“会教”

    周晶晶

    [摘? 要] “会教”是一个科学的教与学的过程,从勾股定理和三角形全等来看,“会教”一方面要教会学生理解、掌握知识,更重要的是要重视学生高阶思维的培养,促进学生积极思考、主动回答、善于交流,这样才能发展学生数学核心素养.

    [关键词] 会教;勾股定理;三角形全等;高阶思维;培养方法

    教育家陈鹤琴说:“没有教不好的学生,只有不会教的老师. ” 作为青年教师,笔者也听了很多教师的课,其中有高级教师、骨干以及专家的课,也有不少刚参加工作相对缺少经验的教师的课,对比下来,感慨颇多. 首先,不同教师风格截然不同;其次,“会教”的教师课堂效果好,好在“会设计”“会提问”“会互动”,学生也变得“会思考”“会回答”“会交流”.笔者认为,久而久之,学生能力的差别会很明显.

    下面笔者以两节公开课的教学片段为例试谈对“会教”的一点理解.

    勾股定理的课堂片段

    (一)目标导入

    如图1,乌龟从A爬到C再爬到B,兔子由A跑到B,已知AC=3米,BC=4米,问兔子和乌龟谁走的路程短?短多少?

    (二)自主探究

    1. 如图2(每个小正方形的面积为单位1),三个正方形的面积有什么关系?中间的直角三角形的三边存在什么关系?

    2. 如图3(每个小正方形的面积为单位1),正方形P的面积S =____;正方形Q的面积S =_____;正方形R的面积S =______. 由此我们可以发现,正方形P,Q,R的面积关系是________. 由此,我们得出Rt△ABC的三边的长度之间存在的关系是________.

    3. 在方格纸上,任意画一个直角三角形(顶点均在格点上),上述发现的结论是否仍然成立?写出你认为正确的结论. (见另附纸张)

    4. 数学上可以说明:对于任意的Rt△ABC,其中∠C=90°,如果它的两条直角边分别为a、b,斜边为c,那么一定有结论:________. (如图4所示)这种关系我们称为勾股定理.

    (三)课堂评析

    该设计看似合情合理,通过目标导入可以明确本节课的教学目标,要研究三角形的三边关系,通过自主探究可以知道三角形的三边满足平方关系,两直角边的平方和等于斜边的平方. 如果从思维培养的角度来看,试问在这个过程当中,学生的思维又得到了多少锻炼呢?学生的思维总是跟着老师事先安排好的走,也是低层次的思维. 学生为什么要研究直角三角形的三边关系?为什么要在方格纸上研究,仅仅是为了计算方便吗?老师对于學生的学情了解吗?他们运用过方格纸解决问题吗?

    笔者对这个片段做如下设计:

    首先我们拿出两根小棒,一根长为3,一根长为4,预设了如下对话.

    师:若组成一个三角形,第三根小棒的可能长度是多少?

    生:学生很容易根据之前学习的三角形的三边关系得出第三边的范围,1<x<7.

    师:第三边的长有多少种情况?

    生:无数种,根据三角形的三边关系可得.

    师:好,那么两根小棒组成最长、最短的线段分别是多少?

    生:两根小棒的夹角180°时最长为7,夹角为0°时最短为1.

    师:如果两根小棒的夹角为90°时,第三边的长会是多少呢?

    (有预习过的学生可能会说是5,很多学生可能无法回答)

    师:你怎么知道是5呢?

    生:测量.

    师:测量当然可以,但是我们知道误差会影响我们的精确度,如何做可以避免呢?

    生:放在方格纸上来研究.

    (四)思考与感悟

    如果这样设计教学,每一个小问学生都要去思考,而不是一直在被动地接收、验证. 我们已经知道了一般三角形的三边关系,但最多只知道第三边的范围,如果是特殊的直角三角形,我们可不可以直接求它的边长呢?如何研究呢?头脑灵活的学生肯定能想到将其放到方格纸上去研究,因为在小学的数学书上,一直有在方格纸上解决图形面积的问题,所以他们是有基础的. 通过这一过程,学生就能由一般的三角形自然地过渡到特殊的直角三角形,想到如何去研究直角三角形的三边关系. 这样,学生的知识就不是老师在单纯地灌输,而是他们积极思考的结果. 要研究什么?怎样研究?为什么要研究?这是研究问题的本质所在,即要让学生有问题意识. 爱因斯坦说过,提出一个问题比解决一个问题更加重要,培养问题意识和问题解决能力也是当前教师面临的一个问题. 美国教育家鲁巴克也说过,最精湛的教学艺术,就是让学生提出问题. 数学的教学就是思维的教学,所谓思维,即“思考”,它正是教学中的一股清流,“会教”的老师的课堂必定能促进学生思维的提高,从而浸润学生的心田.?摇

    正如一位教育专家所说,要想了解数学教师的教育理念和教学基本功,就让他展示勾股定理的教学. 这是因为勾股定理的教学可以真实反映一位教师的数学观、教学观、学生观. “会教”的老师一定会采用对学生思维有启发作用的方式,也能把学生带入一个很好的学习状态中,学生在其中变得会思考,变得聪敏了,这也是我们教育的目的之一.

    探索三角形全等条件——

    ASA定理的课堂片段

    (一)在问题中“找元素”

    教师将一三角形撕掉一角,三角形变成两块,贴在黑板上,标上1号(有原三角形的两角一边),2号(只有原三角形的一个角).

    问题1:你用哪一块可以还原成原来的三角形呢?(有的说1号,有的说2号)

    问题2:哪位同学可以上黑板帮我还原出来呢?(学生用1号画出来了,延长两条边交于一点)

    问题3:你们做出来的三角形和原三角形是什么关系?(齐答全等)

    问题4:为什么1可以,2不可以呢?(有的说1中有原三角形的两个角,有的说有两个角和一条边,有的说2可以画出很多三角形. 最后形成统一观点:该部分有原三角形的两角一边)

    师:刚才只是一种猜想,是不是有两角及一边相等,两个三角形就全等了呢?现在老师手上有3个三角形(如图5),满足你们所说的条件,看全等吗?

    学生有的说都全等,有的说都不全等,也有的说第①个和第③个全等.

    师:眼睛会不会欺骗我们呢?谁上台来给大家演示一下,说明是全等的?

    一位学生上去发现第①个和第③个重合,而与第②个不重合.

    师:①③与②有什么区别吗?

    这个问题又引起了学生的思考,发现①和③都是同一条边上的两个角对应相等.

    师:即两角及夹边對应相等的两三角形全等. 如果我把刚才三角形中具体的40°,60°,2.5,换成α,β,a,此时满足这样条件的三角形都全等吗?

    学生都认为全等.

    师:怎么说明呢?

    学生表示用画图来说明.

    (二)尺规作图

    按下列方法,用直尺和圆规作△ABC,使AB=a,∠A=∠α,∠B=∠β.

    (1)作AB=a.

    (2)在AB的同一侧分别作∠MAB=∠α,∠NBA=∠β,AM,BN相交于点C.

    (3)△ABC就是所求作的三角形.

    (三)课堂评析

    首先,通过四个问题,让学生初步感知三角形全等,需要三个元素:两角一边. 不过,这只是一种感性的认识. 然后,让学生亲自体验,摆放三个三角形,看看是否全等,又发现必须是两角及其夹边对应相等的三角形才能全等. 学生以为他们猜对了,但这只是一种特殊情况,不具有一般性. 这时学生正处于中度思考问题的程度. 最后,学生用尺规作图,经历从特殊到一般的过程,这样才能达到一种深入思考问题的程度. 这次课堂设计思路缜密,层层递进,很符合学生的认知规律.

    (四)思考与感悟

    我们都知道,任何一个定理的得出,都要经历“猜想,验证,证明”的过程,所以一定要让学生亲身体验探索问题的过程,而不能直接告知,否则学生对知识点的掌握仅停留在记忆层面,时间一长就忘了. 而动手操作,让他们不断地感知、体验、实践、交流、反思、总结,这对思维的培养会远超这一节课所学的内容. 长期下来,笔者认为他们就会形成积极主动思考问题的习惯. 数学教育的一个主要目的是培养学生的创新意识和创新能力,问题是数学发展的原驱动力,也是增强趣味性、提升教学效果的源泉,问题的驱动,是发展学生数学核心素养的重要保证,也是在真正完成素质教育的使命.

    纵观本片段的教学,执教者遵循数学定理学习的一般规律,始终引导学生构建有意义的数学思考,培养高层次思维,帮助学生理解数学学科的本质,收获了很好的教学效果.