雷小华+

    近期笔者在高三数学复习中讲解一道高考题（见例题回放）时，堂上偶然发现结论中的定点即为曲线的焦点这一特性后，即兴要求同学们课后共同对该特性作一般性探讨．第二天陆续有同学对这一特性给出了一般性的证明．我也没闲着，在师生共同努力下，探究到解析几何中圆锥曲线具有的一类数学规律，兴奋之余，乘兴作文，以供读者批评指正．

    1． 例题回放

    [例1]如图，等边三角形OAB的边长为8■，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p>0)上．

    (1)求抛物线E的方程；

    (2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝－1相交于点Q．证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．

    [简解](1) 抛物线E的方程为x2＝4y．

    (2)证明：由(1)知y＝■x2，y′＝■x．

    设P(x0， y0)，则x0≠0，y0＝■x0 2，且l的方程为y－y0＝■x0 (x－x0)，即y＝■x0x－■x0 2 ．

    由y＝■x0x－■x0 2，y＝－1，得x＝■，y＝－1，所以Q为■,-1 ．设M(0，y1)，令■·■＝0对满足y0＝■x0 2 (x0≠0)的x0，y0恒成立．故■－y0－y0y1＋y1＋y1 2 ＝0，即(y1 2 ＋y1－2)＋(1－y1)y0＝0．(?葚 )

    由于(?葚)式对满足y0＝■x0 2 (x0≠0)的y0恒成立，所以１-y1＝0，y1 2 ＋y1－2＝0，解得y1＝1．

    故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点 M(0, 1)． 这一定点M(0, 1)为抛物线的焦点．

    2． 思考探究

    （1）任给一抛物线在同样作法下是否也过抛物线的焦点？

    （2）是否椭圆、双曲线也有类似一般的结论？

    （3）结论能否再引伸？

    3． 从特殊到一般

    针对以上问题，经过师生共同探讨分析，得出以下结论：

    （1）结论一

    定理1：抛物线E：x2＝2py(p>0)上动直线l与抛物线E相切于点P（除顶点外），与其准线相交于点Q，则以PQ为直径的圆恒过E的焦点F．如图．

    证明：由E：x2＝2py，得y=■，故y′=■．

    设P (x0， y0)，则x0≠0，y0=■，且l的方程为y－y0＝■(x－x0)，即y＝■x－■．

    曲线E的准线方程为：y＝-■, 由y＝■x－■，y＝-■，得

    x＝■，y＝-■，

    所以Q为■,-■．

    又F0,■，下证■·■＝0对满足y0＝■(x0≠0)的x0，y0恒成立即可．

    由于■=x0, y0-■，■=■, -p，

    故■·■＝x0, y0-■·■, -p

    ＝■-py0 +■.

    由于y0＝■，故■·■＝■-■+■=0恒成立，

    即■⊥■，即FP⊥FQ，

    即以ＰQ为直径的圆恒过E的焦点F．

    类似性质在椭圆中也成立．

    定理2：若椭圆E：■＋■＝１(ａ>b>0)上任一点P（除左右顶点外）处的切线与其右准线相交于点Q，则以PQ为直径的圆恒过E相对应的右焦点F2．如图．

    证 明：设 P (x0， y0)，x0≠0，则P点处的切线PQ的方程为■＋■＝１（证明略）．

    曲线E的右准线方程为：x=■, 由■＋■＝１，x＝■，得x＝■，y＝■■，

    所以Q为■, ■■．

    又右焦点F2(c, 0)，下证■·■＝0恒成立即可．

    由于■=(x0-c, y0)，■=■-c, ■■，

    故■·■＝(x0-c, y0)·■-c, ■■

    ＝(x0-c)■-c+y0·■■

    ＝x0■-cx0-ａ２+c２+b２-x0■

    ＝cx0-cx0-ａ２+c２+b２

    ＝0（椭圆中ａ２=c２+b２），

    即■·■＝0恒成立，即■⊥■，即F2P⊥F2Q,

    故以PQ为直径的圆恒过E的右焦点F2．

    同理可证，以PQ′为直径的圆恒过E的左焦点F1．

    类似性质在双曲线中也成立．

    定理3：若双曲线E：■-■＝１(ａ>0, b>0)上任一点P（除左右顶点外）处的切线与其右准线相交于点Q，则以PQ为直径的圆恒过E相对应的右焦点F2．如图．

    证明：设P (x0， y0)，x0≠0，则P点处的切线PQ的方程为■-■＝１（证明略）．

    曲线E的右准线方程为：x=■, 由■-■＝１，x＝■，得

    x＝■，y＝■■，

    所以Q为■, ■■．

    又右焦点F2(c, 0)，下证■·■＝0恒成立即可．

    由于■=(x0-c, y0)，■=■-c, ■■，

    故■·■＝(x0-c, y0)·■-c, ■■＝(x0-c)■-c+y0·■■＝x0■-cx0-ａ２+c２+x0■-b２

    ＝cx0-cx0-ａ２+c２-b２

    ＝0（双曲线中c２=ａ２+b２），

    即■·■＝0恒成立，即■⊥■，即F2P⊥F2Q,

    故以PQ为直径的圆恒过E的右焦点F2．

    同理可证，以ＰＱ′为直径的圆恒过E的左焦点F1．

    （2）结论二

    若把上述定理中的题设与结论适当交换，则又有以下推论（推论证明略）．

    推论1：F为抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点，Q为准线上的任一点，P为抛物线上的一点，若PF⊥QF，则直线PQ与抛物线E相切于点P．

    推论2：F2为椭圆E：■＋■＝１(ａ>b>0)的右焦点，Q为右准线上的任一点，P为椭圆上的一点，若PF2⊥QF2，则直线PQ与椭圆E相切于点P．

    推论3：F2为双曲线E：■-■＝１(ａ>0, b>0)的右焦点，Q为右准线上的任一点，P为双曲线上的一点，若PF2⊥QF2，则直线PQ与双曲线E相切于点P．

    推论4：F为抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点，P为抛物线上的一点（除顶点外），直线PQ与抛物线E相切于点P，若PF⊥QF，则点Q必为准线上的一点．

    推论5：F2为椭圆E：■＋■＝１(ａ>b>0)的右焦点，P为椭圆上的任一点（除去所作切线与准线平行的顶点外），直线PQ与椭圆E相切于点P． 若PF2⊥QF2，则点Q必为右准线上的一点（椭圆的左侧也有类似相应的结论）．

    推论6：F2为双曲线E：■-■＝１(ａ>0, b>0)的右焦点， P为双曲线上的任一点（除去所作切线与准线平行的顶点外），直线PQ与双曲线E相切于点P，若PF2⊥QF2，则点Q必为右准线上的一点（双曲线的左侧也有类似相应的结论）．

    （3）结论三

    在定理1、2、3的基础上，不难发现圆锥曲线具有以下一般性质（仅证性质2）．

    性质1：从抛物线E：x2＝2py(p>0)的准线上任一点Q向E分别作两切线QP、QR，P、Q为切点，则直线PR恒过E的焦点F． 如图．

    性质2：从椭圆E：■＋■＝１(ａ>b>0)的右准线上任一点M向E分别作两切线MA、MB，A、B为切点．则直线AB恒过E相对应的右焦点F2（左侧也有类似的性质）. 如图．

    性质3：从双曲线E：■-■＝１(ａ>0, b>0)的右准线上任一点M向E分别作两切线MA、MB，A、B为切点．则直线AB恒过E相对应的右焦点F2（左侧也有类似的性质）. 如图．

    性质2证明如下，其它类同．

    证明：若直线AB不过E的右焦点，先连接AF2、F2M. 则由定理2可得：∠MF2A=∠MF2B=90°，推出点A、F2、B三点共线． 即直线AB与直线AF2B相同．故直线AB必过E的右焦点（同理可证，左侧也具有相应的性质．证略）．

    4． 从一般到特殊

    对于这一类圆锥曲线问题，应用上述的定理与推论可快捷解决，如

    [例2]如图，点F1(－c, 0)，F2(c, 0)分别是椭圆C: ■＋■＝１ (ａ>b>0)的左，右焦点，过点F1作x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点F2作直线PF2的垂线交直线x＝■于点Q.

    (1)如果点Q的坐标是(4, 4)，求此时椭圆C的方程；

    (2)证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点．

    [简解](1) 椭圆方程为■＋■＝１.

    (2)证明：法一：由条件，知P(－c, ■)．

    故直线PF2的斜率为■＝■=－■．

    因为PF2⊥F2Q，所以直线F2Q的方程为y＝■x－■．故Q(■, 2a)．

    故直线PQ的方程为■＝■，即y＝■x＋a．

    将上式代入■＋■＝１得ｘ２＋2cx＋c2＝0，解得x＝－c，y＝■．

    所以直线PQ与椭圆C只有一个交点．

    法二：由本篇推论2可知，直线PQ与椭圆C只有一个交点．

    [例3]如图所示，椭圆C：■+■＝１(ａ>b>0)经过点P(1, ■)，离心率e=■，直线l的方程为x=4.

    (1)求椭圆C的方程；

    (2)若过右焦点F2的直线g与直线l相交于点M，现过点M作C的切线MA、MB，切点分别为A、B. 问：直线AB是否恒过一定点？若是，求出这一定点；若不是，说明理由．

    [解答] (1)椭圆C的方程为■＋■＝１.

    (2) 直线l：x=4是椭圆C：■+■＝１的右准线，故由定理2可知：∠AF2M=90°；

    同理：∠BF2M=90°． 故A，F2，B三点共线，即直线AB恒过定点F2(1, 0).

    [例4] 如图所示，椭圆C：■+■＝１(ａ>b>0)，右焦点F(c, 0)，从点M(■, 0)向C作切线MA、MB，切点分别为A、B. 若?驻ABM为正三角形，试求椭圆C的离心率e.

    [解答] 因为点M(■, 0)为右准线与ｘ轴的交点，故由性质2可知：直线AB过椭圆C的右焦点F(c, 0)．

    |F2M|=■-c，|F2A|=■，∠AMF2=30°，故tan∠AMF2=■=■=tan30°=■，

    即■×■=■-c，即■×■=■，即■=■，故椭圆C的离心率e=■=■．

    [例5]设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0,■)， 线段FA的中点在抛物线上. 设动直线l：y=kx+m与抛物线相切于点P，且与抛物线的准线相交于点Q，以PQ为直径的圆记为圆C．

    （1）求p的值；

    （2）试判断圆C与x轴的位置关系；

    （3）在坐标平面上是否存在定点M，使得圆C恒过点M？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由．

    [解答] （1）利用抛物线的定义得F(■, 0)，故线段FA的中点的坐标为(■,■)， 代入方程得2p×■=■， 解得p=1.

    （2）由（1）得抛物线的方程为y2＝2x，从而抛物线的准线方程为x=-■.

    由ｙ２＝2ｘ，ｙ＝kx+m， 得方程■ｙ２-ｙ+m=0，

    由直线与抛物线相切，得k≠0，?驻＝0?圳k≠0，m＝■.

    设ｙ＝■，从而x＝■，即P (■,■)，

    由y=kx+■，x＝-■，解得Q(-■, ■)，

    ∴ PQ的中点C的坐标为C(■, ■)，设圆心C到x轴距离平方d，则d２=(■)２，

    |PQ|２ = (■)２+(■)２，

    ∵ (■|PQ|)２ -d２=■[(■)２+(■)２]-(■)２=(■)２.

    ∵ k≠0，∴ 当k=±■时， (■|PQ|)２ -d２=0， 圆C与x轴相切；

    当k≠±■时， (■|PQ|)２ -d２>0，圆C与x轴相交.

    （3）方法一：

    假设平面内存在定点M满足条件，由抛物线对称性知点M在x轴上，设点M坐标为M(x１, 0)，由（2）知P(■, ■)，Q(-■,■)，

    ∴■=(■-x１, ■),■=(-■-x１, ■)．

    由 ■·■=0 ，得 (■-x１)(-■-x１)+■×■=0.

    所以x１ ２-■x１+■=0，即x１=■或x１=■，

    所以平面上存在定点M(■, 0)，使得圆C恒过点M.

    方法二：

    由（2）知 P(■, ■)，Q(-■,■)，PQ的中点C的坐标为(■, ■)，|PQ|２ = (■)２+(■)２，所以圆C的方程为(x-■)２+(y-■)２=■[(■)２+(■)２]，整理得x２+■x+y２-■+■(■-x)-(■)y=0, 上式对任意 k≠0均成立，

    当且仅当x２+■x+y２-■=0，■-x=0，ｙ=0， 解得x＝■，ｙ=0.

    方法三：由前面定理1易知，在平面上存在定点M(■, 0)（即抛物线的焦点F），使得圆C恒过点M.

    5． 总结升华

    特殊与一般是中学数学的一种重要的数学思想．在解决问题时，以特殊问题为起点，逐步分析、比较、讨论，层层深入，揭示规律，并由此推广到一般．从解决特殊问题的过程中，寻求解决一般问题的方法和规律．在运动变化过程中加深对数学问题的认识和理解，直至完美认识．

    本篇内容穿行于特殊与一般的思想中，彼此照应．开始从特殊中窥见一般，最后又用一般为特殊服务．在特殊与一般中相互促进，在穿行来回中得到升华，乐此不疲，美哉，快哉！

    （作者单位：江门市新会华侨中学）

    责任编校 徐国坚

    4． 从一般到特殊

    对于这一类圆锥曲线问题，应用上述的定理与推论可快捷解决，如

    [例2]如图，点F1(－c, 0)，F2(c, 0)分别是椭圆C: ■＋■＝１ (ａ>b>0)的左，右焦点，过点F1作x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点F2作直线PF2的垂线交直线x＝■于点Q.

    (1)如果点Q的坐标是(4, 4)，求此时椭圆C的方程；

    (2)证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点．

    [简解](1) 椭圆方程为■＋■＝１.

    (2)证明：法一：由条件，知P(－c, ■)．

    故直线PF2的斜率为■＝■=－■．

    因为PF2⊥F2Q，所以直线F2Q的方程为y＝■x－■．故Q(■, 2a)．

    故直线PQ的方程为■＝■，即y＝■x＋a．

    将上式代入■＋■＝１得ｘ２＋2cx＋c2＝0，解得x＝－c，y＝■．

    所以直线PQ与椭圆C只有一个交点．

    法二：由本篇推论2可知，直线PQ与椭圆C只有一个交点．

    [例3]如图所示，椭圆C：■+■＝１(ａ>b>0)经过点P(1, ■)，离心率e=■，直线l的方程为x=4.

    (1)求椭圆C的方程；

    (2)若过右焦点F2的直线g与直线l相交于点M，现过点M作C的切线MA、MB，切点分别为A、B. 问：直线AB是否恒过一定点？若是，求出这一定点；若不是，说明理由．

    [解答] (1)椭圆C的方程为■＋■＝１.

    (2) 直线l：x=4是椭圆C：■+■＝１的右准线，故由定理2可知：∠AF2M=90°；

    同理：∠BF2M=90°． 故A，F2，B三点共线，即直线AB恒过定点F2(1, 0).

    [例4] 如图所示，椭圆C：■+■＝１(ａ>b>0)，右焦点F(c, 0)，从点M(■, 0)向C作切线MA、MB，切点分别为A、B. 若?驻ABM为正三角形，试求椭圆C的离心率e.

    [解答] 因为点M(■, 0)为右准线与ｘ轴的交点，故由性质2可知：直线AB过椭圆C的右焦点F(c, 0)．

    |F2M|=■-c，|F2A|=■，∠AMF2=30°，故tan∠AMF2=■=■=tan30°=■，

    即■×■=■-c，即■×■=■，即■=■，故椭圆C的离心率e=■=■．

    [例5]设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0,■)， 线段FA的中点在抛物线上. 设动直线l：y=kx+m与抛物线相切于点P，且与抛物线的准线相交于点Q，以PQ为直径的圆记为圆C．

    （1）求p的值；

    （2）试判断圆C与x轴的位置关系；

    （3）在坐标平面上是否存在定点M，使得圆C恒过点M？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由．

    [解答] （1）利用抛物线的定义得F(■, 0)，故线段FA的中点的坐标为(■,■)， 代入方程得2p×■=■， 解得p=1.

    （2）由（1）得抛物线的方程为y2＝2x，从而抛物线的准线方程为x=-■.

    由ｙ２＝2ｘ，ｙ＝kx+m， 得方程■ｙ２-ｙ+m=0，

    由直线与抛物线相切，得k≠0，?驻＝0?圳k≠0，m＝■.

    设ｙ＝■，从而x＝■，即P (■,■)，

    由y=kx+■，x＝-■，解得Q(-■, ■)，

    ∴ PQ的中点C的坐标为C(■, ■)，设圆心C到x轴距离平方d，则d２=(■)２，

    |PQ|２ = (■)２+(■)２，

    ∵ (■|PQ|)２ -d２=■[(■)２+(■)２]-(■)２=(■)２.

    ∵ k≠0，∴ 当k=±■时， (■|PQ|)２ -d２=0， 圆C与x轴相切；

    当k≠±■时， (■|PQ|)２ -d２>0，圆C与x轴相交.

    （3）方法一：

    假设平面内存在定点M满足条件，由抛物线对称性知点M在x轴上，设点M坐标为M(x１, 0)，由（2）知P(■, ■)，Q(-■,■)，

    ∴■=(■-x１, ■),■=(-■-x１, ■)．

    由 ■·■=0 ，得 (■-x１)(-■-x１)+■×■=0.

    所以x１ ２-■x１+■=0，即x１=■或x１=■，

    所以平面上存在定点M(■, 0)，使得圆C恒过点M.

    方法二：

    由（2）知 P(■, ■)，Q(-■,■)，PQ的中点C的坐标为(■, ■)，|PQ|２ = (■)２+(■)２，所以圆C的方程为(x-■)２+(y-■)２=■[(■)２+(■)２]，整理得x２+■x+y２-■+■(■-x)-(■)y=0, 上式对任意 k≠0均成立，

    当且仅当x２+■x+y２-■=0，■-x=0，ｙ=0， 解得x＝■，ｙ=0.

    方法三：由前面定理1易知，在平面上存在定点M(■, 0)（即抛物线的焦点F），使得圆C恒过点M.

    5． 总结升华

    特殊与一般是中学数学的一种重要的数学思想．在解决问题时，以特殊问题为起点，逐步分析、比较、讨论，层层深入，揭示规律，并由此推广到一般．从解决特殊问题的过程中，寻求解决一般问题的方法和规律．在运动变化过程中加深对数学问题的认识和理解，直至完美认识．

    本篇内容穿行于特殊与一般的思想中，彼此照应．开始从特殊中窥见一般，最后又用一般为特殊服务．在特殊与一般中相互促进，在穿行来回中得到升华，乐此不疲，美哉，快哉！

    （作者单位：江门市新会华侨中学）

    责任编校 徐国坚

    4． 从一般到特殊

    对于这一类圆锥曲线问题，应用上述的定理与推论可快捷解决，如

    [例2]如图，点F1(－c, 0)，F2(c, 0)分别是椭圆C: ■＋■＝１ (ａ>b>0)的左，右焦点，过点F1作x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点F2作直线PF2的垂线交直线x＝■于点Q.

    (1)如果点Q的坐标是(4, 4)，求此时椭圆C的方程；

    (2)证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点．

    [简解](1) 椭圆方程为■＋■＝１.

    (2)证明：法一：由条件，知P(－c, ■)．

    故直线PF2的斜率为■＝■=－■．

    因为PF2⊥F2Q，所以直线F2Q的方程为y＝■x－■．故Q(■, 2a)．

    故直线PQ的方程为■＝■，即y＝■x＋a．

    将上式代入■＋■＝１得ｘ２＋2cx＋c2＝0，解得x＝－c，y＝■．

    所以直线PQ与椭圆C只有一个交点．

    法二：由本篇推论2可知，直线PQ与椭圆C只有一个交点．

    [例3]如图所示，椭圆C：■+■＝１(ａ>b>0)经过点P(1, ■)，离心率e=■，直线l的方程为x=4.

    (1)求椭圆C的方程；

    (2)若过右焦点F2的直线g与直线l相交于点M，现过点M作C的切线MA、MB，切点分别为A、B. 问：直线AB是否恒过一定点？若是，求出这一定点；若不是，说明理由．

    [解答] (1)椭圆C的方程为■＋■＝１.

    (2) 直线l：x=4是椭圆C：■+■＝１的右准线，故由定理2可知：∠AF2M=90°；

    同理：∠BF2M=90°． 故A，F2，B三点共线，即直线AB恒过定点F2(1, 0).

    [例4] 如图所示，椭圆C：■+■＝１(ａ>b>0)，右焦点F(c, 0)，从点M(■, 0)向C作切线MA、MB，切点分别为A、B. 若?驻ABM为正三角形，试求椭圆C的离心率e.

    [解答] 因为点M(■, 0)为右准线与ｘ轴的交点，故由性质2可知：直线AB过椭圆C的右焦点F(c, 0)．

    |F2M|=■-c，|F2A|=■，∠AMF2=30°，故tan∠AMF2=■=■=tan30°=■，

    即■×■=■-c，即■×■=■，即■=■，故椭圆C的离心率e=■=■．

    [例5]设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0,■)， 线段FA的中点在抛物线上. 设动直线l：y=kx+m与抛物线相切于点P，且与抛物线的准线相交于点Q，以PQ为直径的圆记为圆C．

    （1）求p的值；

    （2）试判断圆C与x轴的位置关系；

    （3）在坐标平面上是否存在定点M，使得圆C恒过点M？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由．

    [解答] （1）利用抛物线的定义得F(■, 0)，故线段FA的中点的坐标为(■,■)， 代入方程得2p×■=■， 解得p=1.

    （2）由（1）得抛物线的方程为y2＝2x，从而抛物线的准线方程为x=-■.

    由ｙ２＝2ｘ，ｙ＝kx+m， 得方程■ｙ２-ｙ+m=0，

    由直线与抛物线相切，得k≠0，?驻＝0?圳k≠0，m＝■.

    设ｙ＝■，从而x＝■，即P (■,■)，

    由y=kx+■，x＝-■，解得Q(-■, ■)，

    ∴ PQ的中点C的坐标为C(■, ■)，设圆心C到x轴距离平方d，则d２=(■)２，

    |PQ|２ = (■)２+(■)２，

    ∵ (■|PQ|)２ -d２=■[(■)２+(■)２]-(■)２=(■)２.

    ∵ k≠0，∴ 当k=±■时， (■|PQ|)２ -d２=0， 圆C与x轴相切；

    当k≠±■时， (■|PQ|)２ -d２>0，圆C与x轴相交.

    （3）方法一：

    假设平面内存在定点M满足条件，由抛物线对称性知点M在x轴上，设点M坐标为M(x１, 0)，由（2）知P(■, ■)，Q(-■,■)，

    ∴■=(■-x１, ■),■=(-■-x１, ■)．

    由 ■·■=0 ，得 (■-x１)(-■-x１)+■×■=0.

    所以x１ ２-■x１+■=0，即x１=■或x１=■，

    所以平面上存在定点M(■, 0)，使得圆C恒过点M.

    方法二：

    由（2）知 P(■, ■)，Q(-■,■)，PQ的中点C的坐标为(■, ■)，|PQ|２ = (■)２+(■)２，所以圆C的方程为(x-■)２+(y-■)２=■[(■)２+(■)２]，整理得x２+■x+y２-■+■(■-x)-(■)y=0, 上式对任意 k≠0均成立，

    当且仅当x２+■x+y２-■=0，■-x=0，ｙ=0， 解得x＝■，ｙ=0.

    方法三：由前面定理1易知，在平面上存在定点M(■, 0)（即抛物线的焦点F），使得圆C恒过点M.

    5． 总结升华

    特殊与一般是中学数学的一种重要的数学思想．在解决问题时，以特殊问题为起点，逐步分析、比较、讨论，层层深入，揭示规律，并由此推广到一般．从解决特殊问题的过程中，寻求解决一般问题的方法和规律．在运动变化过程中加深对数学问题的认识和理解，直至完美认识．

    本篇内容穿行于特殊与一般的思想中，彼此照应．开始从特殊中窥见一般，最后又用一般为特殊服务．在特殊与一般中相互促进，在穿行来回中得到升华，乐此不疲，美哉，快哉！

    （作者单位：江门市新会华侨中学）

    责任编校 徐国坚

• 依托新型研发机构建设的工科大学生创新创业能力培养路径研究
• 项目驱动下大学生创新创业教育影响因素研究
• 高等职业教育中建筑工程技术实训教学模式的探索与实践研究
• 基于工作任务全生命周期评价的高职院校教师绩效管理理论探索与建模
• 地方师范院校内涵式发展路径的实践与探索
• 大数据背景下高校电子商务专业教学模式研究
• 混合式教学改革应用研究
• 中国现当代文学教学与社会主义核心价值观教育
• 西部某高校会计专业英语教学模式改进研究
• “互联网+”背景下大学英语翻译教学模式的创新探索
• 创新创业教育与高职土建施工专业教学融合研究
• 翻译技术视角下译者主体性研究与翻译教学
• 文化生态学视角下英语教学中的中国传统文化失语分析
• 在对外汉语词汇教学中文化负迁移的影响作用分析
• 基于中日文化差异视角下高校日语教学研究
• 大学英语PAD教学模式研究现状及启示
• 智慧教育视阈下艺术专业的大学英语学习环境重构
• 多重语境下高校唢呐文化教学研究
• 大学生音乐聆听重塑
• 钢琴教学中音乐表现力的培养研究
• 应用型高职院校的学前教育专业美术课程建设
• 航空航天专业院校的艺术素质教育作用及改革探讨
• 新时代思政课教师的角色担当
• 试论价值观塑造在通识教育中的统摄作用
• 社交媒体对大学生思政教育影响探讨
• notational
• notationist
• notations
• not available
• not-bad
• not bad
• not be able to do sth
• not be accustomed to
• not be allowed to do sth
• not be a patch on
• not be around
• not be as young as you were
• not be averse to
• not be cut out for
• not be equipped/be ill-equipped
• not be familiar with/be unfamiliar with
• not be good enough
• not be happy/be unhappy
• not be here
• not be hungry
• not be in a position to do sth/be in no position to do sth
• not be in shape/be out of shape/be out of condition
• not be interested
• not be in the same league/can't compare with
• not believe in sth
• 云端
• 云端双履
• 云端摘日，海底捞月
• 云端里看厮杀
• 云端里老鼠——天生的耗
• 云端，高空
• 云竹
• 云笈
• 云符
• 云笺
• 云笼日，雨不止
• 云筝
• 云签
• 云箔
• 云管
• 云箫
• 云篆
• 云篪
• 云篸
• 云粉
• 云精
• 云縠
• 云纠
• 云纲
• 云纸