考虑轮轨非线性接触的车辆-轨道-桥梁垂向耦合系统随机振动分析
刘付山 曾志平 郭无极 朱志辉
摘要：基于列车-轨道-桥梁耦合动力学理论，考虑轮轨接触非线性，采用广义概率密度演化理论建立了列车一轨道一桥梁垂向耦合系统非线性随机振动方程。采用数论选点法结合谱表示一随机函数法生成轨道随机不平顺样本，实现了用两个随机变量和少量样本较精确地反映轨道不平顺功率谱的随机特性。以高速列车一简支梁桥上CRTSI型板式无砟轨道为例，从概率及可靠度角度，考虑非线性轮轨关系中跳轨现象以及轨道随机平顺影响，对比分析了线性与非线性轮轨对车辆运行安全性的影响;计算了不同轨道谱、车辆运行速度下轮重减载率概率密度演化规律及其对车辆运行安全性影响。结果表明，建议的方法可通过较少的随机变量和样本计算得到车辆一轨道一桥梁耦合系统非线性随机动力响应及其概率分布，可为车辆运行安全性评价提供更好的指导。
关键词：非线性随机振动;车辆-轨道-桥梁垂向耦合系统;概率密度演化;车辆运行安全性
中图分类号：0324;U238;U270.1+1 文献标志码：A 文章编号：1004-4523（2020）01-0139-10
DOI：10.16385/j.cnki.issn.i004-4523.2020.01.016
引言
随着随机振动及其相关理论的发展，许多学者对考虑轨道随机不平顺情况下的车辆一轨道一桥梁耦合系统随机动力响应进行了研究。翟婉明通过将车辆一轨道模型等效线性化，采用线性系统随机振动频域分析方法，对车辆一轨道耦合动力学系统进行了随机振动分析，同时指出，目前针对非线性车辆一轨道系统，进行随机振动分析的有效方法是数值积分法，即采用一段足够长的样本来代表整个随机过程;文献[3-4]采用Monte-Carlo法进行统计分析，对车辆一轨道一桥梁耦合动力学系统进行了随机振动分析;文献[5-6]通过虚拟激励法对车辆一轨道一桥梁耦合系统进行了随机振动分析，但由于虚拟激励法只适用于输入与输出成线性关系的动力系统，因而采用的是线性化的车辆一轨道一桥梁耦合动力学模型;余志武等[7-8]采用广义概率密度演化理论，将车辆一轨道一桥梁耦合动力系统等效线性化后，对其随机动力响应进行了研究。综上可以看出，对车辆一轨道一桥梁耦合系统随机振动研究多将系统线性化后进行分析，或采用较长的轨道不平顺样本来代替整个随机过程。
在车辆一轨道一桥梁耦合动力系统动力学分析中，耦合动力系统的主要激励源轨道不平顺需要通过轮轨相互作用关系输入到耦合动力系统中，除此以外，轮轨关系还需要准确反映车轮与钢轨问的受力状态。由于车轮、钢轨踏面形状的几何非线性及其之问的力学关系，轮轨问相互作用关系往往表现出较强的非线性特征，而非线性车辆一轨道一桥梁耦合系统的随机动力响应还未见相关研究。
近年来广义概率密度演化理论的发展，为非线性系统随机振动分析提供了可能。本文基于广义概率密度演化方法，利用考虑轮轨问非线性相互作用关系的非线性车辆一轨道一桥梁耦合系统动力学分析模型，采用数论选点法（NTM）结合谱表示一随机函数法生成轨道不平顺样本，以较少样本计算出系统随机动力响应及其概率分布，以车辆运行安全性指标——车体垂向加速度、轮重减载率为主要研究对象，对非线性车辆一轨道一桥梁垂向耦合系统进行随机振动分析，研究方法可用于车辆运行安全性评价。
1车辆-轨道-桥梁垂向耦合动力分析模型
本文将车辆一轨道一桥梁耦合系统分为车辆、钢轨、轨道结构一桥梁三部分分别建模，其中车辆模型与钢轨问通过轮轨关系耦合，钢轨与轨道结构一桥梁模型问通过扣件耦合，建立的非线性车辆一轨道一桥梁垂向耦合动力学模型如图1所示。
1.1车辆模型
将车辆模拟成由一个车体、两个构架、四个轮对和两系悬挂组成的，以速度V运行在轨道结构上的多刚体系统。在垂向模型中，每个刚体具有垂向位移（z）、点头（β）两个自由度，两系悬挂采用线性弹簧阻尼器模拟。
1.2钢轨振动方程
将钢轨视为有限长简支梁，采用Euler梁模型模拟，钢轨振动微分方程可表示为
参考文献[12]，将水泥乳化沥青砂浆层离散为分布弹簧，轨道板与底座板问通过砂浆层弹簧阻尼单元连接。将桥面板离散为分布弹簧，底座板与桥梁通过桥面板弹簧连接。在板缝和梁缝处，单元长度会发生改变，板缝、梁缝处的单元划分如图1（a），（b）所示。
1.4轮轨关系
由于广义概率密度演化方程实现了概率空问与物理空问的解耦，因而其可以广泛运用于各种非线性问题。通过联立物理方程与广义概率密度演化方程并通过数值方法次序求解，则不难给出复杂结构系统的随机非线性响应解答。
3轨道随机不平顺数值模拟方法
通过实测发现，轨道随机不平顺具有较强的随机性，随着中国铁路发展，广大的科研院所、运营单位获得了大量轨道随机不平顺数据，但这些数据若直接用于理论计算，其计算量将是巨大的。功率谱密度函数是通过对大量运营线路实测数据分析后得到的，是平稳随机过程的轨道不平顺最重要和最常用的统计函数，中国也在近年发布并实施了反映中国高速铁路无砟轨道不平顺状态的《高速铁路无砟轨道不平顺功率谱TB/T 3352-2014））。对于非线性系统，功率谱无法直接输入，还需将轨道随机平顺功率谱转换为时域样本输入动力学模型。通过合适的计算方法，得到具有代表性的轨道随机不平顺样本，充分反映轨道随机不平顺统计特征，在可更好地反映实际线路状态及其随机特性的同时，最大限度地减少计算工作量。
在傅里叶变换中，要更好地反映目标过程，通常需要大量的频率分量，轨道不平顺的模拟同样如此，否则生成的轨道随机不平顺时程将不能使用，例如可能具有明显的周期性_1引。在进行非线性随机振动分析时，直接采用数百个谐波分量或頻率分量的情况下，往往需要大量样本计算才能满足分析计算精度要求。
为了减少生成轨道随机不平顺时所需的随机变量数，本文采用谱表示一随机函数法生成轨道不平顺时程样本，相较于常用的三级级数法、随机谐和函数法，该方法实现了轨道随机不平顺样本模拟过程的降维，可用一个或两个基本随机变量对模拟生成轨道随机不平顺时域样本。采用谱表示一随机函数法时轨道不平顺样本可表示为
文献[15]中计算高速铁路无砟轨道不平顺功率时，计算单元长为1024m，采样问隔0.25m，共4096点，单个计算单元经傅里叶变换后最多可得频点4096个。为尽可能保留轨道不平顺中的频率信息，参考轨道不平顺功率谱计算方法，生成轨道不平顺时程样本时，单个样本长度不超过1024m，频率采样点取4096个，采用随机谱函数法时仅需两个随机变量。
采用数论选点法生成随机变量的低偏差数列，采用随机谱函数法计算得到610个轨道不平顺随机样本。单个轨道不平顺样本及其功率谱对比情况如图3和图4所示。图4中单个轨道不平顺的功率谱密度与功率谱密度函数得到的功率谱相差较大，这是由于常用的轨道不平顺功率谱为大量实测轨道不平顺统计分析得到的均值谱，轨道不平顺谱一次计算的随机误差很大，达到100%，因而单个有限长度的不平顺样本功率谱密度会与功率谱密度函数存在较大偏差。
样本总体均值、标准差以及功率谱密度对比情况如图5所示，从图中可以看出，样本总体均值、标准差以及功率谱密度与目标谱吻合较好，采用谱表示一随机谱函数法可准确模拟生成轨道随机不平顺时域样本，且实现了数值模拟过程的降维。
4计算流程及数值计算方法
本文中车辆一钢轨系统采用“翟积分”显式积分方法求解，该方法具有较好的非线性适应性强;轨道一桥梁模型采用Newmark-β法求解。广义概率密度演化方程求解时，采用TVD（Total VariationDiminishing）格式的有限差分法求解。具体求解过程如图6所示。
5模型验证及数值分析
5.1模型验证
本文以桥上单元板式无砟轨道、32m简支梁、CRH2型动车组为工程背景。轨道不平顺采用中国高速铁路无砟轨道不平顺谱，波长范围2-200m。采用NTM（数论选点法）、随机谱函数各生成377，610，987个轨道不平顺随机样本，以610个样本工况为例，计算得到考虑非线性轮轨关系时的轮重减载率、车体垂向加速度概率密度演化情况如图7和图8所示。
相较于传统的单样本分析，采用广义概率密度演化方法，可用较少样本得到考虑轨道随机不平顺下的概率分布，为可靠性分析提供了可能。需要指出的是在图7中，车体加速度出现明显的周期性变化，其周期长度与梁长相同，这是由于梁体变形引起的车体周期性变化，在等概率密度图中可以很容易发现这一现象，而在单个样本分析时往往难以察觉到。
采用MCM（蒙特卡罗法）计算得到30000个样本与PDEM（广义概率密度演化法）法377，610，987个样本均值对比情况如图9和10所示，以车辆运行距离200m处为例，累积概率分布及截口概率密度如图9和10所示。表1中列举了计算距离范围内的轮重减载率、车体垂向加速度累积概率分布绝对误差最大值情况。
综上可以看出，本文中模型计算结果与大量样本的MCM计算结果相比偏差较小，且小于相同样本数MCM计算结果，计算偏差能够满足工程应用计算精度要求。
5.2线性与非线性轮轨关系对比分析
本文1.4中分析了线性与非线性轮轨关系在刚度变化曲线中的区别，利用车辆一轨道一桥梁耦合动力学模型，结合广义概率密度演化理论对线性与非线性轮轨关系和对车辆运行安全性的影响进行对比分析。
由于本文采用的中国高速铁路无砟轨道不平顺谱的平顺较好，跳轨的情况不易发生，这里将轨道随机不平顺xk与10m长的确定性谐波不平顺xz叠加，参考《高速铁路养护维修规则》轨道不平顺Ⅳ级偏差标准，不平顺幅值取15mm。运行速度350km/h时，线性与非线性轮轨关系下的轮重减载率单样本对比如图11所示。从图中可以看出，车辆-轨道-桥梁垂向耦合动力学模型中，线性与非线性轮轨关系对轮重减载率区别主要体现在发生跳轨阶段，而其他位置轮重减载率相差很小。
线性与非线性轮轨关系下的轮重减载率概率密度演化情况如图12和图13所示。考虑在轨道不平顺随机情况下，以轮重减载率0.8为限值，线性与非线性轮重减载率超限概率分别为26.36%，23.36%。在采用线性轮轨接触关系的模型中，当轮重减载率大于1时即認为发生了跳轨，采用线性与非线性轮轨关系模型中，跳轨概率分别为1.40%，0.45%。
综上可以看出，单样本分析时，线性与非线性轮轨关系主要区别在于对轮轨问跳轨的模拟，而考虑轨道不平顺随机情况下，线性化轮轨关系的轮重减载率超限概率与跳轨概率均大于非线性化轮轨关系。
5.3不同轨道谱对车辆运行安全性影响分析
不同轨道不平顺功率谱反映的是不同线路轨道随机不平顺统计特性，以研究中常用的德国低干扰谱、美国六级谱、中国高速铁路无砟轨道不平顺谱为例，对不同线路状态下列车运行安全性评价方法进行说明，采用本文中计算方法，车辆运行速度为350km/h，分别以轮重减载率0.6，0.8为限值，车辆运行安全性可靠度如图14和图15所示。
由于中国无砟轨道不平顺的平顺性优于美国六级谱以及德国低干扰谱，采用中国无砟轨道谱的情况下车辆运行安全性可靠度最佳。综上可以看出，采用本文中方法，可用较少样本对考虑轨道随机不平顺情况下的车辆运行安全性可靠度进行计算。
5.4车辆运行速度对车辆运行安全性影响分析
采用本文中计算方法，分别计算得到时速250-450km/h下轮重减载率概率演化情况。分别以轮重减载率0.2，0.3，0.4，0.5为限值，不同速度下的车辆运行安全性可靠度如图16所示。
由于中国高速铁路无砟轨道不平顺谱的平顺性好，且本文中仅考虑了垂向振动，因而本文模型中计算得到的轮重减载率相较于实际情况偏小。本文中仅采用这一计算结果分析速度对行车安全性影响。不同轮重减载率限值情况下，车辆运行安全性可靠度随速度增大而逐渐降低，且下降速率逐渐加快，而要获得更高车辆运行安全性可靠度，需要轨道具有更好的平顺性，因而随着运行速度增加，对轨道平顺性要求不仅仅是逐渐加强，且愈加严苛。
6结论
车辆一轨道一桥梁耦合动力系统由于其自身力学特性决定了其必然是一个多自由度的非线性系统，同时由于轨道不平顺的随机性，有必要对其随机振动特性进行研究。本文考虑车辆一轨道一桥梁耦合动力系统中关键的轮轨接触非线性，采用广义概率密度演化理论，结合现有理论中的车辆运行安全性评价指标如车体加速度、轮重减载率，对非线性车辆一轨道一桥梁耦合动力系统随机振动特性进行了分析。
（1）采用数论选点法结合谱表示一随机谱函数法生成轨道随机不平顺样本，实现了轨道随机不平顺数值模拟过程的降维，并通过样本均值、标准差、功率谱密度的对比，验证了数值模拟方法的准确性。
（2）从概率角度对比了线性与非线性轮轨关系对列车运行安全性影响。计算结果表明，在仅考虑垂向振动的情况下，采用线性轮轨关系计算结果偏向于保守。
（3）建立了考虑轮轨非线性接触的车辆一轨道一桥梁垂向耦合系统随机振动分析模型，并对不同轨道谱、不同行车速度情况下的车辆运行安全性进行了研究。
计算结果表明，本文中建议的方法可通过较少的随机变量和样本计算得到车辆一轨道一桥梁耦合动力系统随机动力响应及其概率分布，结合各评价指标，可为车辆运行安全性评价提供更好的指导。
