浅议除法教学中“倍数”关系建模
余志丽 蒋铭国
摘要：新世纪小学数学第十五届基地教学设计与课堂展示大赛即将拉开网络答辩的序幕。为了更好地完成答辩，预设追问问题，我方队友多次观看对方辩友的课堂实录，一致认为《快乐的动物》一课重点是借助除法中“包含除”的意义，认识与理解倍的概念与意义。通过操作、度量、表达，深刻理解“几个几”，是理解倍的概念与意义的基础，更是倍数关系抽象算术模型建立的根本。训练数学思维，建构数学模型，是数学教育的使命，更是数学核心素养培养与提升的基本途径与根本手段。
关键词：包含除 倍数关系 建模
中图分类号：G4 文献标识码：A 文章编号：（2021）-19-
准备了几个月的新世纪小学数学第十五届基地教学设计与课堂展示大赛即将拉开网络答辩的序幕。为了更好地完成答辩，我方隊友多次观看对方辩友的课堂实录，现就依据教研室主任的指导以及我们的观课，作如下思考。
一、精准表达，指代明确，严谨教数学
对方辩友团队是西安一所小学，执教教师是杨老师，课题是北师大版数学教材小学二年级上册第七单元《分一分与除法》中的《快乐的动物》（倍的认识）。《快乐的动物》一课重点是借助除法的意义，尤其是包含除的“几个几”的理解，认识与理解倍的概念与意义。要实现这个重点，关键就是要把除法的意义理解到位，理解通透。除法的意义包含两大类，一类是等分除，另一类是包含除。包含除的关键是理解“有几个这样的一份”。
本课“画一画、圈一圈、认一认”例中，鸭子有6只，猴子有3只，探求鸭子的只数是猴子的几倍？在课堂中老师用方块的个数来代替猴子和鸭子的只数，引导孩子理解如果把3只猴子看作一份，那6只鸭子可看作几份？怎么分？进而理解猴子3个为一份，鸭子也3个为一份。6里面有2个3，也就是6是3的2倍。
课堂中同学与老师的表述都是“6里面有这样的两份”。我方认为这种表述没有突出“一份”的标准性与明确性。倍数关系是一种数量关系，对于低年级孩子可以突出可数性。把3只猴子看成一份，其实也就是把3只猴子看成一个整体，也就是一个单位，或者说是单位一。因此表述为“6里面有2个这样的一份”更加精准。“这样的一份”，指代明确，思维严谨，也适合操作。
二、紧抓核心，重点强调，有素训思维
这节课核心是借助除法的意义来理解倍的概念。那这节课的关键是理解“较大的数是较小数的几倍”，也就是除法里面的包含除，即“有几个几”的理解。但老师在课堂中始终在这一方面没有强调“有几个这样的一份”。只是说了，6里面有2个3，6是3的2倍。这里面老师关键抓什么？我方认为老师关键要抓的就是鸭子的只数里面有“2个这样的一份”。“2个这样的一份”这句话是关键，是老师重点要强调的。但上课老师始终没有强调这一点，只是说：“鸭子的只数有这样的2份”，显然是不够到位的。6只鸭子，3只一份，是2份，假设是2个一份的话，它就是3份。有几个几？几个几里面关键强调什么？显然在这里应该强调6里面有“几个这样的一份”。6里面有2个这样的一份，这是核心部分。就这一点来说，对方辩友这节课是没有讲到位的。
我方认为本节课始终没有抓住“2个这样的一份”是一个不足。为什么这样圈呢？因为猴子3只为一份，鸭子也3只为一份。老师在操作教学过程中没有重点突出把握“有几个这样的一份”。孩子没有意识到鸭子的只数“有2个这样的一份”，就没有抓住本质。6÷3=2，是理解除法的意义的抽象模型。我们认为课堂上除法的意义模型来得有些快。为什么是6÷3=2，而不是6÷2=3呢？为什么用6÷3=2这个抽象模型来表达是很难理解的。事实上，当我们把“3只”看作一份，一个整体的话，是可以利用度量的观念来理解的。在这里就是将“3只”作为度量的标准去度量“6只”，孩子不难发现度量两次即可。这样一来“包含”除是可以数出来的。
三、突出一份，强化度量，扎实练建模
基于以上思考，追问对方以下两个问题：本课本质核心是什么？在课堂中是如何突破重点与难点的？
本课本质核心是什么？对方辩友在课堂设计上是有所突破的。但教学中还没有完全做到重点突出，精准把握。模型建构是我们数学教育的重点。在这节课中是没得到充分体现的。那么在课堂上如何构建鸭子的只数是猴子只数的几倍的“倍数关系”模型呢？显然6÷3=2是倍数关系的模型的一种抽象与表达。当我们老师重点抓住“有2个这样的一份”这一句话的时候，就可以重点突出“这样的一份”的理解，“这样的一份”是作为“计份”单位存在的，也就是度量过程中的用来度量的单位与标准，这也就是除法算式中的除数。
课堂中同学与老师的表述“有这样的2份”，其中“这样的”“这样的2份”是有歧义的。从语义以及语境上来理解，“这样的”其实是一个省略句，但是一旦省略之后，它就只具有指代的含义，描述性含义被大大削弱。而当我们描述为“有2个这样的一份”时，“这样的一份”无论是指代还是描述，都是具体而准确的，更不存在歧义。
在课堂中是如何突破重点与难点的？在这节课的前面有两节关于除法算式认识的课，这是第三次出现除法算式的课，而倍的概念是建立在除法的意义基础上的。在这节课上是如何借助除法的意义来构建倍数关系的模型的？在教学中如何理解模型是6÷3=2，而不是6÷2=3。这是有一定难度的。
由物象图到符号表示是一种抽象，由符号表示到算式是进一步抽象。画一画，圈一圈，体现的是解决问题的过程，除法算式体现的是解决问题的结果。如果只是这样摆、画、圈，解决问题的方法就显得麻烦，如果数字大，根本无法操作。所以我们就要用符号来解决，就要利用算式来表达，于是算式模型的建构就显得非常有必要。
这个算式模型我们如何去建构，怎样才能让学生很好地去理解？本节课才是除法算式的第三节课，所以6÷3=2的模型的意义，是本节课的难点。我们学习最终的目的就是建立除法模型。分一分、摆一摆是方法，但这些方法都只是直观的。而这个模型抽象的最后结果就是我们要学习的抽象模型。因此突出作为标准的“一份”，强化“度量”的意识、思维与过程，建构“倍数”关系模型才能得以实现。
