从数学抽象素养的角度分析人教A版高中数学教材函数概念的抽象
白逸飞
【摘要】数学抽象素养是通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养.数学抽象经历了简约阶段、符号阶段、普适阶段，同时具有实物抽象、半符号抽象、符号抽象和形式化抽象四种表现形式.高中函数概念在高中阶段是一个非常重要并且非常抽象的概念，所以，我们有必要从数学抽象素养的角度分析人教A版高中数学教材函数概念的抽象.本文将从数学抽象素养的内涵及水平划分、阶段及表现形式、各表现形式在人教A版高中数学教材函数概念中的体现三部分进行论述.
【关键词】数学抽象;函数概念;内涵及水平划分;阶段;表现形式
一、引言
2014年，教育部颁布了《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》，其中明确指出：研究制定学生发展核心素养体系和学业质量标准.2016年，《中国学生发展核心素养》发布，核心素养包含人文底蕴、科学精神、责任担当、实践创新、学会学习、健康生活.2018年，教育部颁布的《普通高中数学课程标准（2017年版）》凝练并提出数学学科核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析，同时其也指出数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，贯串在数学产生、发展、应用的过程中.从数学抽象素养的角度出发分析教材非常有意义.
函数是高中数学的重要内容，并且作为高中数学课程的一条主线.函数在高中阶段是一个非常重要并且非常抽象的概念.高中阶段函数的概念具有抽象性，很多学生不理解高中数学函数的概念，这对后续学习函数的内容产生了影响.所以我们很有必要从数学抽象素养的角度分析人教A版高中数学教材函数概念的抽象.
二、研究方法
本文采用文献研究和案例分析的方法，收集关于数学抽象素养内涵及水平划分、阶段及表现形式方面的文献，同时结合人教A版高中数学教材函数概念的教学案例，分析数学抽象素养的各个表现形式在人教A版高中数学教材函数概念中的体现.
三、研究问题
本文主要从数学抽象素养的角度分析人教A版高中数学教材函数概念的抽象，从数学抽象素养的内涵及水平划分、阶段及表现形式、各表现形式在人教A版高中数学教材函数概念中的体现三部分进行论述.
四、数学抽象素养的内涵及水平划分
《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养.数学抽象的对象是空间形式和数量关系，数学在本质上研究的是抽象的东西.抽象是思维的基础，学生只有具备了一定的抽象能力，对事物的认识才能从感性认识上升到理性认识，从而获得事物的本质特征.
《普通高中数学课程标准（2017年版）》把数学抽象素养水平划分为三部分，水平一是高中学业水平考试的要求，水平二是高考的要求，水平三是大学自主招生的要求.水平一要求学生能够在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则;能够在特例的基础上归纳并形成简单的数学命题;能够模仿学过的数学方法解决简单问题;能够解释数学概念和规则的含义，了解数学命题的条件与结论;能够在熟悉的情境中抽象出数学问题;能够了解用数学语言表达的推理和论证;能够在解决相似的问题中感悟数学的通性通法，体会其中的数学思想;在交流的过程中，能够结合实际情境解释相关的抽象概念.
水平二要求学生能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则;能够将已知数学命题推广到更一般的情形;能够在新的情境中选择和运用数学方法解决问题;能够用恰当的例子解释抽象的数学概念和规则;能够理解数学命题的条件与结论;能够理解和构建相关数学知识之间的联系;能够理解用数学语言表达的概念、规则、推理和论证;能够提炼出解决一类问题的数学方法，理解其中的数学思想;在交流的过程中，能够用一般的概念解释具体现象.
水平三要求学生能够在综合的情境中抽象出数学问题，并用恰当的数学语言予以表达;能够在得到的数学结论基础上形成新命题;能够针对具体问题运用或创造数学方法解决问题;能够通过数学对象、运算或关系理解数学的抽象结构;能够理解数学结论的一般性;能够感悟高度概括、有序多级的数学知识体系;在现实问题中，能够把握研究对象的数学特征，并用准确的数学语言予以表达;能够感悟通性通法的数学原理和其中蕴含的数学思想;在交流的过程中，能够用数学原理解释自然现象和社会现象.
五、数学抽象素养的阶段及表现形式
数学抽象素养经历了简约阶段、符号阶段、普适阶段三个基本阶段.简约阶段指把握事物的本质，把繁杂问题简单化、条理化，并能够清晰地表达;符号阶段指去掉具體的内容，利用概念、图形、符号、关系表述包括已经简约化了的事物在内的一类事物;普适阶段指通过假设和推理建立法则、模式或者模型，并能够在一般的意义上解释具体事物.张胜利也认为数学抽象具有层次性，将数学抽象具体划分为实物抽象、半符号抽象、符号抽象、形式化抽象四个表现形式.其中实物抽象和半符号抽象处于简约阶段，符号抽象处于符号阶段，形式化抽象处于普适阶段.
实物抽象指以实物为对象进行抽象，其在很大程度上依据人对实物的直观感受.例如，教师在讲解圆的概念时，引入车轮、圆月等实物，给人以圆的直观感受，这是抽象的第一步.
半符号抽象指部分属性已经从实物中提炼出来，但是并没有完全脱离实物.例如，教师在讲解函数的奇偶性时，通过观察一些初中学过的具体的函数图像，提炼出偶函数性质是定义域关于原点对称，图像关于y轴对称，但是这些仅仅基于一些具体的函数，并没有推广到所有的偶函数，没有完全脱离实物.
符号抽象指完全脱离具体的内容，抽象结果具有一定的可推广性.下面我们列举一个具体的例子：
一般地，设函数f（x）的定义域为I，区间DI：
如果x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f（x1）<f（x2），那么就称函数f（x）在区间D上单调递增.
这是教材中关于函数单调递增的定义，这个定义出现了大量的数学符号，可以推广到所有的单调递增函数，这就是符号抽象.
形式化抽象指通过假设和推理建立法则、模式或者模型，并能够在一般的意义上解释具体事物.例如，在得到函数单调性的定义之后，教师让学生运用函数单调性定义证明某函数在某区间上是单调的.
六、数学抽象素养各个表现形式在人教A版高中数学教材函数概念中的体现
（一）实物抽象的体现
新版人教A版教材中首先让学生利用初中函数的概念判断l=4x和y=4x是否相同？y=x和y=x2/x是否相同？教材通过列举具体的函数，让学生用初中的函数概念无法做出判断，引发学生的认知冲突，为后面引出高中数学函数的概念做铺垫，这是实物抽象的体现.
然后教材列举了“复兴号”高速列车、电气维修公司工人的工资、北京市空气质量指数变化图、我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况四个生活中的实际案例，给学生一种直观感受.并且教材在每个案例的后面都设置了思考题，旨在引出每一个案例背后体现的函数特征.
问题1 某“复兴号”高速列车加速到350 km/h后保持匀速运行半小时.这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系可表示为S=350t.
思考
有人说：“根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350 km/h后，运行1 h就前进了350 km.”你认为这个说法正确吗？
根据问题1的条件，我们不能判断列车以350 km/h运行半小时后的情况，所以上述说法不正确.显然，其原因是没有关注到t的变化范围.
下面用更精确的语言表示问题1中S与t的对应关系.
列车行进的路程S与运行时间t的对应关系是
S=350t.①
其中，t的变化范围是数集A1={t|0≤t≤0.5}，S的变化范围是数集B1={S|0≤S≤175}.对于数集A1中的任一时刻t，按照对应关系①，在数集B1中都有唯一确定的路程S和它对应.
教材通过列举四个实际生活中的案例，并且通过设置思考题引出每一个案例背后的函数特征，为后面总结归纳四个案例的共同点做铺垫，这是实物抽象的体现.
（二）半符号抽象的体现
列举四个案例之后，教材留了一个归纳题目：上述问题1～问题4中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数概念的本质特征吗？随后教材给出了共同特征.
上述问题的共同特征有：
（1）都包含两个非空数集，用A，B来表示;
（2）都有一个对应关系;
（3）盡管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应.
这些特征是从四个具体的案例中抽象出来的，但是只是基于这四个案例，没有完全脱离具体案例，没有广泛的推广，这是半符号抽象的体现.
（三）符号抽象的体现
教材给出共同特征之后，指出对应关系可能有解析式、表格、图像.为了表示方便，引入对应关系f，这就是一种符号抽象，用抽象的符号来表示这种对应关系，然后给出了函数的定义：
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function），记作
y=f（x），x∈A
其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域（domain）;与x的值相对应的y值叫作函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫作函数的值域（range）.
这个函数的定义出现了大量的数学符号，可以推广到一般的函数，体现了函数的本质.
（四）形式化抽象的体现
在给出函数的定义之后，教材里给了一道思考题，思考一个反比例函数的定义域和值域，并用函数的定义进行描述，同时构建可以用解析式y=x（10-x）描述的问题情境.这都是函数定义的运用，用函数的定义解释具体的事物，这是形式化抽象的体现.
思考
反比例函数y=k[]x（k≠0）的定义域、对应关系和值域各是什么？请用函数定义描述这个函数.
例1 函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物的变量关系和规律.例如，正比例函数y=kx（k≠0）可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等.
试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y=x（10-x）来描述.
解：把y=x（10-x）看成二次函数，那么它的定义域是R，值域是B={y|y≤25}.对应关系f把R中的任意一个数x，对应到B中唯一确定的数x（10-x）.
如果对x的取值范围作出限制，例如x∈{x|0<x<10}，那么可以构建如下情境：
长方形的周长为20，设一边长为x，面积为y，那么y=x（10-x）.
其中，x的取值范围是A={x|0<x<10}，y的取值范围是B={y|0<y≤25}.对应关系f把每一个长方形的边长x，对应到唯一确定的面积x（10-x）.
探究
构建其他可用解析式y=x（10-x）描述其中变量关系的问题情境.
本文从数学抽象素养的内涵、阶段及表现形式、各表现形式在人教A版高中数学教材函数概念中的体现三部分进行了论述，详细论述了数学抽象的各个表现形式在人教A版高中数学教材函数概念中的体现，从而分析了人教A版高中数学教材函数概念的抽象性.
【参考文献】
[1]张胜利，孔凡哲.数学抽象在数学教学中的应用[J].教育探索，2012（1）：68-69.
[2]史宁中.数学思想概论·数量与数量关系的抽象[M].长春：东北师范大学出版社，2008.
[3]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.
[4]课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书（数学必修1）A版[M].北京：人民教育出版社，2019.
