整体视角，等价转换，突破难点
韩江 过小明
[摘? 要] 文章研究了2019年镇江市中考数学第28题. 以线段示意图为始，利用整体视角、等价转换突破难点、悟透问题，并将问题推广到一般情形. 在此题的解决过程中，整体视角和等价转换是突破难点的关键思想方法.
[关键词] 整体视角;等价转换;中考数学
“年年岁岁花相似，岁岁年年人不同. ”每年中考季都会涌现一批形式新颖、构思巧妙、立意高远的优秀试题，这些试题凝聚了各地中考命题专家的智慧和心血，是广大一线数学教师研究数学问题、提升自身修为的优质素材. 笔者最近研究了2019年镇江市中考数学第28题，经历初思陷入迷茫、再思略见曙光、深思拨云见雾的过程，以线段示意图为始，利用整体视角、等价转换突破难点、悟透问题，颇有收获，现与同行分享.
题目呈现
试题？摇 学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动. 在相距150个单位长度的直线跑道AB上，机器人甲从端点A出发，匀速往返于端点A，B之间. 机器人乙同时从端点B出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B，A之间. 他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计. 兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这兩种.
【观察】①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为______个单位长度;
②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为40个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为______个单位长度.
【发现】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度. 兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图像（线段OP，不包括点O，如图2）.
①a=______;
②分别求出各部分图像对应的函数表达式，并在图2中补全函数图像.
【拓展】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度. 若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是______. （直接写出结果）
解法分析
本题对学生的阅读理解能力、抽象概括能力、等价转化能力有较高要求，主要考查了一元一次方程、一次函数、一元一次不等式、分类讨论思想等初中数学核心知识与思想方法，具有明显的区分度. 本题的思维起点在“【观察】”，如果我们能够正确理解题意、研究清楚“【观察】”，那么整个问题就可以迎刃而解. 下面，谈一谈笔者对本题的三个层次的思考.
1. 初思，陷入迷茫
初次思考：“【观察】”①问是一个典型的行程问题，主要涉及路程、速度和时间三种量，又有甲、乙两个研究对象，题目情境虽熟悉但探究内容较复杂. 已知A，B两地之间的距离是150个单位长度，第一次迎面相遇的地点与点A相距30个单位长度，甲、乙运动速度与运动时间均未知，求第二次迎面相遇时相遇地点与点A之间的距离.
分析方法：线段示意图.
因为第一次相遇时，相遇地点与点A 相距30个单位长度，所以第一次的相遇地点与点B相距150-30=120个单位长度. 由此可知甲、乙速度之比为1 ∶ 4，即相同时间下，甲、乙路程之比为1 ∶ 4. 设甲的速度为v，则乙的速度为4v. 所以甲从相遇地点到点B所用的时间是 ，乙从相遇地点到点A再返回到点B所用的时间为 = . 又 > ，因此第二次迎面相遇时，甲还未到达点B.？摇？摇？摇？摇？摇
设第二次迎面相遇时相遇点距点A为m个单位长度. 根据“相同时间下，甲、乙路程之比为1 ∶ 4”，并结合图3，得30+150+（150-m）=4（m-30），解得m=90.
用此法亦可得“【观察】”②问m=120. 但如果仍用相同的方法探究“【发现】”和“【拓展】”，显得琐碎又麻烦，笔者此时陷入迷茫，准备再次思考.
2. 再思，略见曙光
再次思考：用具体的速度和时间来考虑“【发现】”问，显得比较“碎”，能否从“整体”的视角来处理该问？因为甲的速度<乙的速度，所以0<x<75. 第一次迎面相遇时，甲、乙的路程之和是150个单位长度，第二次迎面相遇时，甲、乙的路程之和是450个单位长度（如图4，蕴含分类讨论）. 因为甲、乙速度之和是定值，所以第一次迎面相遇的时间是定值. 又因为450÷150=3，所以第二次迎面相遇的时间是第一次迎面相遇时间的3倍，故第二次迎面相遇时甲的路程是3x个单位长度. 因为0<x<75，所以0<3x<225. 需要对甲的路程3x进行分类讨论：当0<3x≤150，即0<x≤50时，y=3x;当150<3x<225，即50<x<75时，y=300-3x. 所以易知a=50，再根据解析式画出图像即可.
从“整体”的视角来处理，“【发现】”问顺利解决. 此时略见曙光，继续思考“【拓展】”问，但用线段示意图探究第三次迎面相遇时甲、乙的路程之和，又略显吃力，笔者继续陷入沉思.
3. 深思，拨云见雾
深入思考：笔者仍然画出线段示意图（如图5）. 看到画出的图形以后，笔者脑中突然灵光乍现，这个问题难道不是与环形跑道问题相像吗？由于只考虑迎面相遇，所以这个问题就等价于环形跑道中的相遇问题，于是笔者画出环形跑道示意图（如图6）.
根据图6，第一次迎面相遇时，甲、乙的路程之和是150个单位长度;第二次迎面相遇时，甲、乙的路程之和是450个单位长度;第三次迎面相遇时，甲、乙的路程之和是750个单位长度;……;第n次迎面相遇时，甲、乙的路程之和是[150+300（n-1）]个单位长度.
？摇？摇因为750÷150=5，所以第三次迎面相遇的时间是第一次迎面相遇时间的5倍. 因此第三次迎面相遇时，甲所走的路程是5x个单位长度. 因为0<x<75，所以0<5x<375. 需要对甲的路程5x进行分类讨论：当0<5x≤150，即0<x≤30时，y=5x，由5x≤60解得x≤12，所以此时0<x≤12;当150<5x≤300，即30<x≤60时，y=300-5x，由300-5x≤60解得x≥48，所以此时48≤x≤60;当300<5x<375，即60<x<75时，y=5x-300，由5x-300≤60解得x≤72，此时60<x≤72. 综上所述，x的取值范围是0<x≤12或48≤x≤72.
利用环形跑道模型分析问题，抽丝剥茧，拨云见雾，彻底将本题分析透彻.
解后感悟
笔者首先借助线段示意图分析，用常规的方法解决“【观察】”问，再从整体视角优化解法，最后将线段形行程问题等价转化成环形跑道问题，经历陷入迷茫、略见曙光、拨云见雾的心路历程，打通所有关节点，最终顺利完成整个问题的解决，并将问题推广到一般情形，即第n次迎面相遇. 在本题的解决过程中，整体视角和等价转换是突破难点的关键思想方法. 整体思想是一种重要的数学思想方法，教师在平时的教学中要有目的、有意识地引导学生从整体视角分析问题、解决问题，这不仅有助于学生找到解决问题的便捷方法，而且有助于发展学生的思维品质. 在数学问题的探究过程中，经常会遇到陌生的、未知的、复杂的问题，通过等价转换，可以将陌生的化为熟悉的，将未知的化为已知的，将复杂的化为简单的. 可以这样说，数学解题过程就是一个不断等价转换的过程.
