先进行相关性检验.在画出散点图并确认其具有线性相关关系后，再求其回归直线方程；由部分数据得到的回归直线，再对两个变量间的线性相关关系进行估计.
独立性检验的基本思想类似于反证明法.要确认“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，则在该假设下构造的随机变量K2应该很小，如果由观测数据计算得到的K2观测值k很大，则在一定程度上说明假设不合理.
（1）一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分的概率是多少？
（2）用随机变量ξ表示一局游戏后，小球停在阴影部分的事件数与小球没有停在阴影部分的事件数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望.
破解思路 解决本题的关键首先要理解好题意，将其归结为“测度”为面积的几何概型；另外一定要认真审题.
精妙解法 （1）“一局游戏后，这三个盘中的小球停在阴影部分”分别记为事件A1，A2，A3 .
由题意知，A1，A2，A3互相独立，且P（A1）= ，P（A2）= ，P（A3）= ，
所以“一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分”的概率为P（A1A2A3）=P（A1）P（A2）P（A3）= × × = .
（2）一局游戏后，这三个盘中的小球停在阴影部分的事件数可能是0，1，2，3，相应的小球没有停在阴影部分的事件数可能取值为3，2，1，0，所以ξ可能的取值为1，3.
由分析可得P（ξ=3）=P（A1A2A3）+P（ ）=P（A1）P（A2）P（A3）+P（ ）P（ ）P（ ）= × × + × × = ；P（ξ=1）=1- = .
所以ξ的分布列为：
数学期望E（ξ）=1× +3× = .
3 抽样方法与总体分布的估计
（ ）必做1 某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]，得到如图1所示的频率分布直方图.
（1）求图中实数a的值；
（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；
（3）若从数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.
破解思路 第（1）问根据“频率分布直方图中，小矩形的面积之和为1”可解得a；第（2）问利用样本估计总体的思想即可解决；第（3）问中的事件“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”包括两个基本事件：“这两名学生的数学成绩在[40，50）分数段内”和“这两名学生的数学成绩在[90，100]分数段内”.
精妙解法 （1）由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以10×（0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01）=1，即a=0.03.
（2）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1-10×（0.005+0.01）=0.85. 由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85=544（人）.
（3）成绩在[40，50）分数段内的人数为40×0.05=2人，成绩在[90，100]分数段内的人数为40×0.1=4人. 若从这6名学生中随机抽取2人，则总的取法有C =15.
如果两名学生的数学成绩都在[40，50）分数段内或都在[90，100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10. 如果一个成绩在[40，50）分数段内，另一个成绩在[90，100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.
所以，所取两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的取法数为C +C =7，故所求概率为P（M）= .
金刊提醒
本考点以实际问题为背景，考查频率分布直方图和用样本的数字特征估计总体的数字特征.要弄懂直方图，熟练掌握众数、中位数、平均数、方差、标准差的计算方法.
4 回归分析与独立性检验
（ ）必做1 某次运动会在我市举行，为了搞好接待工作，组委会招募了16名男志愿者和14名女志愿者，调查发现，男、女志愿者中分别有10人和6人喜爱运动，其余不喜爱.
（1）根据以上数据完成下面的2×2列联表：
（2）根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与喜爱运动有关？
（3）从女志愿者中抽取2人参加接待工作，若其中喜爱运动的人数为ξ，求ξ的分布列和期望.
参考公式：
K2= ，其中n=a+b+c+d.
参考数据：
破解思路 第（1）、（2）问比较基础，根据题意可以补全表格，根据参考公式和参考数据可以判断性别与喜爱运动是否相关；第（3）小问利用离散型随机变量的分布列与期望的知识解决.
精妙解法 （1）补全2×2列联表如下：
（2）假设喜爱运动与性别无关，由已知数据可求得：
K2= ≈1.1575<2.706.
因此，在犯错的概率不超过0.10的前提下不能判断喜爱运动与性别有关.
（3）喜爱运动的人数为ξ的取值分别为0，1，2，其概率分别为：
P（ξ=0）= = ，P（ξ=1）= = ，P（ξ=2）= = .
所以喜爱运动的人数ξ的分布列为：
所以E（ξ）=0× +1× +2× = .
金刊提醒
本部分内容是新课标数学的新增内容，主要考查线性回归分析和独立性检验的统计方法.
一般情况下，在尚未断定两个变量之间是否具有线性相关关系的情况下，应先进行相关性检验.在画出散点图并确认其具有线性相关关系后，再求其回归直线方程；由部分数据得到的回归直线，再对两个变量间的线性相关关系进行估计.
独立性检验的基本思想类似于反证明法.要确认“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，则在该假设下构造的随机变量K2应该很小，如果由观测数据计算得到的K2观测值k很大，则在一定程度上说明假设不合理.
（1）一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分的概率是多少？
（2）用随机变量ξ表示一局游戏后，小球停在阴影部分的事件数与小球没有停在阴影部分的事件数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望.
破解思路 解决本题的关键首先要理解好题意，将其归结为“测度”为面积的几何概型；另外一定要认真审题.
精妙解法 （1）“一局游戏后，这三个盘中的小球停在阴影部分”分别记为事件A1，A2，A3 .
由题意知，A1，A2，A3互相独立，且P（A1）= ，P（A2）= ，P（A3）= ，
所以“一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分”的概率为P（A1A2A3）=P（A1）P（A2）P（A3）= × × = .
（2）一局游戏后，这三个盘中的小球停在阴影部分的事件数可能是0，1，2，3，相应的小球没有停在阴影部分的事件数可能取值为3，2，1，0，所以ξ可能的取值为1，3.
由分析可得P（ξ=3）=P（A1A2A3）+P（ ）=P（A1）P（A2）P（A3）+P（ ）P（ ）P（ ）= × × + × × = ；P（ξ=1）=1- = .
所以ξ的分布列为：
数学期望E（ξ）=1× +3× = .
3 抽样方法与总体分布的估计
（ ）必做1 某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]，得到如图1所示的频率分布直方图.
（1）求图中实数a的值；
（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；
（3）若从数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.
破解思路 第（1）问根据“频率分布直方图中，小矩形的面积之和为1”可解得a；第（2）问利用样本估计总体的思想即可解决；第（3）问中的事件“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”包括两个基本事件：“这两名学生的数学成绩在[40，50）分数段内”和“这两名学生的数学成绩在[90，100]分数段内”.
精妙解法 （1）由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以10×（0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01）=1，即a=0.03.
（2）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1-10×（0.005+0.01）=0.85. 由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85=544（人）.
（3）成绩在[40，50）分数段内的人数为40×0.05=2人，成绩在[90，100]分数段内的人数为40×0.1=4人. 若从这6名学生中随机抽取2人，则总的取法有C =15.
如果两名学生的数学成绩都在[40，50）分数段内或都在[90，100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10. 如果一个成绩在[40，50）分数段内，另一个成绩在[90，100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.
所以，所取两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的取法数为C +C =7，故所求概率为P（M）= .
金刊提醒
本考点以实际问题为背景，考查频率分布直方图和用样本的数字特征估计总体的数字特征.要弄懂直方图，熟练掌握众数、中位数、平均数、方差、标准差的计算方法.
4 回归分析与独立性检验
（ ）必做1 某次运动会在我市举行，为了搞好接待工作，组委会招募了16名男志愿者和14名女志愿者，调查发现，男、女志愿者中分别有10人和6人喜爱运动，其余不喜爱.
（1）根据以上数据完成下面的2×2列联表：
（2）根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与喜爱运动有关？
（3）从女志愿者中抽取2人参加接待工作，若其中喜爱运动的人数为ξ，求ξ的分布列和期望.
参考公式：
K2= ，其中n=a+b+c+d.
参考数据：
破解思路 第（1）、（2）问比较基础，根据题意可以补全表格，根据参考公式和参考数据可以判断性别与喜爱运动是否相关；第（3）小问利用离散型随机变量的分布列与期望的知识解决.
精妙解法 （1）补全2×2列联表如下：
（2）假设喜爱运动与性别无关，由已知数据可求得：
K2= ≈1.1575<2.706.
因此，在犯错的概率不超过0.10的前提下不能判断喜爱运动与性别有关.
（3）喜爱运动的人数为ξ的取值分别为0，1，2，其概率分别为：
P（ξ=0）= = ，P（ξ=1）= = ，P（ξ=2）= = .
所以喜爱运动的人数ξ的分布列为：
所以E（ξ）=0× +1× +2× = .
金刊提醒
本部分内容是新课标数学的新增内容，主要考查线性回归分析和独立性检验的统计方法.
一般情况下，在尚未断定两个变量之间是否具有线性相关关系的情况下，应先进行相关性检验.在画出散点图并确认其具有线性相关关系后，再求其回归直线方程；由部分数据得到的回归直线，再对两个变量间的线性相关关系进行估计.
独立性检验的基本思想类似于反证明法.要确认“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，则在该假设下构造的随机变量K2应该很小，如果由观测数据计算得到的K2观测值k很大，则在一定程度上说明假设不合理.
随便看

　

科学优质学术资源、百科知识分享平台，免费提供知识科普、生活经验分享、中外学术论文、各类范文、学术文献、教学资料、学术期刊、会议、报纸、杂志、工具书等各类资源检索、在线阅读和软件app下载服务。

　

Copyright © 2004-2023 puapp.net All Rights Reserved
更新时间：2025/5/22 11:58:11