剖析瓜豆原理,探究动点轨迹

2022年6月4日12:09:45剖析瓜豆原理,探究动点轨迹已关闭评论
摘要

宋璨[摘? 要] “瓜豆原理”是解析主从联动轨迹问题重要的数学原理,解析过程涉及几何旋转、相似、全等、共线等几何知识,综合性极强. 探究时要挖掘动点关联,确定动点轨迹,实现问题的静态转化. 文章将深入

    宋璨

    [摘? 要] “瓜豆原理”是解析主从联动轨迹问题重要的数学原理,解析过程涉及几何旋转、相似、全等、共线等几何知识,综合性极强. 探究时要挖掘动点关联,确定动点轨迹,实现问题的静态转化. 文章将深入剖析“瓜豆原理”,探究轨迹模型,总结方法策略,应结合实例应用探究,并深入反思.

    [关键词] 瓜豆原理;轨迹;整体思想;主从关系;相似

    几何动点是初中数学的重难点问题,把握动点轨迹是问题突破的关键. 部分问题中往往描述的是动点P,但最终需要探究另一点Q,实际上两点之间是“主从”关系,其中隐含了数学的“瓜豆原理”,即由古语“种瓜得瓜,种豆得豆”衍生出的“种”圆得“圆”,“种”线得“线”. 深入探究“瓜豆原理”,提炼轨迹模型,对于相关几何动点问题的突破有一定帮助,下面逐步探究.

    问题引例

    例题 如图1所示,点P是⊙O上的一个动点,点A为定点,连接AP,设AP的中点为Q.

    探究 当点P在⊙O上运动时,点Q的轨迹是什么?

    分析 点Q是始终是AP的中点,点P和Q之间是“主从”运动关系,联想物理上的“连杆”,可猜想点Q的轨迹也是圆. 实际探究时可连接AO,取AO的中点为M,则点M就是动点Q轨迹的圆心,再连接PO和QM,如图2所示. 分析可知△AQM和△APO为相似三角形,且相似比为AM∶AO=1∶2,可推知QM= OP,即显然任意时刻上述三角形相似关系均成立,则点Q的轨迹为圆,且半径为 OP.

    总结 点P和Q运动过程中,始终有点A,Q,P三点共线,且QM= OP. 从几何视角分析可知,动点Q的轨迹为点P轨迹的成比例缩放. 对于主从动点问题,可从动点之间的相关关系来分析运动轨迹,动点之间的数量关系反映在轨迹曲线特性上.

    深入剖析

    上述主从动点可视为常见的“连杆”运动,若主从动点与定点之间不共线,又会出现怎样的运动轨迹,这也是常见动点轨迹问题的构建形式,下面深入探究.

    问题 如图3所示,点P是⊙O上的一个动点,点A为定点,连接AP,作AQ⊥AP,且AQ=AP,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹又是怎样的?

    分析 上述动点P和Q之间依然符合“主从”运动关系,可理解成线段AP绕着点A进行旋转. 考虑到“AQ⊥AP,AQ=AP”始终成立,初步可确定点Q的轨迹也是圆. 设点M为动点Q轨迹圆的圆心,连接AM和AO,如图4所示,则可证△APO≌△AQM,显然任意时刻均成立,可推知半径MQ=PO,即动点Q的轨迹是半径为MQ的圆,轨迹圆大小与点P的轨迹相同.

    进一步思考:上述轨迹半径是由“AQ=AP”来决定的,若将其替换为AP=nAQ,则△APO与△AQM不再全等,而变为相似关系,即△APO∽△AQM,且相似比AP∶AQ=AO∶AM=n∶1,任意时刻Q点轨迹圆圆心M满足QM= OP.

    模型总结:基于上述分析,对于图5所示的动点运动,可称点P为“主动点”,点Q为“从动点”,点Q运动时会带动点P运动.

    在该模型中有如下两个定量:主动点、从动点与定点连接的夹角是固定的(即∠PAQ为定值);主动点、从动点到定点距离之比为定值(即 为定值).

    解析策略 在实际分析时,可从几何视角来看,“主从”动点的轨迹图形是相似或全等关系,两动点之间可视为几何“旋转+伸缩”的衍生. 可结合整体思想,定性探究“主从”动点之间的运动规律,确定轨迹的形状;然后结合几何性质,定量计算运动轨迹的大小.

    应用探究

    上述深入探究了“瓜豆原理”,并总结了“主从”动点问题的模型及探究策略,探究“主从”动点的运动关系,确定动点轨迹是问题突破的关键. 由“主从”动点为基础构造的问题类型也较为众多,总体上可分为几何轨迹相似和全等两种情形. 解析时可分两步进行:第一步,根据“瓜豆原理”确定动点轨迹;第二步,借助直观的图像,利用几何性质模型加以突破.

    1. “瓜豆原理”之旋转全等

    例1 如图6所示,已知正方形ABCD中AB=2 ,点O是BC边上的中点,点E是正方形内的一个动点,OE=2,将线段DE绕着点D逆时针旋转90°,得到DF,在连接AE和CF,则线段OF的最小值为______.

    分析 上述求点E运动过程OF的最小值,由题意可知点E为主动点,而点F是从动点,点D是定点,始终有OE=2,则点E的轨迹是以点O为圆心,2为半径的圆. 由于DF⊥DE,DE=DF可作DM⊥DO,且DM=DO,由“瓜豆原理”可知点F的轨迹是以点M为圆心,2为半径的圆,如图7所示. 后续直观分析动点轨迹,直接确定OF取得最小值时的情形即可.

    解 线段OF中,点O为定点,点F是⊙M上的动点,则根据经验可知连接OM,OM与⊙M的交点就为OF最小时点F的位置. 可构造“三垂直”全等模型,如图7所示. 阴影部分的两个三角形始终垂直,则DO=DM,即△DOM为等腰直角三角形. 在Rt△DOM中,已知CD=2 ,CO= ,由勾股定理可得OD=DM=5,所以OM=5 ,OF的最小值为OM-MF=5 -2.

    2. “瓜豆原理”之旋转相似

    例2 如图8所示,已知点C是半圆O的圆弧AB上的一个动点,现以BC为边作正方形BCDE(弧BC位于正方形内),再连接OD,如果AB=4,则OD的最大值为________.

    分析 本题目中点C的轨迹是确定的,是圆弧AB,而点D是由动点所在边为基础构造的正方形BCDE的一个顶点,显然符合“瓜豆原理”,初步由“主从联动”可确定点D的轨迹也为半圆. 根据题干信息可知,点D可由点C绕点B顺时针旋转45°获得,故可连接BD,分析可知BD= CB,即点D的轨迹是点C轨迹绕点B顺时针旋转45°,且半径扩大 倍的半圆.

    解 根据上述分析点D的軌迹同为半圆,将OB顺时针旋转45°,半径扩大 倍,可得O′B,如图9所示. 点O′就为点D轨迹半圆的圆心,且点O′位于点O正上方的半圆弧上. 分析可知,当点O,O′和D三点共线,且点D位于OO′延长线上时,OD可取得最大值. 此时OB=2,O′B=2 ,OO′=2,O′D=2 ,OD≤OO′+O′D,所以OD的最大值为2+2 .

    解后反思

    “瓜豆原理”是破解动点轨迹问题的常用模型策略,该策略准确把握运动本质,剖析动点规律,借助几何直观“化动为静”. 同时解析过程,注重整体思想、数形结合思想,深入探究有利于培养学生的核心素养,下面进行深入反思.

    1. 关于动点问题的策略总结

    “瓜豆原理”常用于解析轨迹为线段和圆弧的动点问题,实际应用时可结合整体思想和数形结合思想逐步剖析. 分析过程可分如下五步进行:第一步,确定主动点的轨迹;第二步,挖掘主、从动点的几何关系;第三步,确定主动点的起点和终点,结合几何相似或全等来推导从动点的轨迹;第四步,根据动点轨迹求解点、线、最值等问题. 同时,轨迹探究过程可结合“猜想—验证”的方法,提取问题中的运动条件,基于“几何不变量”猜想动点轨迹,然后结合条件严格论证. “共线原理”是动点最值问题常用的几何原理,实际求解时可合理利用,巧妙确定最值情形.

    2. 关于“瓜豆原理”的教学建议

    “瓜豆原理”及动点轨迹问题的教学应立足知识基础,重视模型剖析,强化解题策略,渗透思想方法,通过知识探究来提升学生的综合能力. 因此,教学中可设置四个环节逐步开展:环节一,预备知识引入,强化“瓜豆原理”的基础知识,如点圆最值、旋转相似或全等、轨迹意识,为后续原理探究作铺垫;环节二,探究轨迹模型,剖析模型的解析过程,总结方法策略;环节三,开展应用探究,归纳“瓜豆原理”适用的问题类型,帮助学生积累解题技巧;环节四,开展拓展探究,可设置变式问题,引导学生充分感知原理,感受模型思想. 总之,教学过程要合理设问引导,让学生参与课堂讨论,充分思考问题,以提升学生的数学素养为教学根本.