数学课堂中学生错误的正确处理方式探析

    胥庆，首都师范大学附属中学教学主任、数学高级教师，北京市首届高中教师基本功大赛一等奖获得者，海淀区骨干教师，首都师范大学兼职研究生导师。在全国或北京市各类评比中获一、二等奖文章十余篇。目前主持北京市“十三五”规划一般课题1项，海淀区“十三五”规划重点课题1项。

    [摘 ? 要]学生所犯的数学错误通常包括马虎型错误、误解概念造成的错误、与表述相关的错误以及由于工具使用不正确而引起的错误。教师应对不同种类的错误进行识别，并根据教学内容和学情，选择采取纠正、探究或包容的方式处理这些错误。

    [关键词]数学;错误类型;探究;包容

    错误在数学课堂中起着核心作用，因为它们反映了学生推理的方式，并阐明了学生尝试构建自己知识的过程[1]。教师处理错误的方式是否得当，关系到学生的概念性理解，从而会增强或限制学生对数学的认知。在中学的教学实践中，处理错误的方法并不都是合适的，特别是存在厌恶错误、躲避错误和认为处理错误就是在补救的思想[2]。教师通过分析学生产生数学错误的原因，可以更好地通过错误促进学生数学思维的发展。

    一、对数学错误的分析

    1.不正确解答的原因

    学生无法获得数学问题的正确解答有很多原因，包括但不限于粗心、缺乏数学概念的知识或不理解数学任务的要求[3]。“失误”“错误”和“误解”常被用于描述偏离预期结果的情况，但它们的具体含义不同，代表了不同类型的“不正確”。通常“失误”是指由于粗心而犯的错，因为它不是对概念产生“误解”，所以比较容易纠正。但是“错误”通常是系统性的，它们定期发生，普遍并且持续存在。而所谓误解，是指导致错误的潜在概念框架。误解常常会导致一系列并非偶然的错误。

    那么，误解又是怎么产生的呢？建构主义理论认为，人们以先验知识为基础，积极构建认知升级以建立新知识，这是一个吸收和适应的过程。即将新知识“融合”到现有模式中，当新知识与现有架构发生冲突并且需要对架构进行重组、合并时，需要“适应”，而适应新知识的过程比吸收知识更具挑战性。学生常常在正确的先验知识基础上“过度概括”新知识，他们将在某个领域正确的知识不正确地应用于另一个领域。这就解释了错误不是随机产生的原因。但是，错误对学生的学习来讲是必需的、合理的，转变错误的过程将促进学生推理能力的发展。

    2.对学生错误的误解

    “错误”一词常有负面含义。在学校中广泛使用的总结性评估使学生认为犯错可通过扣减分数予以“惩罚”。而将误解视为问题可能会破坏学生对已经学到的正确知识的信心。此外，尽管教师可能没有明确地告诉学生“犯错误是有问题的”，但是如果避免学生在课堂上犯错误和讨论错误，就会暗示学生“错误是有问题的”。因此，教师应对错误保持敏感并进行有效处理，使错误可以激励学生，成为促进学生认知发展的工具。教师将学生的错误简单地归咎于学生学得不好或教师教得不好，都不是正确的教学理念。

    错误是学习过程中的正常部分，是学生参与课堂的重点部分。如果教师努力理解学生为何会犯错，就会更重视学生的思维，并找到使学生利用已有知识创造或接纳新知识的方法。如果教师对错误处理不当，则可能会加剧错误或导致新的错误。错误很少是教师教出来的，但所有学生，包括优秀的学生，都会在某个时候出现错误[4]。

    3.对错误的处理

    善于处理学生错误的数学教师通常具备以下四个特征：有充足的数学专业知识，有丰富的教育学知识，有了解学生思维的兴趣，以及愿意倾听学生对思维的解释。一般教师会注意到学生的错误，但缺乏对错误来源的分析，只是要求学生重新学习（其中很多是学生已知的知识），有的教师能够部分理解学生的思维方式，但不能激活学生需要的方法论，不能使他们完全理解进而解决错误。因此，只有同时具备以上四个特征的教师才能更适当地处理错误。此外，教师不能将错误视为学习工具的原因还包括：担心公开指明错误会使学生自尊心受挫，担心错误被强化、会“传染”等。

    处理错误的形式有四种：识别、纠正、探究和包容。如果教师纠正错误，则表明教师已经识别并评估了错误，但还未从学生的角度解释错误。探究错误是教师引导学生理解错误对学习的意义，帮助学生重构推理，解释自己的思维并证明自己观点的合理性，获得学习经验的思维过程。包容错误是教师建设性地使用错误为犯错误的学生和其他学生提供新知识的方法，将错误用作认知升级的工具，这也是包容策略与探究策略的不同之处。

    二、对数学错误的识别

    在数学课堂上一般会发生四类错误：马虎型错误，由于误解概念而产生的错误，与表达相关的错误，以及因工具使用不正确而引起的错误。

    1.马虎型错误

    如教师请学生说出36÷2的结果，学生回答“13”。显然学生是将36看成了26。这种因为粗心大意而导致的错误为马虎型错误，通过检查计算可以轻松纠正。

    2.由于误解概念而产生的错误

    学生解释其计算过程为：将分子和分母分别相加。这表明学生将整数的加法过分概括成了分数加法，也可能是把基于分数的乘法迁移到了加法，即这种误解是受到某些已有的正确知识干扰产生的。当然，诸如分数的乘法和除法之类新知识的学习也可能会干扰先前已学会的加法[5]。这名学生的解答还有第二个错误，即学生在将分数简化为小数时，用分母18除以分子12，可能是对相加、相乘的交换性质存在过度迁移。再如，学生推理“由“ab，bc，得到ac”，就是将“a//b，b//c能得到a//c”这一正确知识的过度迁移。这类错误中存在对概念的误解，需要深入分析，挖掘学生的思维。

    3.与表述相关的错误

    如当教师要求学生对“直线和平面”进行直观解释时，可能会发生与表述有关的错误。如学生无法说清楚“无限延伸”和“无限延展”的区别，这些涉及不同的数学对象或过程。

    如在立体几何中，借用集合符号表示的“点A∈平面？琢”读作“点A属于平面？琢”。当学生用符号表示“直线l属于平面？琢”时，会写成“直线l∈平面？琢”，实际上正确的写法应该是“直线l？奂平面？琢”，表述为“直线l包含于平面？琢”，因为在高中立体几何中，点A是元素，直线l、平面？琢是集合，元素与集合之间的关系用是否“属于”表示，集合与集合之间的关系用是否“包含于”表示。又如写出方程组y=3xx2+y2=10的解集，正确表述应该是两组解x=1y=3或x=-1y=-3，如果学生写成x=±1y=±3，代表的则是四组解，这是错误的。

    以上可归类为与表述相关的错误，不是由于马虎和误解，而是由于学生未完全理解有关概念导致的。

    4.因工具使用不正确而引起的错误

    如学生在使用计算器计算“ln52”时，常常计算为“（ln5）2”，这是没有考虑到计算器的计算顺序。又如在计算“5+3×2”时，如果直接在计算器中按顺序输入算式，很容易被计算为“（5+3）×2”，违反了“先乘除，后加减”的运算法则。这些错误的产生都是因为学生在计算器中键入表达式时没有考虑计算器的工作原理。这些错误是概念性的，并可能会被重复。

    有四位教师在一个学期内有意识地对学生所犯的错误进行了观察，在所记录的共69个错误中，有马虎型错误7个、误解型错误55个、表述错误5个、工具使用不当错误2个。可见，学生的大多数错误是由误解造成的，这表明大多数错误答案可能源自对正确先验知识的过度迁移。误解引起一系列错误，从一个概念错误会引发许多类似性质的错误，这也是因误解导致的错误发生频率明显高于其他错误的原因。

    三、处理数学错误的方式

    在识别错误的基础上，教师对学生错误的处理方式包括纠正、探究和包容。例如，教师让学生按照1∶2∶3的比例分享12种糖果，请学生分别回答该比例中的1、2、3代表多少种糖果。教师问：比例3代表几种糖果？有的学生回答“3个”。教师于是让其他学生帮助这名学生，有学生说出了正确答案“6个”。在这个例子中，教师“纠正”了学生的错误，肯定了正确答案。但教师并没有帮助学生弄清楚为什么會犯这样的错误，所以这种纠正错误的方法是无效的[6]。不涉及造成错误的概念基础，只纠正答案并不能促进学生数学认知的升级。

    又如，教师提出问题：如果n+m=11，请学生写出n+m+p的结果。以下是教师与学生的对话，其中涉及对错误探究与包容的处理方式。

    教师：如果n+m=11，n+m+p的结果是什么？

    生A：可能是15.5。

    教师：15.5，为什么？

    生A：因为n等于5.5，而m等于5.5，所以p又是5.5。

    教师：对。你如何得到15.5？

    学生：16.5（发现自己算错了）。

    教师：为什么它们都是5.5？

    生A：因为5.5加5.5等于11。

    教师：对。但为什么只能是5.5，有什么依据吗？（学生A不能回答，于是教师转问学生B）

    生B：教师，我认为它是18，因为m加n等于11。所以m可以是5，n可以是6，p 可以是7，加起来是18。

    教师：你为什么说m可以是5，n可以是6？

    生B：因为m+n=11。

    教师：m和n是什么？我们如何称式子中的m和n？

    生B：变量。

    教师：它们是？

    生B：变量，未知数字。

    教师：对。那什么是变量？（学生B答不出，教师又问学生C）

    生C：代表数字的字母。

    教师：那是字母表中代表数字的字母。不错，所以有同学说m用5表示时，n就可以用6表示。两者相加时，可能是m为2，n 为9;如果m为7，n 会是什么？

    生D：4。

    教师：好。m和n是变量，它们代表数字。因此，它们可以是任何数字。现在为什么有人说p为7？这是从哪里得到的？我们刚刚说过m和n是变量，p也是。当变量值不确定的时候，我们可以怎么做？

    生E：答案是11+p。

    教师：对，答案是11+p。

    在与学生A的对话中，教师用问题使学生思考其如何得到15.5的答案，为什么每个字母都是5.5，题目中是否有条件信息支持这种解决问题的方式。教师通过错误答案与学生互动，以探究学生的推理并支持其反思自己的推理过程，从而对学生的错误作出回应。在与学生B的对话中，教师使用了相同的方法。在这两种情况下，学生的推理显然都是有意义的，但他们为变量进行了不必要的分配值，于是教师使用提问策略与学生共同探究了错误。到了与学生C和D的对话部分，学生答出了变量的定义，教师开始对问题进行整理，使用“变量代表数字”的定义，在保证和为11的条件下，用不同数值替代m和n，以表明变量不代表唯一的数字。最后，学生E在之前引导的基础上，给出了正确答案。在整个过程中，教师都没有对学生说他们错了，而是用问题来支持和引导学生理解变量和可以代表总数为11的任意两个数字，进而发现可以用11代表m+n，由此m+n+p可以写成11+p。

    以上，教师不仅包容错误，而且将其用于促进学生认知升级，使学生了解到代数式中的变量可以有一组有限的值，也可以代表无穷多数字，进一步支持学生发展对方程式和表达式中变量的概念性理解。教师处理错误的方式使学生意识到他们所犯的错误是“合理”的，是学习数学不可或缺的一部分。这一过程指出了如何将错误“作为与学生的思想接触和对话的点，引发关于数学思想的讨论”[7]，从而促进数学知识的丰富和数学思维的发展。

    以探究错误并包容错误的方式转变错误很耗时，但却可以真正促进学生思维的发展。从教师处理错误的记录中发现，与探究错误和包容错误的数量相比，教师更多地采取了纠正错误的方式，反映出大多数教师处理错误的常态。

    总之，教师需要基于专业知识和学情建设性地处理学生的错误，要在课堂上识别不同的错误类型，从而恰当地采取纠正、探究或包容错误的方法，促进学生对数学产生更丰富的理解，不断发展数学思维。

    参考文献

    [1]周怀友.错题集的价值探讨[J].基础教育参考，2011（20）：58-59.

    [2]王彦力.中小学教育中批评教育的艺术[J].基础教育参考，2007（9）：59-61.

    [3]付海伦.数学语言学习中的心理性错误分析[J].数学通报，1996（12）： 1-2，51.

    [4]刘发昌.捕捉介入时机 提升课堂效益——浅谈“先学后教”模式下的概念教学[J].基础教育参考，2017（23）：50-52.

    [5]曾春燕，姚静.反例作用的实验研究——以高一数学教学为例[J].数学教育学报，2015，24（1）：77-81.

    [6]华应龙.融错课堂 求真育人——我的数学教学思想与实践探索[J].基础教育参考，2013（1）：71-75.

    [7]李娜，莫雅慈，吴立宝.初中数学课堂中教师对学生错误反馈的类型研究——基于24节录像课的分析[J].数学教育学报，2016，25（5）：55-60.

    （责任编辑 ? 郭向和）