合理构造辅助圆,模型应用巧破题

    程花

    [摘? 要] 圆是一种含有众多特殊性质的几何图形,利用圆中角度与线段长之间的关系可以挖掘题干隐含条件,巧妙解题,因此学会添加辅助线,掌握常见圆类模型十分重要. 文章举例解析圆类模型,结合实例探究解题思路,开展教学反思,并提出相应的建议.

    [关键词] 辅助圆;模型;性质;直角;最值;四点共圆

    圆是初中数学的重要图形之一,圆中含有一些较为特殊的性质,合理利用可以巧妙解题. 因此,对于一些几何综合题,可以采用构造辅助圆的方式来加以突破. 构造辅助圆应以圆的基本知识为出发点,总结归纳几何模型,利用模型的解析思路来处理问题,下面举例探究.

    模型解析,解题探索

    1. 模型一:直角模型

    模型分析:“直径对直角”是圆的重要性质定理,即圆的直径所对的圆周角为直角,据此可以构建相应的直角模型. 如图1,A,B,C均在圓O的圆周上,若∠ACB=90°,则AB为⊙O的直径. 进一步拓展,若点C为一动点,则点C在以AB为直径的⊙O上运动.

    例1?摇 如图2,在Rt△ABC中,AC=5,BC=12,∠ACB=90°,点P是斜边AB上的一个动点,点Q是底边BC上的一个动点,且两点均不与点A和点B重合,试回答下列问题.

    (1)若PQ∥AC,CQ=BQ,试求线段CP的长.

    (2)若PQ不与AC平行,试分析△CPQ能否为直角三角形. 如果可以,请求出线段CQ长的取值范围;如果不可以,请说明理由.

    解析? (1)因为PQ∥AC,CQ=BQ,所以AP=BP. 又∠ACB=90°,所以CP= AB. 由勾股定理得AB= =13,所以CP= .

    (2)分析可知,若PQ不与AC平行,要使△CPQ为直角三角形,只有∠CPQ=90°. 结合圆的直角模型构造辅助圆,即以CQ为直径作半圆,设圆心为D,如图3.

    ①当半圆与AB相切时,设切点为M,连接DM,则DM垂直于AB,点P与点M重合时△CPQ即为直角三角形. 此时,AC=AM=5,MB=8. 设CD=a,则DM=a,DB=12-a. 在Rt△DBM中使用勾股定理,可得a2+82=(12-a)2,解得a= . 此时CQ=2a= .

    ②当 <CQ<12时,此时半圆与AB有两个交点,点P运动到两个交点位置时△CPQ为直角三角形.

    ③当0<CQ< 时,此时半圆与AB相离,即点P在AB上运动时在半圆外,此时∠CPQ<90°,所以△CPQ不可能为直角三角形.

    综上可知,当 ≤CQ<12时,△CPQ可能为直角三角形.

    评析?摇 上述试题为直角三角形存在性问题,可结合圆的“直径对直角”构造辅助圆进行分析,即动点必然位于对应的圆上,因此可将问题转化为分析半圆与斜边的交点问题.

    2. 模型二:最值模型

    模型分析:利用圆的特性可以确定两点之间的距离最值,即常见的最值模型. 如图4,点P是⊙O外一点,直线OP与⊙O相交于A,B两点,设点A为圆上相对于点P的近点,点B是远点,那么PA就为点P到圆上的最短距离,PB就为点P到圆上的最远距离. 圆的最值模型可用于分析几何线段最值问题.

    例2? 如图5,菱形ABCD的边长为2,∠A=60°,点M为AD的中点,点N为AB上的一个动点. 现将△AMN沿MN所在的直线翻折,得到△A′MN,点A的对应点为A′,连接A′C,试求A′C长度的最小值.

    解析?摇 题干给出了△AMN的翻折过程,其中点N为线段AB上的一个动点,根据折叠特性可知A′M=AM=1,结合点M为AD边的中点,可知MA=MA′=MD,因此点A′在以AD为直径的圆上,即其轨迹为一个圆(其实是圆的一部分). 以M为圆心、AM的长为半径画⊙M,结合圆上的最值特性可知CM所在直线与圆的近交点就为最小值点,故连接MC,与⊙M的交点就为A′. 过点M作CD的垂线,垂足为H,如图6. 已知∠A=60°,则∠MDH=60°. 在Rt△MDH中,MH=MD·sin60°= ,HD=MD·cos60°= ,则CH=CD+HD= . 在Rt△MCH中使用勾股定理,可得MC= = ,所以A′C= -1,即A′C长度的最小值为 -1.

    评析?摇 上题属于涉及动点的几何翻折最值问题,其重点是确定动点翻折后对应点的轨迹. 分析题干条件可挖掘出作辅助圆的解析思路,后续直接利用圆上动点的最值模型求解即可. 实际上,圆上最值模型背后隐含的是“两点之间,线段最短”原理,理解模型的本质对于问题的解析来说十分重要.

    3. 模型三:四点共圆模型

    模型分析:拓展圆内接四边形对角互补的性质,可知如果一个四边形的一组对角互补,则其四个顶点共圆. 对其进一步挖掘可得圆的“四点共圆”模型,具体如下:

    如图7,Rt△ABC和Rt△ABD共斜边AB,点O为AB的中点,由直角三角形斜边中线特性可知OC=OD=OA=OB,所以A,B,C,D四点共圆. 利用共点共圆可进一步结合圆周角定理来转化为角度相等,从而完成模型向等量关系的转化,这是证明几何角度问题的常用方法.

    例3?摇 如图8,△ABC为等腰直角三角形,其中AC=BC=2,∠ACB=90°,点D是AB的中点. 现将△CAD绕点C逆时针旋转角度α,得到△CEF,点A的对应点为E,点D的对应点为F,DF与AE的交点为M. 当α由90°变化为180°时,求点M的运动轨迹的长.

    解析?摇 试题为三角形旋转问题,分析旋转角变化时点M的轨迹. 由条件AC=CE,CD=CF,可知∠CAE=∠CEA,∠CDF=∠CFD. 因为∠ACD=∠ECF,所以∠ACE=∠DCF. 进一步可推知∠CAE=∠CDF. 取AC的中点为O,则A,D,M,C四点在以点O为圆心、AO的长为半径的圆上,连接OD,CM,作图如图8.

    据图可知,点M的运动路径为弧CD. 由四点共圆几何性质可知∠CMF=∠CAD=45°,∠CMD=135°,由条件可知CD⊥AB,∠ADC=∠DOC=90°,所以弧CD的长= = ,即α由90°变化为180°时,点M的运动轨迹的长为 .

    评析?摇本题为几何变换综合题,以等腰直角三角形旋转为背景求顶点随旋转角变化的运动弧长. 解题的关键是作辅助圆,发现A,D,M,C四点共圆. 四点共圆背后隐含的是几何等量關系,在实际解题时可以将其拓展到利用四点共圆构造等角中.

    解后思考,教学建议

    上述举例探索了构造辅助圆,利用圆的模型简化解题过程的思路. 构造辅助圆是几何问题解析的重要策略,尤其适用于涉及动点的几何问题,下面提出三点建议.

    1. 关注模型本身,深刻理解模型

    上述所呈现的直角模型、最值模型、四点共圆模型是圆中特殊的三大模型,也是构造辅助圆解题的典型代表. 学习模型时,需要关注模型本身,理解模型的知识本质,包括模型对应的圆的性质、知识原理等. 如直角模型实则是圆的“直径对直角”性质,最值模型则是“两点之间,线段最短”原理的拓展,“四点共圆”则是对圆周角定理的变式拓展. 在实际教学中,教师需要引导学生从圆的性质定理出发,理解模型本质,以定理定义为依托,开展模型教学.

    2. 添加辅助圆,学习构造方法

    利用圆的模型解题的关键一步是添加辅助圆,即几何构造,其构造的基础是理解题意,所以掌握添加辅助圆的常规方法是十分必要的. 辅助圆的添加方法有很多种,具体可归纳为以下三种:一是利用圆的定义添加辅助圆,即三个及以上的点到同一点的距离相等作圆;二是作三角形的外接圆,即任意不在同一直线上的三点共圆,也是由圆周角推论所得;三是利用四点共圆,一般有两种思路,可用四边形的对角互补,也可利用同底同侧有相等顶角的三角形. 在实际教学中,建议教师根据具体的问题情境开展辅助圆构造法教学,引导学生总结问题特点,结合问题指导构造思路.

    3. 渗透数学思想,提升数学思维

    开展解题方法教学的核心主要有两个:一是指导学生掌握解题技巧,二是提升学生的数学思维. 其中后者对学生的长远发展最为重要,也是课改理念所在. 在教学中,学生思维的提升可具体到思想上,即教学中合理地渗透数学思想,引导学生利用对应的思想开展问题分析、转化. 如上述添加辅助圆,利用圆类模型的解题过程渗透构造思想、模型思想、化归与转化思想、数形结合思想,正是在这些思想的融合下完成了辅助线添加、问题转化、思路构建. 因此,需要教师结合数学思想开展解题方法教学,使学生理解思想内涵,内化方法,逐步提升思维水平.

    写在最后

    圆是学生在初中阶段唯一接触的曲线图形,本身具有诸多的几何性质,深刻理解可用于几何问题求解. 对于一些涉及动点的问题,可通过添加辅助圆来帮助学生理解题意. 上述所呈现的是其中较为常用的三大圆类模型,其解析方法和构造思路具有一定的参考价值,在实际教学中建议教师从圆的基本性质入手,指导辅助线添加的方法,引导学生深刻理解模型,形成模型解题的方法策略. 同时重视数学思想方法的渗透,以提升学生的综合素质.