基于非奇异终端滑模的船舶航迹跟踪自抗扰控制
秦朝宇 李伟 宁君 孙建
摘要：
针对欠驱动船舶受到外界因素和内部不确定状态变量的干扰不能沿着期望路径航行的问题，设计了基于非奇异终端滑模（Nonsingular Terminal Sliding Mode， NTSM）的自抗扰控制器（Active Disturbance Rejection Controller， ADRC）.引入自抗扰控制技术，通过扩张状态观测器实时估计船舶外界和内部总干扰；对船舶Nomoto模型进行变形简化，将NTSM和指数趋近律引入到非线性状态误差反馈环节，设计基于NTSM的ADRC控制律，在保证ADRC优点的前提下可减少可调参数，提高系统的收敛速度和稳态跟踪精度；构造降维方程，将复杂的航迹跟踪控制问题转化为易于实现的航向镇定问题.Simulink仿真结果表明，利用该控制器船舶能够快速、精确地跟踪期望直线和曲线航迹，控制器具有较强的鲁棒性.
关键词：
欠驱动船舶； 终端滑模； 自抗扰控制； 航迹跟踪
0引言
随着航海业的迅速发展，欠驱动船舶的控制一直是备受关注的问题.[1 ]船舶的欠驱动性是指由于缺少横向的推动装置，船舶的控制输入少于航行的自由度.同时，船舶表现出大惯性、大时滞、非线性等特点，且在航行时受到内部不确定扰动和外界风、浪、流的干扰，导致很难设计出完全基于船舶模型的控制航迹的方法.因此，有必要对欠驱动船舶航行时所受到的扰动进行更深层次的探索，找到简单、实用的船舶航迹控制方法.
目前，国内外研究人员进行了不同程度的研究工作.文献[2]采用模糊线性化和局部线性化方法近似线性化船舶模型，设计滑模控制器实现船舶航迹跟踪控制；文献[3]针对船舶直线运动模型和圆形运动数学模型，利用反步法和Lyapunov稳定原理，设计出具有指数稳定性的控制算法；文献[4]采用卡尔曼滤波器估计不确定参数，设计出相应的航迹跟踪控制器.上述文献中的控制器设计均需要精确的数学模型，受参数摄动影响较大，有很大的局限性.文献[5]和[6]设计出对模型参数不确定以及外界因素干扰均具有鲁棒性的非线性滑模和全局指数稳定的自适应控制律，实现了船舶航迹跟踪控制，但由于在线整定的参数较多，算法太过复杂，不利于工程实现；文献[7]结合线性滑模和反步法设计的控制器能实现考虑外界和内部不确定干扰的船舶航迹跟踪，但计算过程复杂，不利于工程实现；文献[8]提出非线性反馈控制律，将非线性迭代滑模技术与增量反馈相结合，实现了船舶直线和曲线航迹精确跟踪，但由于滑模迭代需要多次对函数求微分，很大程度上阻碍了工程应用的实现.
本文利用自抗扰控制器（Active Disturbance Rejection Controller， ADRC）中的扩张状态观测器（Extended State Observer， ESO）模块对船舶内部不确定扰动和外界干扰进行实时估计，使得系统不需要依赖于精确的船舶数学模型；将非奇异终端滑模（Nonsingular Terminal Sliding Mode， NTSM）切换面引入非线性状态误差反馈（NonLinear State Error Feedback， NLSEF）中，结合指数趋近律，设计出NTSM自抗扰控制律，在保证ADRC优点的前提下提高了系统状态的收敛速度，改善了系统抖振，减少了可调参数，易于工程实现.
1船舶运动数学模型
考虑舵机系统特性，欠驱动船舶受内部扰动和外界恒定风、流干扰的运动数学模型为
式中：u和v分别为船的前进速度和横向速度；x和y分别为船的纵向位移和横向位移；φ和r分别为艏向角和转艏角速度；b为控制增益；δ为控制器的输入信号，即舵角；-α1r-α2r3为由船舶转向产生的已知干扰项，其中α1=-1T，α2=aT（T为船的追随性指数，a是由螺旋试验得到的值）；ω（t）为外界干扰信号；δr为命令舵角；KE为舵机控制增益；TE为舵机时间常数.[910]
2基于NTSM的ADRC设计
2.1NTSM控制算法
滑模变结构是由苏联学者Emeleyanov和Utkin提出的一种新的控制方法，通过设计切换函数，使得系统状态按照“滑动模态”轨迹运动.由于切换函数设计比较灵活且与系统参数干扰无关，所以变结构控制具有对参数变化不灵敏和快速响应等优点.
传统的终端滑模（Terminal Sliding Mode， TSM）的切换函数为
由于外界干扰ω（t）未知，影响控制效果，因此可以通过控制律对该干扰进行限制，减小对系统的影响.同时，在式（5）中加入一个很小的避零常数α （α>0），防止控制量为0，从而得到新的控制律：
对系统（3），取终端滑模面（4），在新的控制律（6）的作用下，在有限时间内系统的状态变量会最终到达终端滑模面，并使得跟踪误差在有限时间内收敛到0.[11]
证明将s对时间进行求导，可得
综合式（8）和（9）可以看出：采用终端滑模面，φe在有限时间内趋近滑模面，并具有指数趋近律，提高了系统的收敛速度.考虑到控制律（6）含有ρ（φ·e）-1项，形式比较复杂，运算量大，在保证趋近律的基础上，简化控制律（6）得
式中：h为ESO对船舶内部和外界不确定干扰的实时估计；δESO为ESO对不确定量的观测误差上界，为较小的可调参数.式（11）是将ESO，NTSM和指数趋近律结合得到的新的控制律，提高了系统的收敛速度，改善了系统的控制效果.本文考虑了舵机特性 δ·
=KE（δr-δ）/TE.
2.2自抗扰控制算法
自抗扰控制技术是韩京清先生于20世纪80年代末开创的新型控制技术，主要包括3部分：（1）跟踪微分器（TrackingDifferentiator， TD），用于跟踪输入信号和其微分信号；（2）ESO，用于估计控制系统的内部和外界干扰；（3）NLSEF，为系统的控制律设计部分.它的核心思想是通过ESO实时估计船舶内部不确定动态和外界不确定干扰，从而可以不严格依赖对象及外部干扰模型进行补偿，以达到良好的控制效果.图1为考虑舵机特性的基于NTSM的ADRC，其中LESO为线性扩张状态观测器.
2.2.2TD
3在风、流影响下船舶航迹控制方法
欠驱动船舶在实际航行过程中，受风、流影响时，艏向会与计划航迹向形成一个风流压差角.为实现船舶航迹控制，可以构造降维方程，在确保船舶的航迹偏
差y收敛于0时，得到一个期望艏向φd，将φd作为控制器的参考输入信号，通过NTSMADRC使艏向角误差收敛于0的较小的邻域内，从而使船舶实际的艏向φ（t）跟踪期望艏向φd（t），达到船舶航迹跟踪控制的目的.
根据文献[15]构造期望艏向角方程：
式中：Δφ为艏向与航迹向的夹角；φd（t）为期望艏向；φp（t）为计划航迹向；参数k0主要用于压缩船舶航迹偏差的坐标（k0>0）；k1用于加快或减慢航迹收敛速度（k1>0）；k2用于调整积分速度（k2>0）.
证明：设σ=Δy
4仿真结果
以大连海事大学教学实习船“育龙”号为对象，通过Simulink进行仿真.实船数据参考文献[16].船舶模型初始状态和控制器参数如下：船舶模型参数K=0.478，T=216，a=30，ω（t）=0.001，v=0.5 m/s，b=K/T；TD模块中参数r=30，h=0.05；ESO模块中参数γ0=10；控制律中参数β=0.01，v=13/11， J=0.000 1，δESO=0.000 001；期望艏向角方程参数k0=0.003，k1=2.5，k2=0.001.
4.1航迹仿真
直线航迹仿真初始条件设置为：前进速度u=7 m/s，φp=0°，航迹偏差Δy=500 m，φ=0°.仿真图像见图2.
4.2系统状态变量对比
图5和6为船舶仿真中艏向角误差对比.实验证明，在定常干扰情况下，非奇异快速终端滑模控制器对船舶航向的跟踪效果比传统线性滑模效果好，误差收敛时间短，且误差能收敛到更小的邻域区间内.
5结论
由仿真结果可以看出：当船舶受到定常干扰时，引入非线性滑模切换函数，能提高系统的收敛速度和跟踪精度；结合自抗扰控制器（ADRC）中的扩张状态观测器（ESO）对船舶状态和内外总扰动进行实时估计补偿，能改善系统抖振；设计的非奇异终端滑模（NTSM）ADRC控制律可调参数较少；结合降维方程，通过进行船舶直线和曲线航迹仿真，在控制器参数完全不变的情况下船舶能沿着既定的航迹航行，达到船舶航迹跟踪控制的目的.Simulink验证了该控制方法具有较强的鲁棒性.
参考文献：
[1]
郭晨， 汪洋， 孙富春， 等. 欠驱动水面船舶运动控制研究综述[J]. 控制与决策， 2009， 24（3）： 321329. DOI：10.13195/j.cd.2009.03.3.guoch.012.
[2]周倩， 宋立忠， 姚琼荟. 基于线性化模型的船舶航迹滑模控制器的设计[J]. 海军工程大学学报， 2007， 19（1）： 99104.
[3]HUSA K E，FOSSEN T I. Backstepping designs for nonlinear waypoint tracking of ships[C]. Proceedings of the 4th IFAC Conference on Manoeuvring and Control of Marine Craft MCMC97， Brijuni， Croatia， 1997： 16.
[4]YAN P，JIANDA H，QI S. Tracking control of underactuated surface ships：using unscented Kalman filter to estimate the uncertain parameters[C]//Proceedings of the 2007 IEEE International Conference on Mechatronics and Automation. Harbin， China， 2007： 18841889.
[5]孟威， 郭晨， 孙富春， 等. 欠驱动水面船舶的非线性滑模轨迹跟踪控制[J]. 哈尔滨工程大学学报， 2012， 33（5）： 585589.
[6]朱齐丹， 于瑞亭， 刘志林. 欠驱动船舶全局K指数航迹跟踪的级联反步法[J]. 船舶工程， 2012， 34（1）： 4751. DOI：10.13788/j.cnki.cbgc.2012.01.017.
摘要：
针对欠驱动船舶受到外界因素和内部不确定状态变量的干扰不能沿着期望路径航行的问题，设计了基于非奇异终端滑模（Nonsingular Terminal Sliding Mode， NTSM）的自抗扰控制器（Active Disturbance Rejection Controller， ADRC）.引入自抗扰控制技术，通过扩张状态观测器实时估计船舶外界和内部总干扰；对船舶Nomoto模型进行变形简化，将NTSM和指数趋近律引入到非线性状态误差反馈环节，设计基于NTSM的ADRC控制律，在保证ADRC优点的前提下可减少可调参数，提高系统的收敛速度和稳态跟踪精度；构造降维方程，将复杂的航迹跟踪控制问题转化为易于实现的航向镇定问题.Simulink仿真结果表明，利用该控制器船舶能够快速、精确地跟踪期望直线和曲线航迹，控制器具有较强的鲁棒性.
关键词：
欠驱动船舶； 终端滑模； 自抗扰控制； 航迹跟踪
0引言
随着航海业的迅速发展，欠驱动船舶的控制一直是备受关注的问题.[1 ]船舶的欠驱动性是指由于缺少横向的推动装置，船舶的控制输入少于航行的自由度.同时，船舶表现出大惯性、大时滞、非线性等特点，且在航行时受到内部不确定扰动和外界风、浪、流的干扰，导致很难设计出完全基于船舶模型的控制航迹的方法.因此，有必要对欠驱动船舶航行时所受到的扰动进行更深层次的探索，找到简单、实用的船舶航迹控制方法.
目前，国内外研究人员进行了不同程度的研究工作.文献[2]采用模糊线性化和局部线性化方法近似线性化船舶模型，设计滑模控制器实现船舶航迹跟踪控制；文献[3]针对船舶直线运动模型和圆形运动数学模型，利用反步法和Lyapunov稳定原理，设计出具有指数稳定性的控制算法；文献[4]采用卡尔曼滤波器估计不确定参数，设计出相应的航迹跟踪控制器.上述文献中的控制器设计均需要精确的数学模型，受参数摄动影响较大，有很大的局限性.文献[5]和[6]设计出对模型参数不确定以及外界因素干扰均具有鲁棒性的非线性滑模和全局指数稳定的自适应控制律，实现了船舶航迹跟踪控制，但由于在线整定的参数较多，算法太过复杂，不利于工程实现；文献[7]结合线性滑模和反步法设计的控制器能实现考虑外界和内部不确定干扰的船舶航迹跟踪，但计算过程复杂，不利于工程实现；文献[8]提出非线性反馈控制律，将非线性迭代滑模技术与增量反馈相结合，实现了船舶直线和曲线航迹精确跟踪，但由于滑模迭代需要多次对函数求微分，很大程度上阻碍了工程应用的实现.
本文利用自抗扰控制器（Active Disturbance Rejection Controller， ADRC）中的扩张状态观测器（Extended State Observer， ESO）模块对船舶内部不确定扰动和外界干扰进行实时估计，使得系统不需要依赖于精确的船舶数学模型；将非奇异终端滑模（Nonsingular Terminal Sliding Mode， NTSM）切换面引入非线性状态误差反馈（NonLinear State Error Feedback， NLSEF）中，结合指数趋近律，设计出NTSM自抗扰控制律，在保证ADRC优点的前提下提高了系统状态的收敛速度，改善了系统抖振，减少了可调参数，易于工程实现.
1船舶运动数学模型
考虑舵机系统特性，欠驱动船舶受内部扰动和外界恒定风、流干扰的运动数学模型为
式中：u和v分别为船的前进速度和横向速度；x和y分别为船的纵向位移和横向位移；φ和r分别为艏向角和转艏角速度；b为控制增益；δ为控制器的输入信号，即舵角；-α1r-α2r3为由船舶转向产生的已知干扰项，其中α1=-1T，α2=aT（T为船的追随性指数，a是由螺旋试验得到的值）；ω（t）为外界干扰信号；δr为命令舵角；KE为舵机控制增益；TE为舵机时间常数.[910]
2基于NTSM的ADRC设计
2.1NTSM控制算法
滑模变结构是由苏联学者Emeleyanov和Utkin提出的一种新的控制方法，通过设计切换函数，使得系统状态按照“滑动模态”轨迹运动.由于切换函数设计比较灵活且与系统参数干扰无关，所以变结构控制具有对参数变化不灵敏和快速响应等优点.
传统的终端滑模（Terminal Sliding Mode， TSM）的切换函数为
由于外界干扰ω（t）未知，影响控制效果，因此可以通过控制律对该干扰进行限制，减小对系统的影响.同时，在式（5）中加入一个很小的避零常数α （α>0），防止控制量为0，从而得到新的控制律：
对系统（3），取终端滑模面（4），在新的控制律（6）的作用下，在有限时间内系统的状态变量会最终到达终端滑模面，并使得跟踪误差在有限时间内收敛到0.[11]
证明将s对时间进行求导，可得
综合式（8）和（9）可以看出：采用终端滑模面，φe在有限时间内趋近滑模面，并具有指数趋近律，提高了系统的收敛速度.考虑到控制律（6）含有ρ（φ·e）-1项，形式比较复杂，运算量大，在保证趋近律的基础上，简化控制律（6）得
式中：h为ESO对船舶内部和外界不确定干扰的实时估计；δESO为ESO对不确定量的观测误差上界，为较小的可调参数.式（11）是将ESO，NTSM和指数趋近律结合得到的新的控制律，提高了系统的收敛速度，改善了系统的控制效果.本文考虑了舵机特性 δ·
=KE（δr-δ）/TE.
2.2自抗扰控制算法
自抗扰控制技术是韩京清先生于20世纪80年代末开创的新型控制技术，主要包括3部分：（1）跟踪微分器（TrackingDifferentiator， TD），用于跟踪输入信号和其微分信号；（2）ESO，用于估计控制系统的内部和外界干扰；（3）NLSEF，为系统的控制律设计部分.它的核心思想是通过ESO实时估计船舶内部不确定动态和外界不确定干扰，从而可以不严格依赖对象及外部干扰模型进行补偿，以达到良好的控制效果.图1为考虑舵机特性的基于NTSM的ADRC，其中LESO为线性扩张状态观测器.
2.2.2TD
3在风、流影响下船舶航迹控制方法
欠驱动船舶在实际航行过程中，受风、流影响时，艏向会与计划航迹向形成一个风流压差角.为实现船舶航迹控制，可以构造降维方程，在确保船舶的航迹偏
差y收敛于0时，得到一个期望艏向φd，将φd作为控制器的参考输入信号，通过NTSMADRC使艏向角误差收敛于0的较小的邻域内，从而使船舶实际的艏向φ（t）跟踪期望艏向φd（t），达到船舶航迹跟踪控制的目的.
根据文献[15]构造期望艏向角方程：
式中：Δφ为艏向与航迹向的夹角；φd（t）为期望艏向；φp（t）为计划航迹向；参数k0主要用于压缩船舶航迹偏差的坐标（k0>0）；k1用于加快或减慢航迹收敛速度（k1>0）；k2用于调整积分速度（k2>0）.
证明：设σ=Δy
4仿真结果
以大连海事大学教学实习船“育龙”号为对象，通过Simulink进行仿真.实船数据参考文献[16].船舶模型初始状态和控制器参数如下：船舶模型参数K=0.478，T=216，a=30，ω（t）=0.001，v=0.5 m/s，b=K/T；TD模块中参数r=30，h=0.05；ESO模块中参数γ0=10；控制律中参数β=0.01，v=13/11， J=0.000 1，δESO=0.000 001；期望艏向角方程参数k0=0.003，k1=2.5，k2=0.001.
4.1航迹仿真
直线航迹仿真初始条件设置为：前进速度u=7 m/s，φp=0°，航迹偏差Δy=500 m，φ=0°.仿真图像见图2.
4.2系统状态变量对比
图5和6为船舶仿真中艏向角误差对比.实验证明，在定常干扰情况下，非奇异快速终端滑模控制器对船舶航向的跟踪效果比传统线性滑模效果好，误差收敛时间短，且误差能收敛到更小的邻域区间内.
5结论
由仿真结果可以看出：当船舶受到定常干扰时，引入非线性滑模切换函数，能提高系统的收敛速度和跟踪精度；结合自抗扰控制器（ADRC）中的扩张状态观测器（ESO）对船舶状态和内外总扰动进行实时估计补偿，能改善系统抖振；设计的非奇异终端滑模（NTSM）ADRC控制律可调参数较少；结合降维方程，通过进行船舶直线和曲线航迹仿真，在控制器参数完全不变的情况下船舶能沿着既定的航迹航行，达到船舶航迹跟踪控制的目的.Simulink验证了该控制方法具有较强的鲁棒性.
参考文献：
[1]
郭晨， 汪洋， 孙富春， 等. 欠驱动水面船舶运动控制研究综述[J]. 控制与决策， 2009， 24（3）： 321329. DOI：10.13195/j.cd.2009.03.3.guoch.012.
[2]周倩， 宋立忠， 姚琼荟. 基于线性化模型的船舶航迹滑模控制器的设计[J]. 海军工程大学学报， 2007， 19（1）： 99104.
[3]HUSA K E，FOSSEN T I. Backstepping designs for nonlinear waypoint tracking of ships[C]. Proceedings of the 4th IFAC Conference on Manoeuvring and Control of Marine Craft MCMC97， Brijuni， Croatia， 1997： 16.
[4]YAN P，JIANDA H，QI S. Tracking control of underactuated surface ships：using unscented Kalman filter to estimate the uncertain parameters[C]//Proceedings of the 2007 IEEE International Conference on Mechatronics and Automation. Harbin， China， 2007： 18841889.
[5]孟威， 郭晨， 孙富春， 等. 欠驱动水面船舶的非线性滑模轨迹跟踪控制[J]. 哈尔滨工程大学学报， 2012， 33（5）： 585589.
[6]朱齐丹， 于瑞亭， 刘志林. 欠驱动船舶全局K指数航迹跟踪的级联反步法[J]. 船舶工程， 2012， 34（1）： 4751. DOI：10.13788/j.cnki.cbgc.2012.01.017.
