关于三角形相似模型的探究与思考

2022.07.14

化劼

[摘? 要] “A”型模型是三角形重要的相似模型，利用模型的特征性质可以快速构建解题思路，提高解题效率. 文章解读“A”型相似模型，结合实例开展应用强化，并进行总结反思，提升学生应用模型解题的能力，从而发展数学思维.

[关键词] 相似三角形;“A”型模型;探究;应用;数学思维

几何模型是初中数学的重要内容，合理利用典型模型的性质和构建思路可以简化解题过程. 开展模型探究需要以教材为基础，逐步深入探究，以形成相应的解题策略，因此模型探究建议采用“解读认知→应用强化→反思总结”的架构. 相似三角形具有较多的模型，其中“A”型模型是常用的一种，下面对其展开探究.

模型解读

模型解读应从基本的模型结构入手，总结常规类型、变式类型，同时关注模型的性质，以及相应的构建思路. 对于“A”型相似模型，基本类型有两种，包括正“A”型（图1）、反“A”型（图2），另外，以反“A”型为基础，向下平移C′B′，使点B′与点C重合，则有反“A”变形型（图3）. 不同的类型具有相应的结构特点，同时具有不同的相似关系，具体如下.

1. 正“A”型

正“A”型相似模型的特点为：共用一个顶点，底边相互平行. 以图1为例，△ABC∽△A′B′C′，两个三角形共用顶点A（A′），同时BC∥B′C′，则对应性质为 = = .

平行关系是模型最具代表性的特征，构建时可借助两线平行，利用平行性质推得两个三角形相似，然后利用模型的性质来转换线段比值关系. 基于上述分析，该模型的构建有两种策略：一，由两线平行直接构建;二，借助三角形的中位线性质，即，若点B′和C′分别为AB，AC的中点，则由中位线的性质也可推知两线平行.

2. 反“A”型

反“A”型相似模型的特点为：共用一个顶点，其他两顶点位置反向对应. 以图2为例，△ABC∽△A′B′C′，点B的对应点B′在点B的对边AC上，点C的对应点C′在点C的对边AB上，对应性质为 = = .

反“A”型相似模型的典型特征是顶点位置反向，实际构建时需要采用等角转化的方式，通过等角代换来提取图形中的相等角，进而证明两个三角形相似.

3. 反“A”变形型

反“A”变形型，显而易见是对反“A”型的变形，它们总体结构不变，仅仅是点B′与点C重合，从而使模型存在两对重合点（仅一对重合点为对应点），该类型也称为共角共边型. 以图3为例，△ABC∽△A′B′C′中，两三角形共顶点A（A′）和C（B′）.

应用强化

上述三种是“A”型相似模型的常见类型，模型结构虽较为简单，但变化灵活，可结合图形翻折、动点等动态形式呈现，同时可结合三角函数、圆、函数曲线等内容来综合考查. 实际解题时，需要准确把握图形特点，严格按照相似三角形的判定定理来构建，下面结合考题来强化应用.

1. 动点问题的“A”型相似

例1? 在△ABC中，AB=4 cm，BC=8 cm，现点P从点A出发，沿AB方向以1 cm/s的速度向点B移动，同时点Q从点B出发，沿BC方向以2 cm/s的速度向点C移动，设时间为t，试分析是否存在时间t，使得△PBQ与△ABC相似. 若存在，请求出t的值;若不存在，请说明理由.

解析? 上述为双动点三角形相似问题，实则就是分析△PBQ与△ABC相似的情形，其中两三角形已有一组对应角相等——∠PBQ=∠ABC，只需确保另一组对应角相等即可. 题干没有设定相似对应，显然有两种情形：△PBQ∽△ABC，△PBQ∽△CBA，后续只需利用三角形相似性质，结合运动建立方程求解即可.

①当△PBQ∽△ABC时，如图4，此时PQ∥AC，为正“A”型三角形相似模型. 由已知条件可得AP=t，BQ=2t，结合三角形相似性质可得 = ，即 = ，解得t=2.

②当△PBQ∽△CBA时，如图5，此时PQ与AC不再平行，为反“A”型三角形相似模型. 结合三角形相似性质可得 = ，即 = ，解得t=0.8.

綜上可知，当t为0.8或2时，△PBQ与△ABC相似.

评析? 上述问题引入动点探究三角形相似时t的值，通过讨论三角形对应情形确定了“A”型相似的两种模型，进而利用性质完成求解. 动点拓宽了模型的构建思路，使得模型更具应用价值. 实际解题时需关注三角形相似的对应情形，合理建模.

2. 圆问题中的“A”型相似

例2? 如图6，△ABC为⊙O的内接三角形，点D在弧BC上，点E在弦AB上（点E不与点A重合），四边形BDCE为菱形. 求证：

（1）AC=CE;

（2）BC2-AC2=AB·AC.

解析? 本题为涉及圆的几何问题，需要充分结合圆的特性来构建解题思路.

（1）根据菱形性质可知∠D=∠BEC，又∠A+∠D=∠BEC+∠AEC=180°，所以∠A=∠AEC. 所以AC=CE.

（2）要证BC2-AC2=AB·AC，可对其适当变形，即（BC+AC）·（BC-AC）=AB·AC，进而可得 = . 该形式可视为相似三角形的性质所得，后续只需进行等线段转化，构建相似三角形模型即可.

如图7，以点C为圆心、CE的长为半径作⊙C，与BC交于点F，与BC的延长线交于点G，则CF=CG=AC=CE. 分析可知BF=BC-CF=BC-AC，BG=BC+CG=BC+AC，BE=CE=AC，推理后可证△BEF∽△BGA，由相似性质可得 = ，结合上述线段关系可转化为 = ，化简后得BC2-AC2=AB·AC.

评析? 上述第（2）问在证明线段之间的代数关系时，采用了等量变形、相似转化的策略，即通过作图构建了相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例的性质证明，解题所用的是反“A”型相似模型. 在实际解题时，需关注与线段长相关的代数关系，合理联系三角形的相似性质构建模型，进行线段转化，提升思维的灵活性.

3. 曲线中的“A”型相似

例3? Rt△ABC在平面直角坐标系中的位置如图8，反比例函数y= （k≠0）在第一象限内的图像与BC的交点为D，与AB的交点为E，已知D（4，m），E（2，n），△BDE的面积为2，试回答下列问题：

（1）求m与n的数量关系;

（2）若tan∠BAC= ，求反比例函数的解析式和直线AB的解析式;

（3）设直线AB与y轴的交点为F，点P在射线FD上，在（2）问的条件下，若△AEO与△EFP相似，试求点P的坐标.

解析? 本题为反比例函数背景下的三角形相似探究，题目同样没有设定相似对应，所以需要分类讨论. 解题时需要构建相应的相似模型，然后利用相似性质转化出线段比例关系，进而确定点P的坐标.

（1）因為点D和点E均在反比例函数的图像上，均满足其函数解析式，所以4m=2n=k. 所以n=2m.

（2）需要在图像中构建直角模型，结合三角函数值来求解点的坐标，进而确定反比例函数和直线AB的解析式. 过程略，反比例函数的解析式为y= ，直线AB的解析式为y= x+1.

（3）结合直线AB的解析式可求得F（0，1），D（4，1）. 分析可知直线FD平行于x轴，故△AEO与△EFP相似有两种情形：△EFP∽△EAO，△EFP∽△OAE.

①当△EFP∽△EAO时，如图9，由相似性质可得 = ，代入线段长可得 = ，解得FP=1，此时点P的坐标为（1，1）.

②当△EFP∽△OAE时，如图10，由相似性质可得 = ，代入线段长可得 = ，解得FP=5，此时点P的坐标为（5，1）.

综上可知，若△AEO与△EFP相似，则点P的坐标为（1，1）或（5，1）.

评析? 上述是反比例函数背景下的三角形相似，其中相似涉及“A”型相似模型，解析时可以直接提取模型，构建相似关系. 函数曲线中的相似问题，最大的特点为联系了函数解析式，模型解析时需要充分利用点的坐标的纽带作用，由点推线长、位置关系，构建相似模型.

反思总结

1. 模型教学立足教材基础

上述对三角形“A”型相似模型进行了解读探究，并结合实例开展应用强化，具有极高的学习价值. 而在实际教学中需要立足教材基础，从模型的定理、性质入手，引导学生掌握模型结构，获得相应的应用方法. 教学中需要关注以下两点：一是模型的核心内容，如相似模型中所涉及的三角形相似的判定定理和性质定理，使学生掌握证明方法，及所具有的性质;二是相似模型的对应关系，教学中需要引导学生关注三角形相似的对应关系，理解对应点不同所构建的模型也不同.

2. 利用模型教学发展学生思维

开展模型教学可以强化知识，使学生掌握解题策略，同时，模型教学也是数学思维的过程，能引导学生经历发现模型、总结归纳、知识应用、强化拓展等思维活动，对提升学生的探究能力极为有利. 教学中，应注重模型教学的探究环节，合理渗透数学思想方法，如数形结合思想、化归与转化思想、分类讨论思想、模型构建思想等，提升学生的数学思想，促进学生思维的发展，为学生的长远发展打基础.