从考题探究走向课堂教学

    施俊

    [摘? 要] 从考题探究走向课堂教学可以帮助学生强化基础知识，促进知识融合，提升学生的解题能力，而在考题教学中应重视解法点拨、思路构建，帮助学生形成相应的解题策略，同时注意渗透解题的思想方法. 文章以一道函数与几何综合题为例，开展解题探究，并进行教学微设计.

    [关键词] 函数;几何;教学;分类讨论;数形结合

    背景介绍

    在中考的备考阶段需要开展考题教学，利用具体的考题引导学生学习综合题的分析方法，体验思路的构建过程，提升学生的综合能力. 而考题教学的难点有两个：一是细节教学，不同于常规知识点教学，需要结合题干信息来指导学生处理问题细节，故应关注其中的关键点;二是思路构建教学，需要合理开展教学微设计，进行逐层剖析，循序引导学生构建解题思路. 基于上述难点，教学中建议教师立足学情，指導方法，教学微设，考题拆解.

    问题呈现

    问题：如图1所示，在平面直角坐标系中已知点A（6，0），B（0，8），C（-4，0），点M为线段AC上的动点，点N为射线AB上的动点. 现点M以2个单位长度/s的速度由点C向点A方向做匀速运动，同时点N以5个单位长度/s的速度由点A向着点B方向做匀速运动，设MN与OB的交点为点P，试回答下列问题.

    （1）证明 为定值;

    （2）如果△BNP与△MNA相似，试求线段CM的长;

    （3）如果△BNP为等腰三角形，试求CM的长.

    解法点拨

    上述是涉及动点的一次函数与三角形的综合题，题设三问涉及线段比值、三角形相似、特殊图形等问题，教学中建议采用如下方法引导学生分析问题、构建思路.

    第一步：探寻问题中的已知量及特殊条件.

    ①已知点坐标：A（6，0），B（0，8），C（-4，0）;

    ②特殊条件：存在两动点，其中点M速度v为2个单位长度/s，方向——点C→A;点N速度v为5个单位长度/s，方向——点A→B.

    第二步：研究 为定值.

    关注其中的特殊条件：过点N作x轴的垂线，设垂足为点H，则运动过程始终有PO∥NM，可结合该条件进行比值转化. 根据图形形状，可将问题分为点M位于CO上和点M位于OA上两种情形.

    ①当点M位于CO上时，点N位于线段AB上，此时恒有PO∥NM，则 = ;

    ②当点M位于OA上时，点N位于线段AB的延长线上，此时恒有PO∥NM，则 = .

    对于上述线段比例关系，可以结合“L=vt”转化动点条件为线段长，进而结合上述讨论情形建立方程，完成求解.

    第三步：研究△BNP与△MNA相似.

    第（2）问分析两个三角形相似情形下CM的长，有两种思路：一是从顶点对应情形入手进行分类讨论，二是考虑动点情形进行分类讨论. 考虑到点M的位置对三角形的形状有着较大影响，建议采用思路一，则需要讨论以下两种情形.

    ①当点M位于CO上时，显然只可能是∠MNB=∠MNA=90°，则相似情形为△ BNP∽△ MNA;

    ②当点M位于OA上时，显然只可能是∠NBP=∠NMA，推理可知∠PBA=∠PMO，需要分析该条件下两个三角形能否相似.

    第四步：研究△BNP为等腰三角形.

    第（3）问分析计算△BNP为等腰三角形时CM的长，参考第（2）问的分类标准，讨论点M的位置对三角形的影响，同时结合等腰三角形的特性进行分类，思路如下.

    ①当点M位于CO上时，可分BP=BN，PB=PN，NB=NP三种情形;

    ②当点M位于OA上时，此时∠PBN>90°，同样需要对三种情形进行讨论分析.

    过程详解

    基于上述解法点拨，教学中可以引导学生按照如下过程作答，同时注意采用数形结合的策略，通过数形对照降低思维难度.

    （1）如图2，过点N作x轴的垂线，垂足为点H，根据动点条件设AN=5k，则AH=3k，CM=2k.

    ①当点M位于CO上时，点N位于线段AB上（见图2），分析可知OH=6-3k，OM=4-2k，所以MH=10-5k，由图可知PO∥NH，则 = ，代入线段长，可得 = = ;

    ②当点M位于OA上时，点N位于线段AB的延长线上（见图3），此时OH=3k-6，OM=2k-4，所以MH=5k-10，由图可知PO∥NH，则 = ，代入线段长，可得 = = .

    综上可知， 恒为定值 .

    （2）讨论△BNP与△MNA相似时线段CM的长，结合图像分类求解.

    ①当点M位于CO上时，如图2，此时只可能是∠MNB=∠MNA=90°，则有△ BNP∽△ MNA，同时△ MNA∽△ BOA，由相似性质可得 = ，代入线段长可得 = ，解得k= ，所以CM= ;

    ②当点M位于OA上时，如图3，只可能∠NBP=∠NMA，所以∠PBA=∠PMO. 因为∠PBA=∠BNP+∠BPN，∠PMO=∠BNP+∠BAO，∠BAO>∠PBA>∠BPN，所以∠PBA≠∠PMO，与原条件存在矛盾，故该情形不成立.

    综上可知，△BNP与△MNA相似时CM的长为 .

    （3）当△BNP为等腰三角形，试求CM的长，需要综合动点及等腰三角形性质进行分析.

    因为 = ，PO= NH= ·4k，所以PO=? k，BP=8- k.

    ①当点M位于CO上时（参考图2），BN=10-5k，有如下三种等腰情形：

    （i）若BP=BN，则有8- k=10-5k，解得k= ，所以CM= ;

    （ii）若PB=PN，则有∠PNB=∠PBN，由题干条件可知∠PNB>∠BAC>∠PBN，推理与条件相矛盾，不成立;

    （iii）若NB=NP，则有∠NBP=∠NPB，进一步可证△MNA为等腰三角形，则MH=AN，所以10-5k=3k，解得k= ，所以CM= .

    ②当点M位于OA上时（参考图3），BN=5k-10，对如下情形进行分析：

    （i）若BP=BN，则有8- k=5k-10，解得k= ，所以CM= ;

    （ii）若PB=PN或NB=NP，由于∠PBN>90°，所以该种情形不成立.

    综上可知，如果△BNP为等腰三角形，则CM的长可为 、 或 .

    教学微设

    基于考题进行微设计是考题探究的重要环节，可以引导学生逐步剖析考题，理解问题结构，促进知识应用，下面结合上述考题的第（1）问进行微设计.

    环节1：读题识图，基础应用.

    问题：如图4，已知点A（6，0），B（0，8），C（-4，0），点M和N分别为线段AC和射线AB上的动点. 现点M为2个单位长度/s的速度由点C向点A方向做匀速运动，同时点N以5个单位长度/s的速度由点A向着点B方向做匀速运动，设MN與OB的交点为点P.

    设问1：结合图像理解题干信息，描述动点运动过程;

    设问2：分析点M在AC上的位置是否对形成的图形有影响？

    设计解读：该问主要是引导学生理解题干的动点条件，整体把握图形变化，教学中可以联系物理中的运动公式，使学生明白设定时间可将其中的速度条件转化为线段长.

    环节2：分类讨论，条件处理.

    问题：过点N作x轴的垂线，垂足为点H，设AN=5k.

    设问1：点M运动到CO上时，分析PO与NM的位置关系，计算OH，OM和MH的长;

    设问2：点M运动到OA上时，分析其中是否存在平行关系，并计算OH，OM和MH的长.

    设计解读：该环节是基于上述分类讨论的问题拆分，其目的有两个：一是引导学生根据动点M的位置来分析图形，结合所设动点条件进行线段长计算，二是引导学生掌握分类讨论的思想方法，提升学生的数学思维.

    环节3：综合应用，能力提升.

    设问：试分析点M的位置是否影响 的值，并说明理由.

    设计解读：该环节主要是引导学生分类讨论点M的位置，结合上述所推导的线段长条件进行比值计算，从而确定 始终为定值，掌握转化的解法思路.

    上述三个教学环节紧密相扣，同时又独立设问，通过层层递进的方式引导学生理解问题、提取条件、构建思路，逐步形成求解综合问题的解题策略. 教学中教师需注意渗透数学的思想方法，提升学生的数学素养.

    总结反思

    上述对一道函数与几何综合题开展解法思路教学探究以及微设计，其目的在于引导学生掌握类型问题的解法以及解题思路的构建过程，提升学生的解题能力，培养学生的数学思想. 另外在教学中提出以下两点建议.

    建议一：以问题为驱动，由“变”到“不变”.

    上述问题属于典型的函数动点问题，设问层次性强，强调动点与图形的变化，该类问题的解题方法虽有不同，但总体思想是一致的，即由“变”的条件提取“不变”的性质. 解析时需要合理对动态情形进行分类，充分挖掘其中的恒定关系，如上述问题中的几何平行、相似、线段动态参量. 实际教学中建议以问题为驱动，引导学生剖析隐含在动态变化中的图形特性，认识动态问题的本质，提升学生思维水平.

    建议二：以方法为引领，由“结论”到“过程”.

    考题教学的最终目的是引导学生思考，提升解题能力，因此在教学中不应过多地专注考题的结果，而应注重考题教学的过程，包括审题过程、方法确定过程、思路构建过程、考题反思过程等. 建议以考题为媒介，以教材知识为基础，利用知识结构和发展规律，由浅入深地进行深化分析，形成相应的解题策略. 教学中建议采用问题探究的方式，引导学生经历问题的探究过程，深入认识数学思想与解题方法融合的过程.