双曲率组合结构自由振动特性分析

2022.06.21

庞福振李海超彭德炜霍瑞东缪旭弘

摘要：针对双曲率组合结构自由振动特性分析方法有待完善等问题，基于半解析法开展了双曲率组合壳结构自由振动特性研究。基于Flugge薄壳理论，首先将抛物壳-圆柱壳-球壳组合结构在交界面处进行分解，获得抛物壳、圆柱壳和球壳子结构;再将抛物壳、圆柱壳和球壳子结构沿周向进一步分解为若干壳段，用沿径向的Jacobi多项式和周向的Fourier级数来表示各个壳段的位移函数，并用不同的弹簧刚度对组合结构的边界条件和壳体内的连续性条件进行模拟;最后，基于Rayleigh-Ritz法获得双曲率组合结构的振动模态，探索复杂边界条件下双曲率组合结构自由振动特性。在此基础上，将双曲率组合结构自由振动频率与已有文献及有限元法计算结果进行对比分析，验证了方法的收敛性和有效性，研究成果可为复杂边界条件双曲率组合结构自由振动特性分析提供方法依据和数据积累。

关键词：结构振动;自由振动;半解析法;双曲率组合结构;复杂边界条件

中图分类号：O327;TB123文献标志码：A 文章编号：1004-4523（2020）03-0441-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.03.001

引言

抛物线壳、圆柱壳及球壳组合结构在机械工程、船舶工程、航空航天及土木工程领域应用广泛。开展复杂边界条件下抛物壳-圆柱壳-球壳（PCS）组合结构自由振动特性研究，明确其自由振动特性规律，对丰富双曲率组合结构基础理论及指导工程应用具有重要的意义。在此研究方面，Shang基于Love壳体理论分析了球壳一圆柱壳组合结构的自由振动。Saunders等采用Raylcigh-Ritz法得到了圆柱壳-圆锥壳组合结构的固有频率。Tavakoil等运用Pade近似矩阵求幂的方法研究轴对称壳结构的自由振动。Gallctly和Mistry以一端固定，另一端由旋转壳体（圆锥壳、半球壳等）封闭的圆柱壳组合结构为研究对象，采用有限差分法和有限元法分析了其自由振动。Lcc等运用Rayleigh-Ritz方法研究了球壳-圆柱壳结构在不同边界条件下的自由振动。Ma等通过运用Fourier-Ritz方法研究了圆柱壳结构及一般边界条件的圆锥-圆柱壳的组合壳结构的振动特性。瞿叶高等运用区域分解法研究了圆锥壳、圆柱壳及球壳组合结构及环肋圆柱壳-圆锥壳组合壳结构的振动特性。

由上述分析可知，一方面现有文献大多聚焦于单个或一些简单的组合壳结构，鲜有学者开展双曲率组合结构振动特性研究;另一方面，已有文献在位移函数选取方面大多考虑特殊形式的多项式，尚未形成统一、选择范围更广的位移容许函数构造形式。为此，本文在区域分解法研究的基础上，对位移容许函数进行改进，使组合壳结构位移函数较其他半解析法更容易选取;在此基础上，开展抛物壳-圆柱壳-球壳组合结构自由振动特性分析，旨在为复杂边界条件下抛物壳-圆柱壳-球壳组合结构自由振动特性分析提供方法依据和数据积累。

1理论方法

1.1数学模型

抛物壳结构是由抛物线绕中心轴旋转而成，抛物壳几何结构如图1所示。

如图1所示，厚度为h的旋转壳结构由母线s0s1绕轴Oξ旋转而成。L为旋转壳总长，φ为径向角度，θ为周向角度，Rφ为径向曲率半径，R0为周向曲率半径，R为水平半径，且Rθsinφ。对于抛物壳，其几何表征参数为

式中 k为抛物壳径向特征参数

抛物壳-圆柱壳-球壳组合结构剖面图如图2所示。

假设组合壳结构由均质和各向同性的材料组成，左右壳结构由球坐标系Ol，r-φl，r，θl，r，Zl，r描述，其中φ为徑向坐标，θ为圆周坐标。Rr和Rl为左右壳边界半径，Lr和Ll为左右壳的轴线长度。中间圆柱壳用柱坐标系（Oc-x，θc，Zc）表示，其半径为Rc，长度为Lc。每个壳结构的位移分量分别用uξ，vξ和wξ（ξ=l，r，c）表示，其中下标分别表示左侧、右侧及中间圆柱壳体。本文基于区域分解法，为精确获得组合结构高阶振动响应，将组合结构沿周向在交界面处划分为几个典型子结构，再在此基础上，将子结构沿径向方向进一步分解为Nl，Nc，Nr个壳段。

1.2 壳结构的能量传递

基于Kirchhoff假设和Fluggc的薄壳理论，子结构ξ第i壳段中性面处的应变-位移关系为

1.3 双曲率组合结构的边界条件和连续性条件

本研究基于惩罚函数对双曲率组合结构的连续性条件和边界条件进行模拟。其中惩罚参数由各个方向上弹簧的刚度值定义，这样双曲率组合结构的复杂边界条件和连续性条件可以通过对惩罚函数设定适当的弹簧刚度值来实现，这也一定程度上方便了复杂边界条件的模拟，是本文的主要优势之一。

基于惩罚参数，存储在边界弹簧中的势能可表示为

1.4 位移函数和矩阵方程

选择适当的位移函数对求解的精度有较大影响，本文在区域分解法的基础上，将切比雪大多项式扩展为统一的、选择范围更广的Jacobi多项式。这也是本文较改进傅里叶法、区域分解法等半解析法最突出的优势。双曲率组合壳结构轴向与径向位移函数分别用Jacobi多项式和Fouricr级数来表示，而Jacobi多项式定义在区间∈[-1，1]内，第i阶Jacobi多项式Pi（α，β）（φ）可表示为

式中

K，M和E分別为组合壳结构的刚度阵、质量阵和未知系数矩阵。通过求解方程（23）可求得组合壳结构的特征频率和特征向量。

2 数值分析

2.1 收敛性分析

2.1.1 弹簧刚度值的影响

由图3可知，弹簧刚度取值Kt≥102E时，组合壳结构收敛，可视为刚性边界条件;弹簧刚度为零时，可视为自由边界条件;弹簧刚度10-4≤kt≤10-1E可视为弹性边界条件。满足复杂边界的弹簧刚度值可定义为如表1所示形式。

2.1.2 壳段数的影响

为方便与文献对比，本文计算模型采用与其相同的几何和材料属性参数。Jacobi参数取为α=β=-0.5.自由边界条件下，球壳-圆柱壳-球壳结构无量纲频率与壳段数关系如表2所示。

由文献可知，分段数的选取主要与结构主尺度、曲率变化及计算频率等有关。且结构主尺度越大、曲率变化越大、计算频率越高，求解精度对结构分段数要求越高。由表2可知，对球-柱-球组合结构，当结构分段数不小于4时，本文计算结果已收敛且与文献结果一致性较高。故在下文计算中，统一选取双曲率组合结构各个子结构的分段数为4.

2.1.3 Jacobi多项式参数的影响

与2.1.1结构和材料参数相同情况下，取分段数Nl=Nr=Nc=4，以α=β=-0.5为基准来衡量其他Jacobi多项式参数的相对误差。

由图4可知，其他参数一定条件下，改变Jacobi多项式参数α和β对双曲率组合结构自由振动频率影响较小，不同Jacobi参数下的最大相对误差不超过2×10-5。也就是说，不仅是特殊的勒让德多项式或切比雪大多项式可用于位移函数的构造，所有Jacobi参数下的多项式均可用来构造位移函数。该发现不仅形成了位移函数的统一形式，还在一定程度上扩展了位移容许函数的选取，这也是本文较其他半解析法最突出的优势。

2.2 有效性验证

为验证本文方法的有效性，将典型边界条件（F-F，F-C，C-C）下抛物壳-圆柱壳-球壳组合结构频率参数与有限元仿真结果进行比对。组合结构有限元（ABAQUS）分析网格类型为S4R，网格数量边长尺度为0.07m，对比结果如表3所示。

由表3可知，对周向模态n（n=1，2，3），前4阶轴向模态计算结果与有限元法吻合较好，表明本文方法可用于一般边界条件下双曲率组合结构自由振动特性分析。

2.3 复杂边界条件下组合壳结构振动特性分析

基于上述研究，开展复杂边界条件下抛物壳-柱壳-球壳组合结构自由振动特性分析，不同边界条件下的计算结果如表4和5所示。

由表4和表5可知，当组合壳结构分段数目一定时，边界条件对低周向波数的频率参数有显著影响，但随着周向波数的增加，边界条件的改变对组合壳结构振动特性的影响逐渐减小;同一周向模态下，组合壳结构频率参数随轴向波数的增加而增加。

3结论

本文基于Fluggc薄壳理论，提出一种半解析法，开展了复杂边界条件下双曲率组合结构自由振动特性分析。通过本文研究，可得如下主要结论：

1）抛物壳-圆柱壳-球壳组合结构的收敛性与弹簧刚度值、子结构壳段数以及Jacobi多项式参数等有关。当弹簧刚度值尾kt≥102E时，组合壳结构收敛，可视为刚性边界条件;当弹簧刚度值kt=0时，可视为自由边界条件;当弹簧刚度值10-4E≤kt≤10-1E可视为弹性边界条件。子结构壳段数划分越多，组合壳结构收敛性越好，计及求解效率等因素，子结构壳段数划分不宜过大。Jacobi多项式参数对组合壳结构求解结果影响较小，可忽略不计。

2）经典边界条件下，基于Jacobi-Ritz法的抛物壳-柱壳-球壳结构振动特性分析结果与现有文献及有限元法结果吻合较好，验证了本文方法的有效性。

3）本文基于Jacobi-Ritz法为复杂边界条件下抛物壳-圆柱壳-球壳组合结构自由振动特性分析提供了数据积累及方法依据。