初中生“运算障碍”分析与提升策略探索
陈建国 陈小俊
[摘? 要] 初中生的运算能力对数学学习至关重要，但不少学生存在运算速率低、错误率高等现象. 笔者通过多年教学实践，认为该现象实质是“运算障碍”，提出“明晰算理，激发兴趣，深度反思，变式训练”教学措施，实现“深度理解运算本质、合理巧用运算技能、新旧知识融会贯通、巩固内化运算法则”四个方面的教学策略，提升学生的运算能力.
[关键词] 初中生;运算障碍;提升策略
在义务教育阶段，运算是数学学习中最常见、最重要的内容，运算能力也是学生的一项重要能力. 《义务教育数学课程标准（2011年版）》将“运算能力”作为十大核心概念之一，由此可以证明“运算能力”对学生数学学习的重要性.
但是，在实际的教学过程中，中学生却普遍存在着“怕运算”“ 运算错误率高”等情况. 笔者在教学过程中，通过对学生计算错误及计算心理的调查、整理、分析，对学生的运算主要存在的问题及其产生的原因进行了如下分析：
对运算问题信心不足. 看到计算题就害怕，觉得自己经常算错，面对计算题没有信心;大部分学生对计算题还是很认真对待的，但是题目好像总是和他们过不去，明明觉得自己做得对的问题，不是这边出错就是那边出错. 仔细分析就不难发现，其实学生仍然没有真正弄明白其中的运算规律，缺乏辨析能力.
对运算本质理解不透彻. 有些学生上课的时候还可以跟着老师进行计算，但是自己独立做题就变得很困难甚至做不出来了. 产生这些现象的原因是教师对于法则的讲解停留在让学生模仿的层次上，导致学生对运算的本质理解得不透彻，存在对运算法则“生搬硬套”的现象.
对计算问题兴趣不大. 学生认为计算太单调，好像上课就是不断地练习. 教师将运算课上成练习课，往往将法则得出以后就不断地进行练习，没有将课堂的趣味性进行设计. 对于追求新鲜感的中学生来说，这样的感觉自然是不能接受的.
要改变这些现象，就要从课堂上进行改变，将原有的知识传授转变为思维体操，学生的思维提升了，那么问题也就迎刃而解了. 笔者根据自己在教学中遇到的问题进行反复探究，认为可以从以下几个方面进行解决.
明晰算理，深度理解运算本质
数学来源于生活，应用于生活，教师要根据学生已有的生活经验和数学现实，创设合理的情境，引发学生探索、思考. 活动设计是深度学习的重要环节，也是发展学生思维、高阶思维的重要保证. 同样的知识对象、同样的情境，如何进行数学学习活动的设计，怎样提出问题，才能指向对学生高阶思维的培养？
【教学片段】
师：同学们，这是某日全国几个城市的天气预报. 北京的最高气温是4 ℃，最低气温是-3 ℃. 请问：这天北京的温差是多少？你是怎么算的？
生1：我认为这天北京的温差是7 ℃，我用的是加法：4+3=7（℃）.
生2：温差确实是7 ℃，但是我认为这个问题不应该用加法. 小学里学过，求相差数应该用减法，我列的算式是4-（-3）=7（℃）.
生3：那么正确的算法应该是4-（-3）=7吧. 是不是4-（-3）就是4+3呢？
生4：减法是加法的逆运算，根据“差+减数=被减数”，求4-（-3）的差就相当于问“什么数加上-3等于4”.由加法法则可知，7+（-3）=4.（学生纷纷对这个结论表示肯定）其实，4-（-3）就是4+3，这个结论只要从温度计上就可以轻松得出. 大家看，我们可以借助4与-3之间的数“0”的力量. 4与0相差4，0与-3相差3，这样4与（-3）就相差4+3了.
师：同学们，你们认为这位同学的分析正确吗？
生：完全正确.
师：老师也非常赞同他的观点. 小学的减法运算的局限性很大，仅局限于兩个正数的减法运算，而且被减数要大于减数. 学习了有理数后，负数参与了运算，同学们刚才巧妙地利用“加减法的互逆关系”并借助温度计（也就是数轴）将这个陌生的问题进行了突破，同学们好样的！
师：同学们，再计算下列各式：15-6=____;15+（-6）=_____;8-（-3）=_____;8+3=______.
师：根据天气预报，请同学们再思考以下问题：
问题1：求这天哈尔滨的温差.
问题2：哈尔滨的最低温度比北京的最低温度低多少？
设计意图? 本环节从学生根据生活经验得出温差是4+3=7（℃），但是求相差数以求4-（-3）而产生的矛盾开始，经过学生自主探究，逐渐体会到这两者是一致的，符合生活经验. 学生初步体验了当负数参与运算时有理数减法的处理方式：利用加减运算的互逆关系;借助数轴. 总体的思路是将减法转化为加法. 问题1和问题2的提出，引导学生对有理数减法的类型进行分类、整合，即当被减数和减数的符号发生变化时，运算方法与前面的方法是一致的.
学生的思维经历了“从实际问题出发—引发思考—减法的分类—方法的统一”的过程. 课堂以问题作为引领，以学生为学习之本，激发了学生的学习兴趣，引发深度思考，引领学生逐渐走向高阶思维.
激发兴趣，合理巧用运算技能
兴趣是最好的老师. 心理学家皮亚杰说过：“所谓智力方面的工作都依赖于兴趣.”运算教学也不例外. 有关运算的课堂，往往比较单调而且重复性强，加上有些学生本来就比较畏惧运算，这样的课堂对学生来说肯定是很煎熬的. 教学时有了兴趣，才能把心理活动集中在运算上，从而使感知活跃、注意力集中、记忆持久而准确、思维敏锐而丰富，并且提升和强化学习的内在动力，调动学习的积极性.
笔者在“有理数混合运算”这节课的课堂引入进行了如下设计.
【教学设计】
师：“24点”同学们都会算吧？
生：（兴奋地答）会！
师：今天我们来比比看，誰算得又快又多！
出示四张牌：2，5，10，11.
学生们积极思考，纷纷举手，给出了各种答案. 分别有：11×2+10÷5=24， 11+10+5-2=24，11×10÷5+2=24，11÷（5÷10）+2=24.
笔者利用这些运算方法，复习回顾小学里学过的加减乘除运算的运算法则. 这时，有一位学生站起来说他有不同的办法：42+5+3，52+4-5，52-（5-4）. 其他学生不由自主地对这位学生的解答鼓掌.
师：小学里的“24点”只有加减乘除运算，到中学以后当然可以将乘法利用起来了. 其实，不仅可以用乘法运算，我们还可以将负数拿来算“24点”呢.
学生表示非常惊讶.
师：比如2，3，1，-2，请同学们尝试一下.
学生经过思考，出现了23×[1-（-2）]=24;[3-（-2）]2-1=24.
设计意图? 借助算“24点”这个最熟悉的问题，将学生吸引到课堂中来. 同时，对“24点”的运算方法进行扩充，学生的思维也随之提升. 学生在新旧方法的碰撞中体会到新知识带来的新方法. 最后，教师引导学生将负数加入运算，不仅是对运算进行了巩固，同时也是对刚学习的方法进行了合理的应用. 学生主动地去尝试过程，不仅培养了学生的运算能力，还激发了学生的运算兴趣，以趣促学，让学生能够主动地去思考、愉快地去运算. 这样的效果比布置给学生100道计算题的效果好.
深度反思，新旧知识融会贯通
建构主义认为，知识的学习是在学生已有的经验上进行构建的结果，每个知识点对于一个独立的学生来说都是自己独创的. 学生在学习新知识的时候，根据自己已有的经验对新知识进行加工整合，并尽力构建自己的知识体系. 但是新知识与旧知识的融合过程不是简单地靠教师的单向传授就可以的，一定有一个试错、纠错、反思的过程. 教师如何能够进行有效引导但是又不剥夺学生的主体地位，让学生在错误中学会反思？？摇
【教学片段】
在学习有理数加法时，当学生了解了加法法则，并依据法则进行例题分析后，可以利用问题引领反思：（1） -11+（-9）;（2）（-3.5）+7;（3） +-? .
师：请比较加数与和的大小关系，同学们有什么发现？
生1：我发现两个加数的和可能是正数，也可能是负数，还有可能是零，也就是有可能是任何有理数.
生2：我发现两个有理数的和有时候比加数还要小.
师：真是一个很厉害的发现！小学里学过的加法运算是越加越大或者与加数相同，但是到中学里，加数的和就有可能比加数还要小，这是什么原因呢？
生3：因为小学里的数是正数或者零，而现在的加数中有负数！（学生激动地说）
师：那么是不是只要加数中有负数，和就会比加数要小呢？
生4：不是的. 如果两个加数都是负数，那么和就比两个加数都要小;如果加数中只有一个负数，那么和就比负数要大，比另一个加数要小.
师：这位同学还会对数进行分类，真不错！
生5：老师，我还有一个发现，小学里相加为零的数只有0+0=0，而到中学后变成了互为相反数.
师：同学们说得真好. 其实小学所学的加法是有理数加法中的一部分内容，现在数的范围变大了，小学里的一些结论可能就不再正确了，同学们要仔细斟酌才行！
设计意图? 从小学所学的非负有理数扩充到中学的有理数，增加了负数，学生的学习难度增大了，也是中学运算中的第一个难点. 当学生对有理数加法法则熟悉以后，根据学生的计算结果，只要进行问题引领，学生自然会进行深度反思. 加法运算是有理数运算的第一课，学生的脑海中还装着“和不小于任一加数”“差不大于被减数”“运算不需要考虑符号”等已有的经验，面对初中负数的知识，现有的知识与原有的知识发生了冲突，学生需要在新旧知识的矛盾中将新旧知识融会贯通.
变式训练，巩固内化运算法则
行为主义认为，学习就是刺激与反应之间的联结，认为学习的过程就是通过技能训练的过程. 虽然行为主义认为训练越多越不科学，但是他们强调学习中练习的作用是正确的. 数学运算能力的提升，离不开适度的练习.
但是，训练不能一味地追求量，还要根据学生的问题进行有针对性的变式训练. 变式训练可以加强知识间的对比，强化知识的本质特性，强化学生的思维训练，提高抽象概括、理解能力，调动学生的思维积极性，掌握解题技巧，提高课堂教学效果. “变”的目的主要是为了学生能够更好地掌握“不变”的知识的方法，以形成“以不变应万变”的能力，从而终生受用.
【教学片段】
计算：30× - - .
生：30× -30× -30× .
师：因为我们学过省略加号的和式，那么这个算式是否可以写成和的形式呢？
生：30× +（-30）× +（-30）× . （学生虽然已经将这个式子完成了，但是他们的内心其实是不认可的，因为这样算显得有点麻烦，与小学里所学的方法也产生了矛盾. 教师有意见，但还是请学生保留想法，接着往下再学习. ）
变一变1：-30× - - .
生1：（-30）× -（-30）× -（-30）× .
生2：（-30）× +（-30）×- + （-30）×- .
师：这两种解法都正确. 接下来，请同学们完成解题过程.
生：（-30）× -（-30）× -（-30）× =-15-（-20）-（-24）=-15+20+24=29.
（-30）× +（-30）×- +（-30）×- =-15+20+24=29.
生3：通过比较，我发现将括号里的式子看成加法的形式，对计算有简便作用，还可以避免符号上的错误.
教师进行总结：同学们反思一下分配律公式可以发现：a（b+c）=ab+ac，公式中也是将括号里的式子看成加法形式的.
变一变2：计算1-30× - - .
生1：1-30× - - =1-30× -30× -30× . （极个别学生错误的解法）
生2：1-30× - - =1+ （-30）× +- +- . （大部分學生的解法）
设计意图? 学生在学习有理数运算的时候，最容易出错的是符号问题. 学生在进行分配律运算的时候，当括号里是减法，分配进去的数是负数的时候，学生对符号的处理显得很不好. 因为小学只要分配正数就可以，而且小学分配的时候括号里是减法的时候结果仍然用减法. 但是在中学，学生对这里的符号很难处理得准确，导致每次的练习和作业的错误率很高. 如何能够有效地避免这样的错误，还是要引导学生学会对式子进行规范化处理. 尤其对于变式2的练习，学生如果不通过这样一步步的变式训练对乘法分配律进行法则固化，那么这样的练习学生肯定会算得糊里糊涂，最后是对这样的问题根本无法把握，导致在计算上没有信心.
另外，学生在有理数运算的时候对这类问题进行法则固化，对于实数的运算也很有帮助. 比如计算5-2×（ -2）这类问题，学生就可以有效地利用上述方法进行知识的迁移;还有就是在学习整式加减时，学生对于去括号法则“+（a+b-c）”“-（a+b-c）”的理解也是很有帮助的. ？摇
总之，如何能够有效地减少学生的运算障碍，需要教师充分地关注课堂中学生思维的参与、辨析、深化的过程. 学生只有能够对算理进行明晰，深度理解运算本质才能理解每个算式的本质含义，才不会将运算变成机械操作，而是有思维内涵的思维体操;在运算的过程中，只有始终保持浓厚的运算热情，才能让学生主动进行探究;学生不是被动地接受知识，而是在反思中不断地对新旧知识进行整合，从而将新知识进行内化;能够有效地将学生的方法进行辨析，让学生对新方法的接受呈现出自然状态，等等，这些都是教师在教学过程中需要不断尝试、探索的.
当然，每个学生的学习能力水平各有差异，每种运算的难度系数也不一样，学生在学习运算的障碍点也不太一样，提高学生的运算能力任重而道远. 在教学中，教师只有针对不同学生分析其具体存在的障碍点，灵活采用有效的教学策略，才能有效地提高学生的运算能力.
