微分中值定理的研究

    白瑞霞

    

    

    摘要：本文主要研究微分中值定理中的几个重要定理：Rolle定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理和推广Taylor公式，并描述了几个中值定理在求近似值求极限、证恒等式及等式以及讨论极限的敛散性等多方面的应用。

    关键词：微分中值定理;联系;推广;应用

    中图分类号：G642 文献标识码：A? ?文章编号：1003-2177（2021）04-0084-02

    0 引言

    中值定理在数学分析起着重要的作用，而导数本质上只反映函数在一点的局部特征，如果我们希望了解一个函数的整体特性，我们就必须在局部与整体之间建立某种联系，而建立此联系的桥梁正是作为核心的中值定理，同时也是探究函数在某个区间性质的强有力的工具。微分中值定理不仅在理论上很重要，而且在我们日常生活中的应用也很广泛。在这篇短文中，我们试图对中值定理的应用做一个较为系统的阐述和总结，希望能够抛砖引玉，对中值定理的研究和教学起到一定的参考作用。

    1 微分中值定理

    1.1微分中值定理的简述

    我们知道，罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理统称为微分中值定理。它们之间有着密切的联系，拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，它们之间的具体关系我们可以用下面的例题来将它们联系起来。

    例1.1.1设f（x），g（x），（x）在[a，b]内可导，试证：存在ζ∈（a，b）使得

    证：记，则F（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，F（a）=F（b）=0.应用罗尔定理[1]可知，使得，据行列式性质

    .

    特别地：（1）若令，就可得罗尔定理的结论：.

    （2）若令可以得到拉格朗日中值定理：.

    （3）若令则有

    ，从而可得

    柯西中值定理：.

    通过上面的例题，我们很好地利用了辅助函数的构造法，引出了三个中值定理之间的关系：Rolle定理是微分中值定理的基础，而Lagrange定理是微分中值定理的核心，若Lagrange定理添加条件， 则变成Rolle定理。反之，如果Rolle定理中放弃条件，则推广为Lagrange中值定理;同样，若令则Cauchy中值定理就变成Lagrange定理。从而Cauchy中值定理可视为Lagrange定理在表达形式上的推广。

    1.2微分中值定理的推广

    前面我们已经讨论了中值定理之间的关系，接下来我们来看它们的推广。从前面的内容我们知道，这三个定理都要求函数在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导。那么如果我们把定理中的闭区间推广到无限区间，再把开区间推广到无限区间的话，则这些定理是否还能满足条件，或者我们能得出哪些相应的定理或结论呢？

    通过讨论研究我们知道，按照以上的想法把中值定理的区间推广到无限区间上可以得到几个相应的定理，本文在此只提到其中的一个，下面给出定理。

    1.2.1泰勒（Taylor）定理

    若函数f在[a，b]上存在n阶的连续导函数，在 （a，b）上存在（n+1）阶导函数，则对任意给定的x，? x0∈[a，b]，至少存在一个点ζ∈（a，b），使得

    （1）

    1.2.2带佩亚诺（Peano）型余项的泰勒公式

    余项写为，则称为佩亚诺型余项，当x0=0时，（2）式变成

    称此式为（带佩亚诺（Peano）余项的）麦克劳林公式[1]。

    1.2.3带拉格朗日型余项的泰勒公式

    若函数f（x）满足条件：（1）在[a，b]上f（x）存在直到n阶连续导数;（2）在（a，b）内存在f（x）的n+1阶导数;则对，至少存在一点ζ∈（a，b）使余项写为则称为拉格朗日余项，，其中ζ在x 与x0之间，当x0=0时，（3）变成

    则此式为（带有Lagrange余项的）麥克劳林公式。

    2 微分中值定理的应用

    2.1讨论存在性

    例2.1.2：设f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且f（1）=0，求证：存在ζ∈（a，b），使

    证：结论可变形为，设，则F（x），f（x）在[0，1]上满足Cauchy定理条件，因此在（0，1）上至少存在一点ζ，使即[2].

    2.2 利用Lagrange中值定理证不等式[3]

    例2.4.1利用微分中值定理证明：

    （x>0）.

    证：设，因为f（x）在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1）内可导，且由拉格朗日中值定理，在开区间（0，1）内至少存在一点ζ，使得 ，（ζ∈（a，b））即， 因为0<ζ<x，所以有，即得到

    （x>0）

    2.3证明恒等式及等式

    例2.5.1证明（x≥1） 恒等.

    证：令（x≥1），在x≥1时有意义，

    所以在x>1时， （常数），又取（1，+∞）内任一点，如，有，且所以端点值也成立，从而恒等。

    2.4求近似值

    几个微分中值定理给出了计算近似值减少误差的方法[4]，若能构造出合适的辅助函数，利用具体的中值定理就能得出近似值。

    例2.6.1 求的近似值。

    解：是函数在处的值，令x0=1，x=x0+?x即?x=-0.07，由微分中值定理得：

    当要求的算式不能得出它的准确值时，即只能求出其近似值，这时微分中值定理是解决这种问题的最好方法。

    3 微分中值定理的应用总结

    上述我们已经详细的给出了微分中值定理的一部分应用，另外微分中值定理还有求行列式的值、求高阶导数在某些点的数值、求初等函数的幂级数展开式、判断函数的极值等的应用，我们就不在这里一一举例。

    参考文献

    [1]华东师范大学数学系.数学分析（第四版上册）[M].北京：高等教育出版社，2010：7.

    [2]周民强.微积分专题论丛[M]北京：科学出版社，2013.

    [3]王宝艳.微分中值定理的应用[J].雁北师范学院学报， 2005，21（2）：59.

    [4]陈天权.数学分析讲义（第一册）[M].北京：北京大学出版社，2009：8.

    （责编：杨梅）