探讨几何问题添加辅助线的技巧

    穆红霞

    

    

    

    [摘? 要] 辅助线是突破几何问题的关键. 能否根据几何图形的特点构建合理的辅助线，决定了是否可以将隐含条件和已知条件串联成线、深度认知出题人的意图、理清后续解题思路. 文章以2020年中考江苏南通卷第26题为例，探讨几何问题添加辅助线的技巧.

    [关键词] 中考;数学;几何问题

    辅助线是突破几何问题的关键. 能否根据几何图形的特点构建合理的辅助线，决定了是否可以将隐含条件和已知条件串联成线、深度认知出题人的意图、理清后续解题思路. 因此，分析几何问题时，教师要引导学生充分理解已知条件，并结合条件与图形特点，探究构造辅助线的技巧. 本文以2020年中考江苏南通卷第26题为例，探讨几何问题添加辅助线的技巧.

    ■ 中考题呈现

    中考题（2020年江苏南通中考第26题）已知有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形. 连接这两个角的顶点的线段称为对余线.

    （1）如图1，在对余四边形ABCD中，AB=5，BC=6，CD=4，连接AC，若AC=AB，求sin∠CAD的值.

    （2）如图2，在凸四边形ABCD中，AD=BD，AD⊥BD. 当2CD2+CB2=CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形，并证明你的结论.

    ■ 中考题解析

    1. 添加垂直线，将一般变为特殊

    对于不规则的图形或抽象的图形，需要添加适当的辅助线，将图形拆分或填充成特殊图形、常见基本形等，从而使没有特征的图形转化为有形的几何图形.

    中考题的第（1）小问所求为正弦值，因此要用所求角构造直角三角形，求解思路如下：要求sin∠CAD的值→将∠CAD放到直角三角形中→作辅助线：过点C作CF⊥AD，垂足为F（不破坏对余角∠D）？圯sin∠CAD=■→求线段CF的长;同时考虑到对余四边形ABCD→∠B+∠D=90°AC=AB→作AE⊥BC，垂足为E→等角转换（或三角形相似）. 具体的求解过程如下.

    如图3，过点C作CF⊥AD，垂足为F，过点A作AE⊥BC，垂足为E. 因为四边形ABCD是对余四边形，所以∠B+∠D=90°或∠BAD+∠BCD=90°. 因为∠CAE+∠ACE=90°，∠BAD>∠CAE，∠BCD>∠ACE，所以∠BAD+∠BCD>90°. 所以∠B+∠D=90°. 又因为∠D+∠DCF=90°，所以∠B=∠DCF. 因为AC=AB，AE⊥BC，所以BE=CE=■BC=3. 所以cos∠DCF=■=■=cos∠B=■. 所以CF=■. 所以sin∠CAD=■=■=■.

    2. 添加辅助线，构建数学模型

    当题目中存在线段数量关系时，可利用辅助线构建数学模型，利用平面几何定理得出代数模型，其中最常应用的两种几何定理分别为勾股定理和相似三角形. 解题过程中，要着重观察已知条件的数量关系特征、几何图形中的特殊角或线段，再选择应用哪种几何定理.

    （1）构造全等三角形，巧用勾股定理

    當题目中的已知条件比较分散，无法在同一图形中观察到线与线、角与角之间的关系时，添加辅助线构造几何基本形是转化条件的方式之一. 添加辅助线，能将一些看似不相关、较分散的条件汇聚到一个基本图形中，从而形成完整的条件链.

    对于中考题的第（2）小问，由条件2CD2+CB2=CA2能联想到勾股定理→因为2CD2=（■CD）2，所以自然想到构造出一个以■CD，CB为直角边的三角形，再由条件AD=BD，AD⊥BD联想到利用边CD构造等腰直角三角形（且CD边为直角边）→同时得到“手拉手”全等，即通过添加辅助线构造基本形. 此种解法的具体过程如下.

    如图4，过点D作DE⊥CD，且DE=CD，连接EC，EB，则CE2=2CD2，∠DCE=45°. 易证△ACD≌△BED，所以BE=AC. 因为2CD2+CB2=CA2，所以CE2+CB2=BE2. 所以∠BCE=90°. 所以∠BCD=45°. 所以∠DAB+∠BCD=45°+45°=90°. 所以四边形ABCD是对余四边形.

    转移不共线线段的方法有很多种，学生最易接受且最有效的方法是构建全等三角形，即通过全等三角形对应边相等的定理，将有关系的线段进行转移. 上述解法从2CD2+CB2=CA2入手，将2CD2转化为CE2，通过全等三角形将CA转化为BE，将题中的线段关系转化到同一个三角形内，即转化到△CBE内. 除此种方式添加辅助线外，还可以以CD为等腰三角形一腰，D为顶点向下作辅助线（如图5），或以C为顶点，CD为腰作辅助线（如图6）.

    （2）构造相似三角形，证明线段成比例

    对于中考题的第（2）小问，还可以换角度分析，结合勾股定理及相似定理来证明. 由已知条件2CD2+CB2=CA2，联想到勾股定理→CB2=（■？）2，CA2=（■？）2，然后通过边BC或AC来构造等腰直角三角形（且BC边或AC边为斜边）→得到“手拉手”相似. 具体解法如下.

    如图7，以BC为斜边向下作等边直角三角形BCE，且∠BEC=90°，连接DE，则BC=■CE，△DBE∽△ABC. 所以AC=■DE. 因为2CD2+CB2=CA2，所以2CD2+2CE2=2DE2. 所以CD2+CE2=DE2. 所以∠DCE=90°. 因为∠BCE=45°，所以∠BCD=45°. 所以∠DAB+∠BCD=45°+45°=90°. 所以四边形ABCD是对余四边形.

    中考题的第（2）问很容易联想到在直角三角形中利用勾股定理来解决，至于线段之间的关系，在添加辅助线时，既要考虑构建出直角三角形，又要将条件的三边转化到同一个三角形内，因此以BC为三角形的斜边作等腰直角三角形，从而通过证明△DBE∽△ABC得到线段关系. 除此种解法外，还可以以AC为斜边向上作等腰直角三角形ACE，且∠AEC=90°，连接DE（如图8），或以AC为斜边向下作等腰直角三角形ACE，且∠AEC=90°，再以BC为斜边向下作等腰直角三角形BCF（如图9）.

    ■ 拓展提升

    试题?在平面直角坐标系中，A（-1，0），B（3，0），C（1，2），四边形ABCD是对余四边形，点E在对余线BD上，且位于△ABC内部，∠AEC=90°+∠ABC. 设■=u，点D的纵坐标为t，请直接写出u关于t的函数关系式.

    分析?本题类似动点问题，点D的坐标不固定，因此教师可以借助多媒体教学工具演示几何图形的变换，让学生更加直观、直接地看到数量关系. 通过视觉上的引导，让学生将抽象的数学问题转化为简单的数量关系问题，从而建立正确的解题思路，找到解决数学问题的突破口，帮助学生高效解题. 首先，根据题意画出图形（如图10），易知∠CAB=∠ABC=45°，所以∠ADC=45°，∠AEC=135°，A，D，C，E四点共圆（即共⊙G），△BAE∽△BDA？圯■=■=u，AD=4u，从而转化为探究AD与点D纵坐标（即图中DH的长）之间的数量关系.

    思路1?（构造相似）如图11，延长AG交⊙G于点F，连接DF，则△ADH∽△FAD？圯■=■？圯■=■？圯u=■（0<t<4）.

    思路2?（设出点D的坐标，应用勾股定理建立等量关系）如图12，设D（x，t），则AH=-1-x. 在△AHD中，根据勾股定理，有t2+（-1-x）2=（4u）2. 因为圆心G（-1，2），DG=2，所以（x+1）2+（t-2）2=4. 所以u=■（0<t<4）.

    上述过程从引导学生了解辅助线的重要性开始，让学生具备一定的图形思考能力，并通过直观想象，在脑海中构造几何图形，锻炼数形结合思维，从问题表象认识到其原理本质. 这样的例题设计，既能让不同层次的学生通过实践提升数学思维，又能实现对已有认知体系的创新.