天体运动相关分析与应用

    李开玮

    

    

    [摘? ?要]高中物理中，学生经常将万有引力与向心力混淆，在求解行星绕恒星做椭圆运动问题时，容易出错。文章详细讲解行星在万有引力作用下绕恒星做椭圆运动时的规律，并求解了相应的椭圆轨道参数。

    [关键词]万有引力;椭圆运动;轨道参数

    [中图分类号]? ? G633.7? ? ? ? [文献标识码]? ? A? ? ? ? [文章编号]? ? 1674-6058（2021）14-0057-02

    两个有质量的物体之间的引力可以用万有引力公式[GmMr2]表征，方向为两物体连线吸引的方向，当其中一物体绕另一物体做圆周运动时，如通信卫星绕地球旋转，[r]与圆的半径相等，且引力的方向指向圆心，因此，万有引力是卫星做圆周运动的向心力。但很多时候，行星运动的轨迹为椭圆，如行星绕太阳的旋转，这时，引力的方向与行星的瞬时曲率半径方向不再平行，且引力半径与曲率半径不相等，而在教学中发现，学生经常生硬地让万有引力等于向心力，向心力公式中的半径直接用引力半径代替，故笔者认为有必要详细推导天体做椭圆运动的情况下，天体的运动学规律。并在此基础上求解椭圆方程、运动周期等。

    一、椭圆运动学规律推导

    如图1所示坐标系中，太阳位于椭圆焦点[（-c， 0）]，行星绕太阳做椭圆运动，设行星坐标为[（x， y）]，设椭圆方程为：

    行星在运动时只有万有引力做功，故行星的机械能守恒，机械能为：

    由（11）（12）（16）式可得机械能：

    二、应用举例

    根据上面得到的椭圆运动的结论，分析几道典型的例题。

    [例1]1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动。如图2所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为[v1]、[v2]，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G，则（）。

    解析：由（17）式可知，卫星的机械能守恒，卫星从近地点运动到远地点，引力做负功，引力势能增大，因此动能减小，故[v1>v2]。由（12）式可得近地点速度为[v1=GM（a+c）a（a-c）]，近地点到地心的距离为[r=a-c]，因此[v1>GMr]。答案为B。

    [例2]2018年12月8日发射成功的“嫦娥四号”探测器经过约110小时奔月飞行，到达月球附近，成功实施近月制动，顺利完成“太空刹车”，被月球捕获并顺利进入环月轨道。若将整个奔月过程简化如下：“嫦娥四号”探测器从地球表面发射后，进入地月转移轨道，如图3所示，经过M点时变轨进入距离月球表面100 km的圆形轨道Ⅰ，在轨道Ⅰ上经过P点时再次变轨进入椭圆轨道Ⅱ，之后将择机在Q点着陆月球表面。下列说法正确的是（）。

    A.“嫦娥四号”沿轨道Ⅱ运行时，在P点的加速度大于在Q点的加速度

    B.“嫦娥四号”沿轨道Ⅱ运行的周期大于沿轨道Ⅰ运行的周期

    C.“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上的运行速度小于月球的第一宇宙速度

    D.“嫦娥四号”在地月转移轨道上M点的速度大于在轨道Ⅰ上M点的速度

    解析：P点为远月点，Q为近月点，Q点月球对“嫦娥四号”的引力大于P点，故Q点加速度大于P点;根据开普勒第三定律，绕月球运动的两轨道，半长轴的3次方与周期2次方之比为常数，Ⅰ轨道半长轴大于Ⅱ轨道，故Ⅰ轨道周期大于Ⅱ轨道;第一宇宙速度为[GMr月球]，轨道Ⅰ上的运行速度为[GMrI]，故轨道Ⅰ上的运行速度小于月球的第一宇宙速度;“嫦娥四号”要进入绕月圆轨道Ⅰ，必須在M点减速，使自己被月球引力捕获，因此轨道Ⅰ上M点速度小于地月转移轨道上M点速度。因此答案为C、D。

    本文推导了天体椭圆运动的规律，万有引力并不等于向心力，而是万有引力沿法线分量提供向心力，沿切线方向分量提供切向加速度，向心力公式中的曲率半径也不等于引力半径，需要根据几何数学求解得出。

    （责任编辑 易志毅）