双约束非负矩阵分解的复合故障信号分离方法
王华庆 王梦阳 宋浏阳 郝彦嵩 任帮月 董方
摘要：为了分离复合故障振动信号，提出了一种采用双约束非负矩阵分解算法的信号分离方法。首先对原始振动信号采用短时傅里叶变换，通过时频分布信息来描述信号的局部故障特征;其次在传统非负矩阵分解算法中引人β散度约束与行列式约束，构成双约束非负矩阵分解算法，利用双约束非负矩阵分解算法实现数据的降维，并从低维空间中分离出特征分量;然后通过特征分量重构出时域波形，同时提出加权峰值因子的影响参数筛选重构信号;最后将筛选出的分离信号进行包络频谱分析，提取故障特征。仿真及轴承复合故障实验结果表明：所提出的方法可以有效分离并提取出外圈与滚动体冲击性特征，实现了轴承的复合故障诊断。
关键词：故障诊断;轴承;非负矩阵分解算法;β散度约束;行列式约束
中图分类号：TH165+。3;TH133.3文献标志码：A 文章编号：1004-4523（2020）03-059@07
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.03.018
引言
基于振动信号分析法已被广泛地应用在机械设备的故障诊断中，因为振动信号通常包含设备运行状态的主要信息，且容易获取。复合故障表明多个故障同时出现，由于故障特征相互耦合，复合故障诊断方法相对较少，诊断难度较大。与单一故障条件相比，复合故障在实际应用中很常见，造成的危害更严重。因此，有效地从振动信号中分离并提取出复合故障特征，对机械设备正常运行和系统健康管理具有重要意义。
对于包含多源信息的信号来说，通常可以采用变换域分解方法实现多源分量的分离。如：采用小波分解、经验模态分解、变分模态分解、稀疏分量分析等方法实现多源信号的分解。非负矩阵分解（Non-negative Matrix FactorizationNMF）作為一种新的特征提取方法，其实现简单且分解形式和分解结果更具物理意义，克服了一些传统算法的缺陷，在数字图像处理、机器学习、计算机视觉和信息检索等领域应用广泛。
随着研究的不断深入，NMF算法更多集中在盲源分离问题上。相比于独立分量分析和稀疏分量分析，非负矩阵分解需要的约束较少，收敛较快，分解效率更高。如在文献中，采用局部非负矩阵分解算法并结合内禀特征尺度分解，实现了轴承信号的盲分离;文献中研究了联合非负矩阵分解算法，通过增加稀疏性约束，实现了欠定模型下的盲源分离;文献提出基于正则化约束的非负矩阵分解算法，成功分离了音乐混合信号。然而在旋转机械领域，由于轴承实际信号复杂，信噪比低，特征信息较微弱，多源分量信息相互干扰，传统NMF算法缺少相关约束，导致数据冗余性较大，特征提取的效果并不理想。综上，本文在传统非负矩阵分解算法中引人β散度约束与行列式约束，构成双约束非负矩阵分解算法模型，利用其局部学习能力，有效地将复合故障特征分量分离;同时构建加权峰值因子（Correlation Crest Factor，CCF）影响参数判别重构信号，减少信号的冗余成分。实际轴承复合故障数据分析结果验证了所提出方法的有效性，成功分离了轴承复合故障信号。
1NMF算法理论
式中 m为矩阵的维数，n为样本个数，r为矩阵的秩。由于m》r，从而实现了矩阵维数的约减。自NMF算法提出以来，已有大量文献针对损失函数，对NMF算法进行优化改进。传统的NMF算法采用欧式距离作为其损失函数，构成如下式的优化模型
因为在上述迭代规则下，欧式距离||V-WH||2单调不增，所以当矩阵W和H达到最优点时，算法收敛。
2 双约束NMF复合故障信号分离方法
2.1 双约束NMF算法模型
NMF算法损失函数的选取由处理的数据类型及应用环境决定，在对多源信号特征提取的过程中，如果源信号之间的相关性越差，则表现出来的局部性越强，分解降维效果就越好。在机械设备的故障诊断中，若源信号之间彼此特征信息差异不明显，那么分解降维后基向量就会存在冗余，导致重构信号不能完全表达故障特征。针对故障信号特征，选择β散度约束与行列式约束双重约束作为非负矩阵分解的损失函数。β散度约束可以减少数据结构上的限制，适应性更强;行列式约束可以保证矩阵分解时基矩阵W的唯一性。双重约束有效地增强局部特征，更有利于后续信号的重构。β散度的表达式如下尺度入无关。这种尺度移不变性表明在进行NMF算法分解时，幅度谱y中高、低能量成分拥有同等的权重值，而当β≠0时，则过度依赖y中能量较高的成分，不利于耦合信号的分离，所以这里选择β=0.
为了保证分解后的基矩阵W具有唯一性，同时也为了得到更好的重构效果，增加行列式约束。定义由n个m维列矢量W1，W2，…，Wn张成的空间记为P（w），则P（w）的体积可由下式表示
由于β散度约束与行列式约束是加入到NMF算法目标函数优化方程中，所以通过梯度下降法不断迭代更新矩阵W和H，直到目标函数收敛，即可实现约束项的优化。具体算法步骤如下：
（1）随机初始化非负矩阵W，H;
（2）由式（7）计算目标函数初始值;
（3）根据式（8）和（9），交替迭代更新矩阵W，H;
（4）若目标函数收敛则停止迭代，输出矩阵W，H;否则循环执行步骤（2）和（3）。
2.2 加权峰值因子
峰值因子是用来检测振动信号中有无冲击的指标，反映了峰值在波形中的极端程度。相关系数可以表征两个信号的相似程度。考虑到这两个指标的优缺点，构建两个指标的综合影响参数称为加权峰值因子（Correlation Crest Factor，CCF），定义如下：式中
CF（Crest Factor）为信号x（n）的峰值因子，N为信号的长度，C为信号x和y的相关系数，E[·]代表数学期望。根据Schwartz不等式，可知|C |≤1.
因此，它可以看成是峰值因子的权重，故CCF可称为加权峰值因子。由于滚动轴承的故障为冲击性特征，相关系数可以反映重构信号与原信号的相关性，所以根据式（10）可知，CCF值越大，重构信号所包含的特征信息越丰富，更能表征故障特征信号，故此值可作为筛选重构信号的标准。
2.3 双约束NMF复合故障信号分离方法
基于上述分析，针对旋转机械中轴承复合故障信号，提出了一种双约束非负矩阵分解的复合故障信号分离方法，具体实现步骤如下，流程图如图1所示。
（1）对原始振动信号采用短时傅里叶变换（STFT），这里的窗函数选用常见的矩形窗，获得表征局部信息的高维特征矩阵;
（2）取特征矩阵的能量值，对其采用双约束NMF算法进行降维，得到基矩阵W和系数矩阵H;
（3）利用基矩阵W和系数矩阵H在低维空间中重构，并采用短时傅里叶逆变换（ISTFT）将时频信息变换到时域中，得到特征分量的重构波形;
（4）计算每一个重构信号的CCF值;
（5）筛选出CCF值较大的重构信号进行包络频谱分析，提取轴承的故障特征。
3 仿真信号分析
为了验证所提出方法的特征分离效果，采用如下的模型来模拟轴承复合故障的振动信号：
式中 g=0.1为阻尼系数，源信号S1（t）和s2（t）分别取以下参数：固有频率fn分别取3000和5000Hz，特征频率f=1/T分别取73和207Hz，采样频率fs为100kHz，分析点数取0.5s时间片段。A=[0.8147，0.9058]为一个随机产生的混合矩阵，通过式（14）混合得到信号s（t），图2所示为混合信号归一化后的时域波形图和包络频谱图。
对于混合的仿真信号，采用所提出的方法进行分析，首先通过短时傅里叶变换获得特征矩阵x，对其取能量值X2;采用双约束NMF算法对能量值矩阵x[2]降维分解，得到维数均为10的基矩阵W和系数矩阵H;将矩阵W和H在子空间重构，并采用短时傅里叶逆变换将其变换到时域中，得到10组重构信号;计算10组重构信号的CCF值，如表1所示。
由表1可知，第7组与第9组的CCF值较大，表明这两组重构信号中所包含的特征信息较丰富，选择这两组重构信号作其包络频谱图，归一化处理后如图3所示。
从图3可以看出，包含于源信号的两种特征成分73与207Hz经所提出方法处理后可以分离得到。因此，从仿真信号的分析中可以得出结论，本文所提出的方法可以有效地从混合信号中分离得到源信号，在包络频谱中也可以提取源信号特征频率，验证了该方法的有效性。值得注意的是，当选择表1中第三大CCF值，即第6组信号进行重构，并作其包络频谱图，如图4所示。从图4中也可以发现207Hz及其高次谐波频率成分，与图3（b）相似，说明原始信号已得到有效分离，同时也表明原始信号中仅包含两种特征频率成分。
4 应用实例
4.1 实验验证与分析
为了验证所提出方法的有效性，采用实测的复合故障轴承信号为研究对象。利用线切割加工技术，分别在轴承的外圈和滚动体上加工宽度为0.5mm、深度为0.15mm的缺陷，轴承型号为NTNN204型圆柱滚子轴承。实验过程中，通过安置在轴承座上的加速度传感器对竖直方向的振动信号进行采集，旋转机械的模拟实验台如图5所示，其中采样频率为100kHz，采样时间为10s。将电机转速分别设为1300和900r/min，根据轴承结构参数（如表2所示）及下式计算得到滚动轴承各部件的理论特征频率，如表3所示。
将模拟实验台采集到的1300r/min外圈与滚动体复合故障信号，截取0.5s数据片段作归一化处理后的时域波形图和包络频谱图如图6所示。
从时域波形图可以明显看出冲击脉冲成分，表明该轴承已发生故障，但周期特性并不明显，无法获取轴承有用的状态信息。包络频谱图中，外圈缺陷特征可以明显识别出来，但滚动体缺陷特征被噪声成分淹没，难以识别。
根据所提出的方法，对原始信号进行短时傅里叶变换，得到129×392的特征矩阵x，对其取能量值x2;采用双约束NMF算法对能量值矩阵x2降维分解，得到维数均为10的基矩阵W和系数矩阵H;将矩阵W和H在子空间重构，并采用短时傅里叶逆变换将其变换到时域中，得到10组重构信号;计算10组重构信号的CCF值，如表4所示。
由表4可知，第2组与第9组的CCF值较大，表明这两组重构信号中所包含的特征信息较丰富，选择这两组重构信号作其包络频谱图，归一化处理后如图7所示。同时选择第三大CCF值（表4中第4组信号）信号作对比分析，包络频谱如图8所示。
由图7可以看出，经所提出的方法处理后得到两种源信号成分分别对应滚动体故障特征频率图7（a）和外圈故障特征频率图7（b），这与理论计算出的特征值相吻合，并且各自的高次谐波成分也被明显地提取出来。另外，保持架特征頻率（8Hz）也出现在包络频谱图7（a）中，且出现以保持架特征频率分布的故障特征频率的边频带，这与滚动体出现故障时的特征相一致。与图8对比可知，当选择第三大CCF值重构信号作包络频谱图时，和图7（b）相似，说明实验信号已得到有效分离，也表明实验信号中仅包含两种特征频率成分。所以，结果表明所提出的方法可以有效地从混合信号中分离出故障源信号，在包络频谱图中也可以提取出故障特征频率，验证了该方法在轴承复合故障诊断中的有效性。
同样地，对900r/min外圈与滚动体复合故障数据进行验证。取0.5s数据片段作归一化后的时域波形图和包络频谱图如图9所示。采用所提出的方法对实验数据处理，得到归一化的包络频谱图如图10所示。
根据图10可以发现，用所提出的方法处理后，可以分离得到与理论值相吻合的外圈故障和滚动体故障特征频率，并且各自的高次谐波也被明显地提取出来。验证了该方法在轴承复合故障诊断中的有效性。
4.2 对比传统NMF算法
为了验证所提出方法在轴承复合故障诊断的优势，与传统采用欧式距离模型的非负矩阵分解算法进行对比。选用1300r/min的实验数据，将短时傅里叶变换得到的特征矩阵取能量值，用传统欧式距离模型的非负矩阵分解降维，并对分解后的矩阵W和H在子空间重构，选择CCF值较大的重构信号作包络频谱，如图11所示。
从图11可以看出，经过传统NMF算法处理后，并未对轴承复合故障信号实现有效分离，仅外圈故障特征被提取出来，滚动体故障特征成分被淹没，未能准确描述故障源信号。而通过所提出算法可以有效地提取出外圈与滚动体故障特征成分。对比图11和7可知，由于双约束NMF算法增强了特征分量的局部特征，且加权峰值因子可以减少重构信号的冗余信息，因而可以分离出源信号，提取故障特征频率。从而验证了所提出的方法在轴承复合故障诊断中的独特优势。
5 结论
本文针对旋转机械中复合故障信号特征信息微弱、难以分离提取的问题，提出了双约束NMF的复合故障信号分离方法。通过在传统非负矩阵分解算法中引人β散度约束与行列式约束，并利用双约束非负矩阵算法本身具有的局部学习能力，可以将复合故障特征分量分离;同时，构建了加权峰值因子（CCF），对重构后的信号进行选择，在数据实现有效降维的基础上，减少了分解后的冗余分量。将所提出的方法应用在实际轴承信号中，有效分离并提取出了耦合故障特征信息，实现了轴承的复合故障诊断。因此，所提出的方法对旋转机械设备的复合故障诊断具有重要的意义，具有一定的工程应用价值。
