高中数学建模素养的教学认知及启示
侯宝坤
摘? ?要
数学建模既是六大数学学科核心素养之一，也是融合其他数学核心素养的综合教学方式。数学建模教学理念提倡实行建模活动的全过程教学和现实、数学、智能计算三个世界的融合教学;数学建模教学过程中要关注形成基础、研究范式、核心主题和价值旨向。高中数学建模教学应以实际问题和结构化的数学知识为依托，让学生充分认识和理解数学建模学习的方式，实现数学核心素养的综合培养。
关键词
数学建模? 教学认知? 核心素养
数学建模从20世纪80年代走入大学课堂，历经40余年的发展，已经有相对成熟的理论框架和教学实践，也体现了数学建模对促进数学知识的理解和跨学科融合上的重要价值。当今，数学应用已经渗透到现代社会的各个方面，数学应用的领域也在迅速扩张，电子信息、计算机科学和人工智能的迅猛发展，使中学生接触到了大量跨学科信息，获取数据和处理数据的能力也得到大幅提升，使数学建模在中學开展有了坚实的基础和广阔的空间。《普通高中数学课程标准（2017）》（以下简称“新课标”）将“数学建模”作为六大核心素养之一，是顺应时代发展潮流的必然，也是数学发展的必然。我们统计了2020.11-2021.4知网上共50篇高中教师的数学建模文章发现，只有4篇较完整地体现了数学建模过程[1-4]，其余文章讨论多集中在课本、高考应用题的考查理解层面上，应试痕迹明显，数学建模教学存在明显不足。
一、高中数学建模教学存在的不足
1.缺少数学建模的全过程教学
数学建模已经作为核心素养进入课标，但中学教师和学生还没有适应，数学建模教学还停留在数学应用题上，整体处于“已知模型和数学求解”的“掐头去尾烧中段”的状态，是一个封闭式的解题训练。没有实现数学建模的全过程教学，“建立模型”的缺失，使其本来思维开放、多学科融合的特征丧失，教育教学的价值大打折扣;“检验与改进”的缺失，打断了学生数学思维的发展，不利于培养学生的科学精神和严谨的学术习惯;对核心素养的综合培育功能淡化，教学容易陷进题海的泥沼。
2.缺乏智能计算思维的有机参与
我国许多大学相继设置了数学建模及智能计算课程，通过利用智能技术帮助解决数学建模问题，体现了智能技术与数学的融合，促进了数学建模问题的解决。中学数学建模教学刚刚起步，教师对智能计算思维知之甚少，建模教学中很少与信息技术融合，也很少渗透智能计算思维，还习惯纸笔运算或者加入计算器运算，对复杂的问题无法有效完成建模分析，使建模教学只能在比较简单的知识层面进行，影响数学建模在核心素养培育上的综合表现。
二、数学建模的教学认知
1.对高中数学建模教学理念的认知
（1）施行全过程式建模教学，实现核心素养的融合式培育
新课标对数学建模的具体描述为：数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养。数学建模过程主要包括在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题[5]。数学建模活动的基本过程如图1。
从新课标对数学建模的描述可以感受到，数学建模和其他五个核心素养直接关联。对现实问题进行数学表达并提出问题需要数学抽象和逻辑推理;建立数学模型的过程需要对图表、数据有直观的感悟和细致的分析、整理，需要敏锐的直观想象;确定参数、求解的过程中需要逻辑推理和数学运算;对模型结论的分析、修正、预测不仅涉及数学知识的应用，而且蕴藏着知识价值的判断与选择，以及数学方法、思想的领悟;整个数学建模的学习饱含数学文化和科学的学习态度。数学建模不只属于数学范畴，它包容社会各个学科的融合参与，往往是跨学科的学习，是最能突出整体学习、合作学习、探究学习的知识载体。建模活动的6个过程的整体统一，才能体现数学建模的综合教育价值。
（2）建立“三个世界”循环融合，推动数学建模教学深度发展
大多数教师认为数学建模过程是从现实世界到达数学世界，在数学世界中运用数学知识解决问题，再回归到现实世界中进行检验与反馈。但相当多的数学模型计算量非常大，甚至人工无法计算;有的数学模型有理论算法，却无法得到需要的数学解，期望借助计算机、网络、数学软件，把智能计算思维融入教学，将数学运算变成计算机的智能运算，使得数学建模更加高效、快捷，实现高中数学建模的转型升级。
借鉴Greefrath和Siller关注技术的建模循环（如图2），将高中数学建模理解为从现实世界出发，到达数学世界，用数学方法解决问题，或者到达计算机世界形成计算机模型，在智能技术世界中得出计算机结果，通过解释得到数学结果，再返回到现实世界进行检验的过程。加入智能计算技术，提高了解决模型的手段，促使高中数学建模教学向更加广阔的空间迈进。
2.对高中数学建模教学过程的认知
（1）现实情境与数学知识的有效沟通是实现数学建模教学的基础
数学建模的目的是解决现实生活中遇到的实践问题，它不同于解决有既定方向的纯数学问题，多是“临时起意”的“应景问题”。如商品打折，商家研究的是通过什么样的数学建模使打折后的收益高于打折前，达到最大化;消费者关心怎么样的组合能获得更便宜的价格，提高性价比;厂家则想通过促销的程度来感受市场供需关系的变化。所以一样的现实情境，数学建模的视角也可能是不一样的，数学建模的问题提出具有较大的开放性。只有对实际问题进行准确考察，才能建立合乎事实、满足需求的数学模型，才能精确反映事实并完成预测，提供相应的决策支持。
现实生活问题的丰富性推动了数学建模内容和方法的不断革新。随着信息科技的高度发展，人类对现实世界的观察越来越宽广、越来越深刻，了解的现象越来越多，收集到的数据越来越全面，原来比较粗糙的定性分析有了量化的可能，原来粗糙的模型有了进一步深化的必要。数学建模既是人类认识现实世界的必要工具，也被人类认识提高推动着不断发展。
（2）事实与数学、智能计算相互拟合、相互佐证是数学建模的研究范式
事实与数学理论、计算机模型的不断拟合、循环往复是数学建模的主要过程。通过对事实的初步感知和相关数据的原始采集，寻找参数及它们的相互关系，建立相应的数学模型，再通过新数据的收集，测试所建模型的可信度，不断修正使建立的模型与事实更加契合。对建模后难以手动求解的，需要求助智能计算思维，利用计算机编程和算法，求出数学问题的一般解或者符合实际需要的近似解。
如考虑空气阻力与速度成正比的斜抛运动，我们得到射程x与抛射角θ满足方程（1）：e■+■=1，这是个超越方程，不方便笔算求解，这时可以借助MATLAB软件求解。
中学生可以用ggb软件，画出方程（1）的隐函数图像（如图3），然后对图像的局部进行发大（如图4），或者使用函数检视功能求出合乎要求的最大值（73.84m）及相应的抛射角（26°）。
在数学建模问题解决的过程中，将事实情境与数学理论、智能计算三者之间多轮拟合、相互佐证，不断提升数学模型的精确度，使之能根据不同情形的现实条件，选择能较好反映事实情况的、精度合乎要求的数学模型，为事件的发展提供比较可靠的预测。
（3）跨学科融合成为数学建模教学的核心主题
从中学生数学建模比赛问题，我们看到有明显的多学科融合特点。因此，数学建模教学要具有前瞻性，关注不同领域的知识衔接与融合。当代科技成果的重大突破，都有学科跨界融合的研究取向。除了传统的物理、化学学科，现代经济、心理学、生物学、地理学等学科无不融入数学建模进行研究，研究跨界问题已经成为数学建模的一个主流方向，中学的学科学习中也有许多借助数学建模研究的跨学科问题，如生物学的遗传规律、DNA模型，化学的电子模型、晶体结构，物理的天体运动，地理的遥感定位等都是数学建模跨界研究的主题。数学建模教学不同于纯数学理论教学，需要虚心学习其他学科知识，要有宽广的胸怀与开放的合作思维。
（4）解释及预测是数学建模教学的价值旨向
数学建模主要是解决现实遇到的生活或者跨学科问题，对发生的事实进行数学化的描摹、解决，挖掘现象后面蕴藏的关系特征、变化规律，对事实进行理论化的探索。数学建模解决现实问题的特质，说明建模首先是为了解释为什么出现这种现象，参数的设计也是为了更好的衡量事实变化的影响要素，模型的质量则是以反映事实的准确程度为衡量标准，建模是为了对事情发展趋势做合理的预测，为人们的下一步行动提供更好的方向与方案，使事情发展的结果可测、可控，减少失误。建模教学中通常对一个事实背景会提供多种不同环境下的数学模型，就是为了增加模型的适用性，提高预测的可调整性和准确性。数学建模是通过解释现有现象的特征，把握同类现象的规律，提供尽可能适合的预案的问题解决活动。
三、数学建模教学认知的启示
基于对数学建模教学的教学认知，我们构建如图5的数学建模教学策略启示图。
1.以“真实—贴切—开放”作为建模素材引入的基本标准
中学数学建模教学问题最好来自学生身边的生活、学习中的现实问题，具有真实性，有解決的必要性和可行性。这些问题可以是学生本来就有研究欲望的跨学科学习问题，如高中生物《生物与环境》中的“种群数量变化研究”就涉及用什么函数反映不同环境下的酵母菌增长模型？也可以是学生见多不怪、熟视无睹，但仍有进一步“揭秘”需要的生活问题，如“雨中行”“商品打折”等问题[6]。选择的问题在真实的基础上，贴近学生的生活经验和认知能力，“熟悉（情境）”中透着“陌生（思想）”，能激起学生的好奇心，激发学生一探究竟的欲望。问题的情境是开放式的描述，可以不带问题，或者不带明确的问题，让学生去寻找感兴趣的问题和分析问题的影响要素，引领学生多视角提出问题。如“雨中行”问题中淋雨量怎么测量？风向、风速、人跑动的速度对淋雨量的影响如何？如果打伞怎样才能挡雨效果最佳？开放性提问能体现现实问题的复杂性，既能帮助学生提出更为全面、更有价值的问题，也能培养学生的发散式思维，提高学生的创新能力。
2.在“数据—理论—检验”的问题解决中实现“三界融合”
基于事实，运用数据，依据数学推理，借助智能计算思维进行论证与检验的“数据—理论—检验”流程是数学建模问题解决的核心。依据事实，确定问题研究的方向;提炼数据，挖掘数据所隐藏的数量关系;确定需要引入的参数，厘清变量间的依存关系，建立相应的数学模型;运用数学理论知识，完成数学推导与求解，对于难以数学求解的部分，根据数学思想提出问题解决的基本算法，借助智能计算方法寻找满足现实问题的近似解;对求得的一般解或近似解进行事实或计算机模拟验证，对出现的偏差进行合理性解读、修正，如果偏差较大就需要进一步分析影响要素，建立新的模型适应现实问题。比如上面提到的斜抛运动模型，如果速度较小、体积较小、密度较大就可以忽略空气阻力;如果速度较大，空气阻力与速度成正比，更大就和速度的平方成正比了，要根据不同背景要求进行修正。对于重复量大、难度大的复杂建模问题，利用智能计算思维则是解决问题的必要手段，如遗传算法、神经网络算法、蚁群算法等。在数学建模教学中实现“现实世界、数学世界、智能计算世界”相互融合、印证是提高建模效率，实现建模升级换代的关键，也是提高学生建模兴趣，提高跨学科学习能力的重要手段。
3.以“生活—学科—数学”为主题培育跨学科建模的创新意识
对中学生而言，解决社会生活中比较复杂的现实问题会有较大的难度，缺少生活积累找不准研究的方向，数学知识的储备不足无法求解问题。这些问题组织的数学建模教学师生会失去共鸣，学生没有探究的热情，无法达到数学建模培养各方面素养和能力的目标。因此，数学建模教学的问题尽量选择学生熟悉的、有探究欲望的问题来展开。学生生活、学科学习中遭遇的，带有跨学科意味的问题，有亲切感，更容易激起学生的参与热情、研究兴趣，既加强了数学应用又理解了相关学科知识，特别是用数学的眼光来研究其他学科问题，打破学科壁垒，有利于培养学生的创新意识。
4.在“结构—性质—扩展”的功能中体现数学模型的价值
数学建模教学中将现实问题“转译”为数学问题，是用数学来“解释”现实，以归纳猜想为主。数学求解则是追求结构上的严谨、理论上的完备，以演绎为主。通过归纳寻找初步结构，通过演绎成熟、严密的数学结构和性质，为深入解释现象，形成可广泛应用的模型做理论准备。发挥解释和预测功能是数学建模发展性、开放性的体现，也是数学建模持续发展的关键，教学中要充分发挥数学建模这一功能旨向。结构相同或相似的问题，往往具有相同的性质与研究方法，从而有相类似的数学模型。在现实问题建模之后，应当主动关注模型的结构特征，研究每个参数的作用，弄清各变量之间的牵制关系，把握研究模型的方法，有意识地扩展模型的应用价值。特别要注意研究各参数的敏感程度，在变化的情境中注意参数对模型的影响程度，甚至根据环境的复杂变化主动增设参数，调整模型的使用范围。通过“结构—性质—扩展”的“形成、研究、应用”实现模型的“解释和预测”功能，通过扩展模型对未来趋势的预测，增强学生对数学建模价值的情感体验，提高学生对数学建模学习的兴趣。
数学建模教学是一个综合性问题教学，它源于学生有一定认知基础的现实问题，需要以数学、智能计算技术、跨学科知识从微观性质上揭示客观现象的本质，并主动实现模型的解释与预测功能。只有实现数学建模各个环节的“全过程”教学，才能保证建模教学发展“四能”（发现、提出、分析、解决问题的能力）达到“三會”（会用数学的眼光观察世界、会用数学思维思考世界、会用数学语言表达世界）的育人价值，才能在各个阶段实现核心素养的整体培养，才能完成数学、智能技术、跨学科能力的综合提升，逐步达到现代社会发展所必需的能力要求。
参考文献
[1] 马芬.高中数学建模分层次教学案例探究[J].高考，2021，（04）：23-24.
[2] 马萍，王尧，顿继安.学科融合：数学建模活动资源开发的一个视角——以“种群数量变化研究”为例[J].数学通报，2021，60（03）：43-48.
[3] 王亚轩，杨亚强，李星蓉.基于建构主义理论的高中数学建模教学案例设计[J].数学教学通讯，2021，（12）：7-9，15.
[4] 高玉珊，凌中华.高中数学建模教学实践探究——以“线性回归”为例[J].中学教学参考，2020（35）：4-5.
[5] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018：5-6，34-36.
[6] 李大潜，王建磐.普通高中教科书必修第四册（2020年版）[M].上海：上海教育出版社，2020：9-12，20-25.【责任编辑? ?郭振玲】
