管窥高考数学文化题的取材视角
熊康松
【摘要】本文从七个方面结合实例阐述了高考文化数学试题的取材视角.
【关键词】高考;數学文化;取材
数学是人类文化的重要组成部分，对推动社会发展起到重要的作用.数学课程能够帮助学生形成正确的数学观.为此，高中数学课程在适当的内容中提出对数学文化的学习要求.近几年的高考数学试题加强了对数学文化的考查，新课标将数学文化作为课程中的一部分内容，一方面为学生关注数学文化提供“导向”，另一方面使数学试题增添文化色彩与人文气息.本文从七个方面，展示数学文化试题的取材视角，希望对大家的教学有所帮助.
一、从著名历史建筑文化古迹中提取素材
历史文物和古代建筑是历史的见证，其中蕴含着丰富的文化，以此为素材是高考命题中最常见的一种形式.学生在完成这类试题的过程中，不断了解和丰富了数学文化知识，增进了民族的自豪感.
例1 某天坛分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板，环绕它砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且三层共有扇面形石板3402块，求下层比中层多块.
点评 天坛是中国古代祭祀用的场所，有着深厚的历史特色，本题以天坛为背景命题，考查等差数列的通项公式、前n项和的求法等基本知识.
二、从数学名著中提取素材
从《九章算术》《数学九章》《算法统宗》《四元玉鉴》《详解九章算术》等古代数学名著中选取素材是很常见的命题方式.
例2 《九章算术》有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问积及为米几何.”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图所示，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少.”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）.
A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛
四、从著名的数学模型中提取素材
在刘徽的《九章算术注》中出现了一些数学模型，如赵爽弦图、牟合方盖、阳马、鳖臑等，以这些数学模型为背景设置数学题比较常见.
五、从著名的数学方法中提取素材
我国古代的一些数学著作中出现了一些方法，如何承天发明的调日法、割圆术等，以这些数学方法为背景设置数学题，新颖别致.
例5 历史上，求圆周率π的方法有多种，其中数学家阿尔·卡西的方法广为人知，先计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形的周长，然后让正整数n充分大，于是将它们的算术平均数作为2π的近似值.按照这种方法，π的近似值的表达式是.
解 单位圆内接正6n边形的每条边所对应的圆周角为360°n×6=60°n，每条边长为2sin 30°n，所以，单位圆的内接正6n边形的周长为12nsin 30°n，
单位圆的外切正6n边形的每条边长为2tan 30°n，其周长为12ntan 30°n，
例6 调日法是古代一种求近似值的方法，已知m，n，h，k∈N，将实数x的过剩近似值和不足近似值分别记为nm和kh，于是x更为精确的过剩近似值或不足近似值为n+km+h，已知π为圆周率，显然3110<π<4915，分析可知第一次用调日法后得π更为精确的过剩近似值是165，因此有不等关系3110<π<165，假如每次都取最简分数作为结果，则第三次用调日法后可得π的近似结果为（ ）.
A.227 B.6320 C.7825 D.10935
解 由调日法运算方法可知，第一次用调日法得π更为精确的过剩近似值是165，即3110<π<165，第二次用调日法后得π更为精确的过剩近似值是4715，即4715<π<165，第三次用调日法后得π更为精确的过剩近似值是6320，即4715<π<6320，故第三次调日法后得到6320为π的近似分数.故选B.
点评 本题取材于我国南北朝数学家何承天发明的调日法，突出对学生运算能力的考查.
六、从著名的数学定理中提取素材
以著名的数学定理（如中国剩余定理、祖暅原理）为文化背景的试题是数学文化类命题的一大热点.数学定理的内容和推导过程中都蕴含着丰富的数学思想、数学方法和数学文化，这些都将潜移默化地影响学生的思维，激发学生的学习兴趣.
例7 祖暅原理为大家熟知的结论大意是夹在两个平行平面之间的两个几何体，若被平行于这两个平面的任何平面所截，假如截得的两个截面的面积是相等的，那么这两个几何体的体积就会相等.请同学们用祖暅原理解决如下问题：如下图，有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，再注入水，使水面与球正好相切（而且球与倒圆锥相切效果很好，水不能流到倒圆锥容器底部），然后将球取出，则这时容器中水的深度为.
点评 本题的背景是角谷猜想（也叫叙拉古问题），即对于任意给定的正整数，如果是偶数，就除以2，如果是奇数，就乘以3再加上1，如此运算下去，一定会出现4，2，1的循环.它首先流传于美国，后来一位名叫角谷的日本数学家将它带到了亚洲.
很多高考数学文化试题在课本中都能找到，如秦九韶算法、更相减损术、伯努利不等式、阿波罗尼圆、祖暅原理、刘徽割圆术、斐波那契数列等，这些都出现在教材阅读与思考或探究与发现栏目中，因此教师可以自己改编一些试题，以便学生在学习中使用.
