培养学生“序感” 助力数学发展

    李国树

    【摘要】“有序”是这个世界的特征,更是数学这门学科的最大特点,我十多年来一直在农村任教初中数学,遇到不少数学优秀的学生,但更多的是数学学困生.在教学中,我从许多数学学困生的身上找到一个共同点,即“序感”差,表现为思考问题层次性差,逻辑混乱,思路不清.

    【关键词】序感;初中数学;学困生

    一、何为数学“序感”

    英国心理学大师贡布里希从心理学及哲学的角度这样表述“秩序感”:秩序的知觉是通过观察周围环境来预测规律的运动变化;意义的知觉是根据过去的知识经验来解释它、判断它,把它归入一定的事物系统中,从而能够更深刻地感知它.我认为数学中的序可以理解为公式、定理、方法、联系、对应关系、逻辑关系等,我把人们对这些数学概念、方法的感知能力称为“序感”.数学学习就是学习事物的“序”;数学研究就是寻找事物的“序”;数学解题就是通过观察、分析并结合已有的序感,寻求已知和求解之间“序”的过程.这种“序感”的强弱对解题至关重要.

    二、数学让世界有“序”进行

    一群羊在草场上吃草是混乱无序的,自然数是有序的,我们给羊编上号码,它们呈现给我们的就是有序的状态,自然数让无序的羊有序起来.一群参加马拉松长跑的运动员是混乱无序的,但是给每个运动员编上号码,这群人就有序了.我们想知道跑完全程的先后,就再运用一次自然数:第一名:14号;第二名5号……这样名次、号码就一一对应起来了.平面上的点是无序的,人们引入了平面直角坐标系和有序数对,平面上的点和有序数对就一一对应了.生活中很多事物是运动变化的,人们发明了函数,让看似无序的事物变得有序.

    三、“序感”与数学相互影响

    “序感”差的孩子数学一定好不了.任教以来,我一直在农村,遇到的孩子中,数学学困生的占比最大.我做过这样一个实验:上课的时候讲完一道数学题,我让能做的同学举手,一些同学纷纷举手,不举手的也不少,我就让其中的一个数学学困生数一下会做的人数.他一站起来就数,前一个,后一个,左边数一数,右边数一数,数了五次才把人数数清楚.这样的实验我在不同班级和不同年级的学困生身上做过十次,七名学生一开始没有想到按行或列的顺序数,三名学生一开始就按行或列数,可是中途又改变顺序了.这些学生都是初中學生,如果换成小学生,我想情况会更糟糕.

    数学的学习可以发展学生良好的序感.数学是对各种序的高度概括,学习数学的过程就是培养“序感”的过程.城镇的很多家长通过让孩子学习编程来发展孩子的逻辑思维,我认为这就是发展序感.编程发展的是一元的序感.序不能仅仅是一元的,它可以是二元甚至多元的.比如三角形面积公式,面积、底边、底边上的高三者相互影响:面积受底边和底边上的高共同影响,面积的变化有可能是因为底边的变化,也有可能是因为底边上的高变化,更有可能是因为这两者的变化.数学的魅力就在于它多变,看山不是山,看水不是水;也在于它的融合、殊途同归,看山还是山,看水还是水.

    四、如何培养“序感”

    “序感”的培养从小抓起是最好的.我所面对的孩子大多数都是留守儿童,从小就由爷爷奶奶带,家庭教育基本为零,我只能以教育者的身份谈谈在教育中的做法.

    (一)明白算理,掌握算法,区分运算对象

    计算是数学的基础,也是数学最大的特点.在计算教学中,算理与算法是两个不可或缺的关键.算理是对算法的解释,是理解算法的前提,算法是对算理的总结与提炼,它们是相互联系、统一的整体.透彻理解算理和熟练掌握算法是学生提高计算能力的重要保证.那么,什么叫算理和算法呢?算理,即计算的原理或者道理,它有两层含义:一是列式的依据,即某一问题为什么要用加法而不能用减法,这是根据所求问题与条件的关系确定的.正因为有这些依据,从而构成了加、减、乘、除、乘方、开方等运算.二是运算的依据,即每一步的运算都有其内在的道理,如“34+5”,为什么“5”一定要与“4”相加,这是因为数字符号所含的意义不同.算法,即计算的方法,如计算“34+5”,先要列出竖式,然后个位对齐进行计算.因此在教学时,教师应以清晰的理论指导学生理解算理,使学生在理解算理的基础上掌握计算方法,最后形成计算“序感”.多年的数学教学经验告诉我,数学学困生首先计算就不过关,表现在如下方面:(1)不知道运算的对象是什么,是有理数的混合计算,还是整式的混合计算,还是方程的求解,有很多学生到了初三都分不清.中学阶段,运算对象增多,算法增多,学生一定要学会判断.(2)运算顺序错误,尤其是在出现括号和运算律的时候更容易错.(3)对于单一的运算,大部分学生能算正确,一旦出现三种以上的混合计算,数字达到四个以上时出错概率大大提高.先不说学生因素,我也时时反省自己在计算的例题教学中忽略了学生的理解难度,缺少了一些步骤.对于计算教学,教师要展示思考过程给学生,把每一个步骤都展示出来.运算律会改变运算顺序,教师一定要讲明白道理,不要让学生觉得像变魔术一样.(4)学生对应用题的掌握差,这也反映了学生对各种算理的理解不透彻.

    (二)强化条件意识,培养逻辑推理的序

    教师在教学定理时,一定要让孩子们知道题设是什么,有哪些等价情况.比如,对角线相等的平行四边形是矩形.在这一定理中,题设有时可以变为“对角线相等且互相平分的四边形”.已知条件呈现的方式通常有以下几种:(1)文字、符号.它给出的条件是精确的,能帮助学生分清数量关系和位置关系.(2)图形.图形一定会附加文字符号说明,孩子们在解题时最容易强加条件,比如图形中某个角看起来像直角,条件又没有告诉,又无法证明,很多孩子就想当然把它当直角处理.这样的错误在学困生中出现的频率很高.(3)表格.(4)已知的方法.这种试题近年来出现的频率挺高,它告诉我们一个问题的处理方式,然后让孩子们处理同类型的问题.这要求孩子们首先读懂处理方法,明白已知的序,再运用序.(5)找规律问题.这样的题难度往往较高,这样的序也较为复杂.学生只有做大量的练习,从中获得经验,建立起序感,才可能解决问题.

    (三)培养合情推理

    所谓合情推理就是一种自然的、合乎认识、合乎情理的、似乎为真的推理,常表现为凭直观和联想等非逻辑思维形式,通过观察、实验、归纳、类比、特殊和一般等方法直接得出结论.数学解题通常从合情推理开始,以演绎推理结束这样的序展开.合情推理就是演绎推理的黏合剂.例如,某小学二年级一班同学排队,每行3人,最后一行少2人;每行4人,最后一行少3人;每行5人,最后一行少4人,这个班有多少人?也就是说,这个数除以3余1,除以4余1,除以5余1,所以这个数减1后是3、4、5的公倍數,60是3、4、5的最小公倍数,因为小学一般人数在50左右,所以这个班的人数是61人.大胆地合情推理是解题的第一步.

    (四)学会整理,大胆表述

    学生通过对知识、方法的整理,能够把一段时间所学的零散知识串联起来,找出知识点之间的联系,形成知识体系.通过对方法的整理,大脑中就会建立起“序感”.常见的整理知识的方法有列表、画思维导图、归类、区别比较等.还有一点十分重要:能表述清楚的知识,一定能掌握得较好.教师在课堂上要积极引导学生口述解题思路、解题步骤.教师针对学生的表述去纠正、优化,长时间坚持下来,学生的序感一定差不了.

    (五)整体把握,理清头绪

    人们常用思绪万千来形容人考虑头绪多,其实学习数学一样需要你“思绪万千”.数学中很多看似无关的量却存在紧密的联系.比如两个超越数——自然对数的底e、圆周率π,两个单位——虚数单位i和自然数的单位1,常见的0,数学里几个重要的常数被欧拉公式联系到了一起.这个公式如此的简洁,但是在数学中又如此重要,凡是学习了欧拉公式的人无不惊叹于欧拉深邃的思想.在教学中,教师就是要从整体上来把握知识脉络,再讲解局部的知识点.比如教师在讲解全等三角形的判定时,先对一个条件、两个条件、三个条件逐一讲解,讲明为什么一个、两个条件不行,为什么不用四个条件去判定,而只能用三个条件去判定,让学生感受这个思维过程,感受数学的简洁明了.

    数学不是机械的.有时一个问题有多种解法,我们要鼓励学生从不同的角度思考问题,这是学科的要求,更是考试的需要.很多的学生在单元测试中可以考不错的成绩,期末测试就不行了,中考就更不行了,为什么?一章、一册书的考查具有针对性,学生很容易想到办法.而中考是综合性考查,他就不容易想到解决问题的办法.如果没有解决这类问题的“序感”,合情推理就难以展开,知识也就难以迁移,解决问题就无从谈起.数学本身就是门累积性极强的学科,知识间的联系紧密,如何在纷繁复杂的知识体系中建立起清晰的联系,这就需要学生建立简化的序.

    【参考文献】

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