由一道高考解析题展开的思考

    袁玉娟

    

    

    【摘要】本文以一道高考解析题的一题多解、一题多变为例,通过背景探究、追踪溯源发现问题的本质,透过逻辑反思演绎出对称问题的结论.整体脉络上体现了从特殊到一般的逻辑推理的核心素养,达成了从一题多解到多题一解的化归.解析几何占据了高考压轴题的半壁江山,思维量大、难度高,所以学生学习时要做到“做一题、归一类、得一法”.

    【关键词】解法探究;变式探究;等角定理;对称进阶

    一、出示例题

    设椭圆C:x22+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与椭圆C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).

    (1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程.

    (2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.

    分析:解析几何中证明角相等常用到斜率相等或互为相反数、角平分线定理、余弦定理等.观察图形容易看出∠OMB 恰好为直线MB的倾斜角,∠OMA恰好为直线MA的倾斜角的补角,所以只需证kMA+kMB=0.

    (1)略.

    (2)解法一:当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°.

    当l与x轴不重合时,设l的方程为x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2),

    由x=my+1,x22+y2=1得(m2+2)y2+2my-1=0,

    所以y1+y2=-2mm2+2,y1y2=-1m2+2,Δ>0,

    所以直线MA,MB的斜率之和为kMA+kMB=y1x1-2+y2x2-2=2my1y2-(y1+y2)(x1-2)·(x2-2)=0.

    故直线MA,MB的倾斜角互补,所以∠OMA=∠OMB.

    评注:此种方法将角披上了三角函数家族中正切的外衣,将角相等转化为斜率互为相反数.先由角及“斜”,再通过数学运算由因导果.罗增儒教授说过,“问题一旦获解,就立即产生感情上的满足,从而导致心理封闭,忽视解题后的再思考,恰好错过了提高的机会,这无异于‘入宝山而空返”.解析几何可谓数学思想的战场,课堂教学不只要 “会” 解一题,更重要的是让学生“汇”解一题.学生要学会从多角度挖掘题目中潜在的深层结构,由一个问题能联想到不同的知识,这有利于学生形成优化的认知结构.

    解法二:(原点到直线MA,MB的距离)由解法一可得MA:y=y1x1-2(x-2),MB:y=y2x2-2(x-2),

    所以y1x+(2-x1)y-2y1=0,y2x+(2-x2)y-2y2=0,

    所以dO-AM=2y1y21+(2-x1)2,同理dO-BM=2y2y22+(2-x2)2,

    所以d2O-AM-d2O-BM=4y21y21+(2-x1)2-4y22y22+(2-x2)2=4(y1-y2)(y1+y2-2my1y2)[y21+(1-my1)2][y22+(1-my2)2]=0,

    所以∠OMA=∠OMB.

    评注:核心素养水平中“数学运算水平三”指出,“在综合的情境中,能够把问题转化为运算问题,确定运算对象和运算法则,明确运算方向.能够对运算问题,构造运算程序,解决问题”.实际教学中发現,大部分学生无法明确运算方向,明确不了运算对象,还有学生则是怯于运算.此种点斜式方程的设法也较为常见,利用了解析几何中点到直线的距离公式,从结论出发,充分调动了学生的逻辑思维及数学分析能力.

    解法三:(角平分线定理)欲证∠OMA=∠OMB,

    只需证AFBF=AMBM=y1y2=(x1-2)2+y21(x2-2)2+y22,

    因为y21y21+(x1-2)2-y22y22+(x2-2)2=(y1-y2)(y1+y2-2my1y2)y21+(1-my1)2[y22+(1-my2)2]=0,

    所以∠OMA=∠OMB.

    评注:解析几何的研究对象是几何图形,所用的研究方法主要是代数方法.解决问题的基本过程:根据具体问题情境的特点,建立平面直角坐标系;根据几何问题和图形的特点,用代数语言把几何问题转化为代数问题;根据对几何问题(图形)的分析,探索解决问题的思路;运用代数方法得到结论;给出代数结论对应的合理的几何解释,解决几何问题.解析几何是几何,得意忘形学不活.图形直观数入微,数学本是数形学.利用数形结合进行解题,形象、直观,但很多时候却不易想到,这就需要学生打破知识间的壁垒,充分发挥想象力.

    二、背景探究

    我们观察例题中点F与点M的横坐标,进一步展开思考,不难发现点F的横坐标与点M的横坐标之积等于a2,以及此题的出题背景是椭圆的等角定理,下面我们来证明椭圆的等角定理.

    椭圆的等角定理:过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0) 长轴上任意一点N(t,0)的一条弦的端点A,B与对应点Ga2t,0的连线所成角被焦点所在直线平分,即∠OGA=∠OGB(如图).

    证明:设直线AB的方程为x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2),

    将直线与椭圆方程联立x=my+t,x2a2+y2b2=1,得(a2+b2m2)y2+2mtb2y+b2t2-a2b2=0,

    所以y1+y2=-2mtb2a2+b2m2,y1y2=b2t2-a2b2a2+b2m2,

    所以kAG+kBG[ZK(]=y1x1-a2t+y2x2-a2t=2my1y2+t-a2t·(y1+y2)x1-a2t·x2-a2t=0,[ZK)]

    所以∠OGA=∠OGB.

    评注:逻辑推理是数学学习中的基本的思维方式,也是生活中常用的思维方式.逻辑推理的一般过程是:首先,在熟悉的情境中,用归纳或类比的方法发现数量或图形的性质、关系;其次,在关联的情境中发现并提出问题;最后,用数学语言予以表达.在逻辑推理中,归纳、类比是发现和提出数学问题的重要途径.

    三、背景演绎

    提出问题:已知椭圆C:x22+y2=1,过椭圆C的右焦点F不垂直于x轴的直线l与椭圆C交于A,B两点(kl≠0),点M的坐标为(m,0),若x轴平分∠AMB,求m的值.

    解:设l的方程为x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2),由x=ty+1,x22+y2=1得(t2+2)y2+2ty-1=0,

    所以y1+y2=-2tt2+2,y1y2=-1t2+2,Δ>0.

    直线AM,BM的斜率之和为:

    kMA+kMB=y1x1-m+y2x2-m=2ty1y2+(1-m)(y1+y2)(x1-m)·(x2-m)=0,

    所以m=2.

    问题进阶:已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),过长轴上任意一点N(n,0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C交于A,B两点(kl≠0),点M的坐标为(m,0),若x轴平分∠AMB,求m的值.

    解:设l的方程为x=ty+n,A(x1,y1),B(x2,y2),

    由x=ty+n,x2a2+y2b2=1得(a2+b2t2)y2+2tnb2y+b2n2-a2b2=0,

    所以y1+y2=-2b2tna2+b2t2,y1y2=b2n2-b2a2a2+b2t2,Δ>0,

    所以直线AM,BM的斜率之和为:

    kMA+kMB=y1x1-m+y2x2-m=2ty1y2+(n-m)(y1+y2)(x1-m)·(x2-m)=0,

    所以2ta2b2=2tmnb2,所以mn=a2,即m=a2n.

    进阶结论:

    ①过椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴上任意一点N(n,0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C交于A,B两点(kl≠0),点M的坐标为(m,0),若x轴平分∠AMB,则xM·xN=a2.

    ②过椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)短轴上任意一点N(0,n)且不垂直于y轴的直线l与椭圆C交于A,B两点(kl≠0),点M的坐标为(0,m),若y轴平分∠AMB,则yM·yN=b2.(证明同①)

    结论实操:

    训练1:已知椭圆C:x22+y2=1,设过右焦点F不垂直于x轴的直线l与椭圆C交于A,B两点,在x轴上是否存在一点M,记△AMF和△BMF的面积分别为S1,S2,使得S1S2=MAMB?若存在,求出點M的坐标;若不存在,请说明理由.

    简解:因为S1S2=AFBF=MAMB,所以x轴平分∠AMB,

    所以xM·xF=a2=2,∴M(2,0).

    训练2:设M(-4,0),直线y=kx+12与椭圆C:x2[]2+y2=1交于A,B两点,若直线MA,MB均与圆x2+y2=r2(r>0)相切,求k的值.

    简解:设直线y=kx+12与x轴交于点N,

    因为直线MA,MB均与圆x2+y2=r2(r>0)相切,

    所以x轴平分∠AMB,

    所以xM·xN=a2=2,所以xN=-12,

    所以-12k+12=0,所以k=1.

    训练3:已知椭圆C:x22+y2=1,设过N(-1,0)的直线l与椭圆C交于A,B两点,点A关于x轴的对称点为D(点D与点B不重合),证明:直线BD恒过定点,并求该定点的坐标.

    简解:设直线BD与x轴交于点M,点A、点D关于x轴对称,由∠AMN=∠BMN,得xM·xN=a2=2,所以xM=-2,所以M(-2,0).

    训练4:已知椭圆C:x22+y2=1,过点P0,12的动直线l与椭圆C相交于A,B两点,点B关于y轴的对称点为点D(不同于点A ).证明:直线AD恒过定点,并求出定点坐标.

    简解:设直线AD与y轴交于点M,点B、点D关于y轴对称,由对称知∠DMP=∠BMP,所以yM·yP=b2=1,所以yM=2,所以M(0,2).

    古人云:“集腋成裘,聚沙成塔”,强调的就是积累的作用,量的积累必然会带来质的变化,解析几何中的学习亦是如此,要多积累一些模型,多归纳一些方法,还要深谙其中的奥妙,那么此版块的学习才会别有洞天、一骑绝尘.

    【参考文献】

    [1]俞永锋.与圆锥曲线极点和极线有关的一个等角定理[J].数学通报,2010(06):43-44.

    [2]曾建国.高观点下圆锥曲线一组性质的统一[J].数学通报,2012(08):60-62.