关于线段和最值“解题公式”的探究思考

    常燕

    [摘? 要] 线段和最值问题在中考中十分常见,线段转化、构建共线关系是重要的解题策略之一. 整理解题过程,总结思维方法,形成“解题公式”有利于提高解题效率. 文章将剖析问题的解题原理,结合例题归纳解题模板,并进行实战演练,提出相应的教学建议.

    [关键词] 线段和;最值;转化;抛物线;共线定理

    线段和最值是初中最值问题的常见类型,即求解两条线段之和的最小值,“动线段1+动向段2”为常见形式. 解析过程可采用几何原理,按照“解题公式”来构建思路,下面深入探究.

    解题原理探究

    “两点之间,线段最短”是线段和最值问题突破的基本依据,也是解题的核心公理. 具体求解时常通过对称变化的方式来实现三点共线,从而确定线段之和取最值时动点的位置.

    以图1的情形为例,点A和B分别为直线l异侧的两个定点,点P为直线l上的一个动点,显然当P、A、B三点共线时,线段和AP+BP可取得最小值,此时点P位于直线AB与l的交点处. 若点A和B位于直线l的同一侧,则可以通过对称变换的方式来构建.

    实际转化过程要遵循以下原则:①控制、减少变量;②向定点、定线段方向靠拢.

    “解题公式”示例

    线段和最值问题的核心是“转化”,即明确“转化要素”,实现“线段转化”. 因此该类问题思路构建可分如下三步进行:第一步,理解问题条件,明晰“转化要素”;第二步,作图构形,实现“线段转化”;第三步,利用几何定理,三点共线解决. 下面以一道例题具体阐述思路的构建过程.

    例题:如图2所示,已知菱形ABCD的边长为1,点P是菱形对角线AC上的一个动点,点M和N分别是边AB和BC的中点,则PM+PN的最小值为________.

    思路分析:按照“转化要素→线段转化→共线解题”三步构建.

    第一步,分析题目条件,明晰“转化要素”.

    求PM+PN的最小值,其中P为动点,M和N为定点. 由条件可知动点P位于直线AC上,定点M和N分别为AB和BC的中点,且位于AC的同一侧. 结合求线段和的最值原理可知,需要将三点转化在同一直线上,故需要对同侧定点M和N进行位置转化.

    第二步,作图构形,实现“线段转化”.

    采用轴对称的转化方式,将线段PM和PN放在同一直线上. 由于点M和N均为菱形边上的中点,则可以取CD的中点为G,如图3所示. 由菱形特性可知,点G和N关于AC对称,由对称性可知PG=PN,则问题可转化为求PM+PG的最小值.

    第三步,利用几何定理,三点共线破题.

    在△PMG中,有PM+PG≥MG时,即当点P、M、G三点共线时,PM+PG可取得最小值,此时PM+PG=MG=1,即点P是MG与AC的交点,所以PM+PN的最小值为1.

    总结? 求线段和最值可分三步进行,其中第一步明晰所涉线段中的动点和定点,并结合图像把握点之间的位置关系;第二步则是探索线段转化的策略,为后续线段共线提供条件;第三步则是基于“两点之间,线段最短”原理构建三点共线,确定最值情形.

    考题实例演练

    考题:(2020年南通中考卷第10题)如图4,在△ABC中,AB=2,∠ABC=60°,∠ACB=45°,D是BC的中点,直线l经过点D,AE⊥l,BF⊥l,垂足分别为E,F,则AE+BF的最大值为(?摇?摇? ? ).

    A.? ?摇?摇? ? ? ? B. 2

    C. 2 ?搖? ? ? ?摇D. 3

    思路分析:本题目求线段和AE+BF的最大值,可参考上述“解题公式”进行思路构建.

    第一步,分析题目条件,明晰“转化要素”.

    求AE+BF的最大值,其中点A和B为定点,由于直线l的斜率不确定,从而造成点E和F的位置不定. 线段AE和BF位于动直线l的同侧,需要将其转化到同一直线上去.

    第二步,作图构形,实现“线段转化”.

    转化过程需要确保线段等长,本题目中可通过构建全等三角形的方式实现. 作CK⊥l,垂足为点K,再过点C作AE的垂线,设垂足为点N,如图5所示. 分析可证△BFD≌△CKD,则CK=BF=EN可将问题转化为求AE+EN=AN的最大值,此时点A、E、N三点共线.

    第三步,利用几何定理,三点共线破题.

    在Rt△ANC中,有AN

    评析? 上述采用解题模板探究与四点相关的线段和最值,其中点E和F为动直线上的点,与例题相比更为复杂,但解题思路是不变的. 通过“线段转化”构建三点共线是关键,上述所采用的全等变化是几何中的常用方法. 线段和最值问题解析的重点是思路分析,而不是解题过程,理解方法原理,灵活套用“解题模板”是探究的重点.

    考题拓展探究

    中考常见抛物线与几何相综合,抛物线背景中同样存在线段和最值问题,该类问题本质上是一致的,同样可以参考上述所总结的“解题公式”进行思路构建. 下面对一道抛物线中的线段和最值问题进行“模式化”探究.

    问题:在平面直角坐标系中,已知抛物线的解析式为y=- x2+2x-1,设抛物线的顶点为P,等腰直角三角形△ABC的顶点坐标为A(0,-1),点B位于第四象限,如图6所示,现平移抛物线,使点P沿着AC方向滑动,设滑动时抛物线与AC的另一交点为Q,BC的中点为N. 探究在平移过程中,NP+BQ取得最小值时点Q的坐标.

    解析:本题目以抛物线为背景,求线段NP+BQ取得最小值时点Q的坐标,涉及N、P、B、Q四点,同样可以参考上述总结的“解题公式”.

    第一步,分析题目条件,明晰“转化要素”.

    问题所涉四点中,点B,N为定点,点P和Q是抛物线与AC的交点,可视为是动点. 线段NP和BQ均位于直线AC的同一侧,需要通过“线段变换”来实现两线段共线.

    第二步,作图构形,实现“线段转化”.

    如图7,可采用轴对称变换的方式,作点B關于直线AC的对称点B′,由对称性质可得BQ=B′Q. 取AB的中点为F,连接QF,FN,可证PQFN为平行四边形,可得NP=QF,则问题转化为求QF+B′Q的最小值时的情形.

    第三步,利用几何定理,三点共线破题.

    根据“两点之间,线段最短”可知,当Q、F和B′三点共线时,QF+B′Q可取得最小值,此时点Q为直线B′F与AC的交点. 根据问题条件可求得点B′(0,3),点F(2,-1),则直线B′F的解析式为y=-2x+3,直线AC的解析式为y=x-1,联立两者的解析式可得点Q坐标为 , ,所以NP+BQ取得最小值时点Q坐标为 , .

    评析? 上述线段所涉四点中有两点为动点,与抛物线的平移紧密相关,可将平移方向AC视为是定直线,显然问题线段位于同一侧,后续的重点就是“线段转化”. 与例题相比,本问题的难点集中在第三步的求值上,由于问题背景为平面直角坐标系,解题时要把握点与线段、解析式的关系.

    问题解后反思

    上述对线段和最值问题的解题策略进行了剖析,并结合例题总结了相应的“解题公式”,对于提升解题效率有着极大的帮助. 而在实际教学中,教师应立足数学原理,开展知识总结,注重学生的思维培养,下面提出几点教学建议.

    1. 领悟问题本质,掌握分析方法

    线段和最值属于动点问题,实际上探究线段最值就是分析点的位置关系、探究距离最值,显然适用于“两点之间,距离最短”原理. 教学中要引导学生理解问题本质,关注问题突破的知识原理,使学生领悟解题的关键所在. 解题模板是对问题解法的思路总结、方法概括,教学中要引导学生体验问题的分析过程,理解每步探究的意义,关注其中的重点,让学生掌握方法的精髓,培养学生独立分析问题的能力.

    2. 注重问题拓展,培养学生思维

    “解题公式”有助于引导学生 “模式化”构建思路,但也存在思维固化的弊端,容易使学生过度依赖,限制思维发展. 教学中要注重问题变式,拓展学生思维,提升学生思维的灵活性,如上述问题探究中,基于“线段转化”方法和问题背景进行拓展变式,总结了全等变换方法,抛物线最值问题突破的思路. 拓展教学中,可采用对比探究的方式,引导学生关注问题特点,反思方法异同,培养学生思维,帮助学生形成解题策略.

    3. 关注数学思想,提升数学素养

    上述总结了线段和最值问题的“三步法”解题模板,其中第二步涉及了图形构建和线段转化,其中隐含了数学的模型思想和转化思想,而第三步的计算推理过程中隐含了数形结合思想. 在探究教学中,教师要关注数学的思想方法,合理渗透数学思想. 数学思想不同于知识定理,教学中需要采用思维引导的方式,让学生体验解题过程,感悟思想方法的精髓,养成利用思想方法解题分析的习惯,逐步提升学生的数学素养.