（根号5），（根号13），（根号21），（根号29）等都是无理数的统一证明

黄兆麟


本文仅从整数的奇偶性上引出矛盾，利用反证法给出5，13，21，29等数均为无理数的统一证明，供同学们参考.
定理 若p是自然数，则8p+5是无理数.
证明 假设8p+5是有理数，即有8p+5=mn（mn是既约分数），
则有（8p+5）n2=m2……（1）
[1]假设m与n均为偶数，则恰与mn为既约分数矛盾！故假设[1]不真！
[2]假设m与n的奇偶性不同，由于8p+5始终为奇数，则（1）式左右两边的奇偶性将始终不同，从而矛盾！故假设[2]也不真！
[3]假设m与n均为奇数（m>n），则m+n与m-n均为偶数！
故此时可设m+n=2r，m-n=2s（r，s∈N*，r>s），那么可将（1）式变形为
4（2p+1）n2=（m+n）（m-n），
即有（2p+1）n2=rs……（2）
显然（2）式左边为奇数！那么可知r与s必同时为奇数！这将导致
m=r+s，n=r-s，即m与n均为偶数！恰与开始的“[3]假设m与n均为奇数”矛盾！故假设[3]也不真！
综合假设[1]、[2]、[3]均不真，知8p+5=mn不真，故知8p+5是无理数.
练习 若p是自然数，则8p+2，8p+3，8p+6均为无理数.