高中物理“单摆”教学中的三个问题

    桑健

    

    

    

    摘? ?要：文章通过单摆在无阻力作用下的运动满足机械能守恒以及圆周运动的知识，推导得出在摆角不超过5°的情况下，单摆在水平方向上的运动近似是简谐运动;通过证明一个做匀速圆周运动的物体在直径上的投影运动是一个简谐运动，該简谐运动的周期等于匀速圆周运动的周期，得到计算简谐运动周期的通式和可操作的方法;最后将这一方法用于圆锥摆周期公式的推导，并且讨论了圆锥摆与单摆等效的条件。

    关键词：单摆的运动;单摆的周期;简谐运动;圆锥摆

    中图分类号：G633.7 文献标识码：A ? ? 文章编号：1003-6148（2021）2-0061-4

    在执教高中物理“单摆”与“用单摆测定重力加速度”相关内容的过程中，学生陆续提出三个问题，经过查阅资料、个人研究与备课组研讨，针对这三个问题进行了系统分析，现整理成本文，与大家交流。

    问题一：单摆的运动本质是什么？

    现行上海市高级中学课本《物理·拓展型课程（试用本）》[1]第51至53页有如下表述：“把质量为m的摆球从平衡位置O拉开一小段距离到B点，这时悬线和竖直方向的夹角为α。放开后，摆球始终受到重力mg和细线拉力T的作用。重力的一个分力F=mgsinα沿圆弧切线方向，指向平衡位置O，而拉力T在圆弧切线方向没有分力。正是重力的分力F使摆球回到平衡位置，这个力就是使单摆振动的回复力。”……“在图1中，当单摆的摆角很小（不超过5°）时，摆球的位移x和圆弧长OB很接近，设摆长为l，则sinα≈α≈■。于是，回复力F=mgsinα≈mgα≈mg■=■x。因为式中m、g、l均为常数，可令k=■。又因为回复力F的方向指向平衡位置，始终与位移x的方向相反，于是有F=-kx。因此，在单摆摆角α小于5°，摆球所受回复力的大小与位移成正比，方向与位移相反，可知单摆的振动是简谐运动。”

    在此，学生提出第一个问题：单摆的平衡位置在O点，如图1所示摆球在B点，摆球的位移是O指向B的一个矢量，当摆角不超过5°的情况下，sinα≈α，弧长OB约等于弦长OB，α=■≈■=■，F=■x，但是回复力的方向是过B点的切线方向，它和位移OB矢量是严格方向相反的吗？摆角不超过5°下的数学运算近似能适用于方向吗？

    笔者利用单摆在无阻力作用下的运动满足机械能守恒以及圆周运动的知识做了如下推导：

    如图2所示，设单摆在B与C之间运动，摆长为l，在B点时摆线与竖直方向夹角为α1，在P点时摆线与竖直方向夹角为α2、摆球的速度为v。

    从B到P的运动过程中，拉力T与摆球运动速度方向始终垂直，拉力对摆球不做功，只有重力对摆球做功，摆球的机械能守恒，摆球增加的动能等于它减少的重力势能，即：

    ■mv2=mgl（cosα1-cosα2）? ? （1）

    在P点，拉力T与重力沿摆线方向的分力mgcosα2提供摆球在该点的向心力，即：

    T-mgcosα2=■（2）

    联立（1）（2）两式可得：

    T=mgcosα2+2mg（cosα1-cosα2）=2mgcosα1-

    mgcosα2? （3）

    在P点，将拉力T分解为竖直向上的分力Ty与水平向右的分力Tx，即：

    Tx=2mgcosα1sinα2-mgcosα2sinα2? ? （4）

    利用数学三角公式：

    cosα=1-2sin2■≈1-2（■）2

    当摆角α1、α2均小于5°时，（4）式可以近似为：

    Tx=2mg [1-2（■）2] sinα2-mg[1-2（■）2] sinα2? ? （5）

    略去（5）式中的高阶小量■、■，即可得到Tx=mgsinα2

    设过P的水平线与竖直摆线RO的交点为O′，将O′ 暂且称为摆球在P点时的瞬时平衡位置，则摆球的位移x就是O′ 指向P的一个矢量，即：

    Tx=-mgsinα2=-mg ■=-mg■? ? ?（6）

    上式说明，在摆角不超过5°的情况下，单摆在水平方向上的运动近似是简谐运动，并且该简谐运动每一时刻的平衡位置不是固定的一个点，但这些点都在最大摆角所在水平线BC中点S与最低点O的连线上，从而解答了学生提出的第一个问题。

    通过上述推导，我们还有这样一个感悟：单摆在无阻力作用下的小幅度往复运动本质还是变速圆周运动的一部分，可以通过机械能守恒定律分析;对于运动中的某一个时刻，可以建立自然坐标系去研究法向加速度和切向加速度;对于单摆往复运动时间，则可以通过它水平方向的简谐运动规律来分析和计算。

    问题二：单摆周期公式如何推导？

    现行上海市高级中学课本《物理·拓展型课程（试用本）》[1]第49至51页有如下表述：“图3中一个质点M0沿半径为R的圆周做匀速圆周运动，角速度为ω，它在过圆心的x轴上的投影是M点。可以证明当M0点做匀速圆周运动时，M点就沿着x轴做振幅为R的简谐运动。”

    在此，学生提出第二个问题：根据课本的描述，当证明得到一个匀速圆周运动在直径上的投影运动是一个简谐运动后，那么匀速圆周运动的周期也就是该简谐运动的周期，按照这样的一个思路，能否避开大学物理的微分方程知识，利用上述结论推导得到单摆在无阻力作用下的小幅度往复运动的周期公式T=2π■呢？

    建立如图4所示的坐标，质点绕O点做匀速圆周运动，角速度为ω，运动半径为r，某时刻质点位于点M0处，M0O与x轴正方向的夹角为α，M0在x轴上的投影为M，令OM=x。质点的加速度大小a=ω2r，方向沿半径方向指向圆心，加速度矢量在x轴方向上的投影就是M的加速度

    aM=ω2rcosα，M的合力为：F=maM=-mω2rcosα=

    -mω2x，负号代表合力方向为沿x轴负方向。

    上式表明，一个做匀速圆周运动的物体在直径上的投影运动是一個简谐运动。该简谐运动的周期等于匀速圆周运动的周期。T■=T■=■，令比例系数k=mω2，得到计算简谐运动周期的通式：T=2π■? ? （7）

    这个式子给出了计算简谐运动周期可操作的方法：先证明一个运动是简谐运动，得到比例系数k，代入（7）式求出周期。

    对比（6）式Tx=-mg■，可得单摆在水平方向上简谐运动的比例系数k=■，代入（7）式，得到单摆在无阻力作用下的小幅度往复运动的周期公式T=2π■? ，从而解答了学生提出的第二个问题。

    问题三：单摆和圆锥摆能否相互等效？

    在“用单摆测定重力加速度”的学生实验中，教师往往会提醒学生，在实验操作中，要保证摆球在同一竖直平面内摆动，不要形成圆锥摆（如图5）。同时给出圆锥摆运动的周期公式

    T■=2π■，其中α是圆锥摆摆线与竖直方向的夹角，对比单摆周期公式，得到如下结论：形成圆锥摆的话，此时测得的周期比相同摆长下测得的周期偏小，从而重力加速度值比标准偏大。

    学生在课余查阅了百度百科中关于“圆锥摆”条目的相关知识后提出第三个问题：“单摆和圆锥摆的周期公式十分相似，是否可以把圆锥摆等效成摆长为lcosα的单摆运动？圆锥摆是单摆和匀速圆周运动的合成吗？”

    以下摘自百度百科中“圆锥摆”条目：

    “溜冰运动中在双人花样滑冰运动中，有时会看到被男运动员拉着的女运动员离开地面在空中做圆锥摆运动，这里面就涉及到了圆锥摆;其实在做单摆实验时，如果没有做好，往往就做成了圆锥摆了。圆锥摆其实可以看成是单摆与匀速圆周运动的合成。”

    中学物理涉及圆锥摆模型是在匀速圆周运动的《向心力》一节中，我们是这样分析的：如图6所示，圆锥摆的摆球所受拉力在竖直方向上的分力与重力相互平衡，即Tcosα=mg;拉力在水平方向的分力提供摆球做匀速圆周运动的向心力，即Tsinα=mω2 l sinα，联立可得ω=■，T■=■=2π■。显然，圆锥摆并不是单摆和匀速圆周运动的合成，圆锥摆摆球做的运动就是一个匀速圆周运动。那圆锥摆的周期公式与单摆如此相似，是数学表达式上的偶然吗？

    我们利用问题二中计算简谐运动周期的方法，从简谐运动角度来推导圆锥摆的周期公式。若圆锥摆的摆球某时刻运动到P点，作出俯视图（图7），摆球在水平面内做匀速圆周运动所需的向心力即Tsinα，摆球匀速圆周运动在x轴上的投影是一个简谐运动，P点的回复力大小：

    F=Tsinαcosβ=■·sinαcosβ=mg·tanαcosβ=mg· ■cosβ=mg·■

    回复力的方向沿x轴指向O，与位移方向相反。令比例系数k=■，代入简谐运动周期的通式[（7）式]，可得T■=2π■=2π■。

    通过上述的推导与分析论证，我们可以作出如下判断：在研究单摆在无阻力作用下的小幅度往复运动时间的问题时，可以从单摆水平方向是简谐运动这一角度来分析计算，此时单摆的摆长就是悬挂点到摆球重心的距离，尽管摆球的高度在变化，只要抓住水平方向的运动即可;而圆锥摆做匀速圆周运动时，由于圆周运动所在的水平面是固定不动的，可以将悬挂点到圆周运动水平面的距离看成是圆锥摆的“等效摆长”，即可以把圆锥摆等效成摆长为lcosα的单摆运动。需要注意的是：这个等效成立的条件只是圆锥摆摆线与竖直方向的夹角不超过5°，因为一旦超过5°，圆锥摆的周期公式依然成立，但是单摆的周期公式不再适用。至此，解答了学生提出的第三个问题。

    爱因斯坦说过：“发现问题和系统阐述问题可能要比得到解答更为重要……提出新问题、新的可能性，从新的角度去考虑问题，则要求创造性的想象，而且标志着科学的真正进步。”物理学科核心素养中的“科学思维”是基于事实证据和科学推理对不同观点和结论提出质疑和批判，进行检验和修正，进而提出创造性见解的能力与品格，这也就要求学生能对已有观点提出质疑，从不同角度思考物理问题。通过上述“单摆”教学中三个问题的提出与解答，从教师和学生角度都提出了很高的要求，在新的课程改革与考试评价制度下，广大教育同仁要充分肯定、鼓励学生提问，保护学生的问题意识，同时教师自身也要加强学习，才能使每节课都让学生有实实在在的认知收获、思维提升和科学感悟，为学生的素养提升、自主发展做好准备。

    参考文献：

    [1]张越，徐在新.高级中学课本物理拓展型课程（试用本）[M].上海：华东师范大学出版社，2016：49-53.

    [2]沈克琦.高中物理学1[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2015.

    [3]陈敏.论单摆的运动与简谐运动的关系[J].物理通报，2011（9）：128.

    [4]李永升，杨慧琴.用圆周运动的知识来解决简谐运动的周期问题[J].物理教学探讨，2010，28（01）：36-37.

    （栏目编辑? ? 罗琬华）