有理数加法法则教学的调查研究及教学启示
孙凯 仲博文
[摘? 要] “有理数的加法”是整个初中阶段代数的基础，对后续代数式、函数等知识的学习有着重要的影响. 为提升初中生有理数加法法则的正确使用率，笔者利用自编的调查问卷对七年级学生进行了“学前调查”和“学后调查”，得到了如下教学启示：构建背景支架，明晰法则的来龙去脉;构建直观支架，理解法则的数学本质;构建情感支架，体悟法则的通解通法;构建迁移支架，挖掘法则的应用延伸.
[关键词] 有理数加法;调查研究;教学启示;支架
问题的提出
“有理数的加法”是苏科版七年级数学上册第一章第五节第一课时的内容，是小学加法运算的拓展，是整个初中阶段代数的基础，对其掌握程度直接关系着实数、代数式、方程、不等式以及函数等知识的学习成效. 就本节课而言，通过本节课的学习，学生能运用有理数加法法则正确、熟练地进行有理数加法运算，是这节课成功的重要标志. 然而，在实际教学中笔者发现，很多学生学习完有理数加法法则之后，法则的使用率不高或者使用不规范，导致运算的错误率较高，这表明学生学习有理数加法法则的现状不容乐观，在教师教与学生学这两个层面上都存在问题，现梳理、总结如下.
从学生层面上看，主要有以下三点. 第一，法则使用不规范. 学生对异号两数相加且正数的绝对值较大的两数相加时，不遵循“判断类型—确定和的符号—进行绝对值的加减运算”的法则应用步骤，而是先进行绝对值的加减运算，再判断结果的符号，或干脆不判断结果的符号. 第二，对“+”“-”符号的理解有误. 部分学生计算时直接省略“+”号，把加法运算转化为减法运算，还有部分学生直接去括号，让两个符号没有括号分隔，使计算出现混乱. 第三，对有理数加法法则的来龙去脉认识模糊. 法则内容繁杂，步骤较多，学生在法则运用时有困惑，从而产生畏难情绪，有一部分学生甚至未使用法则进行运算，对法则的使用缺乏信心.
从教师层面上看，单课时教学时间短、任务重，且对学生学情了解不透彻. 教师很难在有限的时间内从学生的原有认知经验出发，遵循学生的心理发展顺序设置教学. 若让学生在运算活动中充分探索、尝试错误、理解方法，并自主总结法则，会出现由于时间不够而导致对法则的思考和认知不足的情况，从而形成一种假性建构，学生无法形成正常的使用法则运算的条件反射，还会依照原来的运算方法进行有理数加法运算，导致运算正确率无法正常提升.
调查研究背景的说明与假设
1. 调查研究背景的说明
（1）调查对象
调查对象为A校初一学生，随机抽取具有代表性的两个班级，调查共设两个时段：一是在他们学习“有理数的加法”的前一天（下文简称“学前调查”），二是在其学过该节一学期后（下文简称“学后调查”）.
（2）问卷设计
问卷共8道题，其中6道是计算题，2道是开放性问题. 开放性问题为：你的计算依据是什么？说一说你是怎样算出来的. 这两道开放题是为了解学生的具体思维过程而设定的. 6道计算题涉及有理数加法法则的四个部分，分别是符号相同的两个数相加、符号不同且绝对值不相等的两个数相加、符号不同且绝对值相等的两个数相加，一个数同零相加. 难度设置循序渐进，遵循学生的认知发展规律.
（3）调查目的
通过此次调查，教师能细致、准确地了解学生在进行有理数加法运算时的依据和所经历的思维过程. 调查后可统计学生在学习有理数加法法则前后，使用的各种运算方法及正确率，对比分析后，研究学生在运用有理数加法法则时出现的问题及原因，找出能让学生切实体会到运用加法法则必要性的方法，并就如何提升学生正确运用有理数加法法则的能力，给出针对性的教学建议.
2. 调查研究背景假设
问卷由学生独立填写，不要求署名. 问卷限定10分钟完成，共收回有效问卷101份，占所发问卷的97.16%. 在学前调查中，假定学生在参与调查之前没有自学过有理数加法法则;假定每一位学生都能精准地表述自己进行有理数加法运算的依据，能清晰地说出自己是怎樣计算的;由于6道计算题用于运算的数都较为简单，且初一学生的运算能力有所提升，所以假设学生不会出现运算失误的情况，结果错误都是由学生的解题思路有偏差造成的.
调查研究结果统计和分析
1. 调查研究数据统计
本次参与调查的共101人，时间跨度为一学期. 根据假设，计算总正确率的规则为总正确率= ×100%. 特别地，学生必须6道计算题全部计算正确且计算依据描述清晰完整，才能计入总正确人数. 若学生有1道及以上的题目做错，则计入总错误人数，由此得到不同错误算法种类的错误率. 每一道题的正确率则利用公式“每一道题的正确率= ×100%”进行计算. 学习有理数加法法则之前，学生运算的总正确率为39.6%;学习有理数加法法则之后，学生运算的总正确率为90%.有理数加法法则学习前的调查统计如表1，一学期后计算思路及人数统计数据如表2.
2. 调查研究结果分析
（1）使用有理数加法法则进行运算的准确率远高于其他方法
调查显示，学习有理数加法法则之前，学生的计算方法繁杂多样，但利用法则进行加法运算的学生为9人，占学生总人数的0.09%;学习完该节课的内容之后，有85%左右的学生运用有理数加法法则进行运算. 然而，就目前的情况来看，严格按照有理数加法法则运算步骤进行有理数加法运算的学生占比不高，一些学生还没有养成使用有理数加法法则运算的习惯，继续沿用以往的运算习惯.
（2）学生在学习有理数加法法则前已基本具备数形结合意识
超过10%的学生在学习有理数加法法则之前就已经可以利用数轴解决有理数加法问题，且对“0”这个有理数的几何意义有非常清晰的理解. 这些前序知识的积累为本节课进一步培养学生的数形结合思想奠定了坚实的基础. 初一的学生正处在具体运算阶段向形式运算阶段过渡的时期，学生已挣脱具象思维的束缚，开始逐步形成抽象逻辑思维，学生此时萌发出的数形结合意识急需得到教师的引导和肯定. 学生所处的这种特殊发展阶段，极大地缩短了学生独立解决问题的真实发展水平与在教师指导或同其他同学合作情况下解决问题的潜在发展水平之间的差距.
（3）学习有理数加法法则前后，“轉化为相反数”的方法使用率降低最多
数据显示，在有理数加法法则学习之前，有近20%的学生尝试运用该方法进行有理数的加法运算，这是使用率最高的一种算法. 这种算法的本质是将正数与负数的加法运算转化为两个正数之间的减法运算，运用了转化与化归思想，将涉及负数的“陌生问题”转化为两个正数之间的运算，即把“陌生问题”转化为“熟悉的问题”. 学习有理数加法法则后，这种算法的使用率为3%左右，降低了近17%，这说明转化与化归思想已经逐步在学生学习有理数加法法则之后得到深化，已融入法则的应用当中.
（4）学习有理数加法法则前后，“省略‘+号”的方法使用率也有所下降
通过统计学生的计算方法，笔者发现，学生对“+”“-”号的意义理解得不够透彻. 对于直接将“+”号省略进行运算的方法使用率，学习有理数加法法则前后降低了10%左右，这说明学生在学习有理数加法法则之前对有理数加法的运算对象认识不清晰，学习完有理数加法法则之后，仍没有完全消除这种运算对象模糊的现象. 若教师能在学生学习法则时对有理数加法的运算对象进行强调，加深其对“+”“-”号意义的理解，则会帮助学生认识有理数加法的运算本质，从而为有理数加法法则的正确运用奠定有力的基础.
教学启示
1. 构建背景支架，明晰法则的来龙去脉
奥苏伯尔的研究表明：学习的实质是学习者使具有潜在意义的新知与其原认知结构建立实质性的联系，进而扩建新认知结构的过程. 可见，新的知识总是基于学生已有的旧知而建立起来的. 因此，在教学中构建背景支架，有利于学生找准新、旧知识的连接点，能唤起与形成新知识相关的旧知，从而使学生的原认知结构对新知的学习具有某种“召唤力”. 学生学习本节课之前，已有的学习经验是小学阶段的算术数（绝对值）、有理数及相关概念，主要包括数轴、相反数和绝对值三个部分. 基于张奠宙教授关注的“超经验数学”的教学研究[1]，我们可以舍弃一些伪情境对本课主要研究课题的干扰，直击问题，从“相反数的和为0”出发，归类研究不同情形的两数求和问题. 特别地，要能说清符号不同两数求和的算理，利用运算律、相反数的和为0的性质进行推证，这样不仅能得到符号不同的两数相加的法则，而且有一定的“数学味”（证明的味道），能帮助学生明晰有理数加法法则的来龙去脉，于潜移默化中提升学生的数学核心素养.
2. 构建直观支架，理解法则的数学本质
国外相关研究表明，学生在小学阶段对自然数加法意义的认识和算理的理解不够深入，导致在初中阶段对有理数加法的理解存在认知困难. 对于有理数的运算，不仅要会正确运算，而且要明晰算理，能说出运算中每一步所涉及的概念、运算定律和运算法则. 对于有理数的运算教学，教师不能只关注学生能否正确运算，还应充分挖掘其教学价值，以促进学生思维的提高和发展. 比如课本中的第一个情境是足球比赛得分问题，备课时我们就应该思考如下问题：它的本质是什么？作用是什么？任何一个生活情境的解读都必须体现借助生活现实、完成数学抽象、利用逻辑推理这三大过程，这也是基于数学学科核心素养的生活情境解读之道[2]. 在逻辑推理环节，教师可引导学生借助数轴探究并归纳有理数加法法则，学生则依据这个直观平台进行分析，于是容易获得两个不同有理数相加的结果. 接下来，教师不要急于肯定学生的答案，而应追问：这个结果合理吗？“-”“+”是什么意思？绝对值又代表什么？在教学中，教师应注重培养学生运算有据的推理意识，发展学生的推理能力，理解法则的数学本质. 最后，在归纳解决问题的过程中，渗透算法思想，进一步强化规则的重要性[3].
3. 构建情感支架，体悟法则的通解通法
上文中的研究数据统计结果显示，学习有理数加法法则之后，还有很多学生坚持用自己的方式进行有理数加法运算，导致在有理数加法运算中出现错误，且对有理数运算的理解水平偏低. 针对这种现象，国内学者对其展开了一些调查研究. 王传兵在研究报告中指出，七年级学生对“+”“-”号的3种意义（即表示运算符号，表示正、负数的性质符号，“-”号还可以表示相反数）的理解存在一定困难[4]. 胡赵云研究发现，七年级的学生甚至八年级的学生学习了有理数加法法则之后，仍然倾向于将有理数的加减法运算转化为自然数的加减法运算[5]. 由此可见，引导学生意识到他们的方法只能解决有理数加法运算中的部分问题，负数引入后，急需探索一种通解通法用于解决所有类别的有理数相加问题，从而让他们体悟有理数加法法则学习的必要性. 德国教育学家第斯多惠说：“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞. ”有效的情感支架对学生的学习过程具有非常明显的推动作用，因此，教师应采取各种手段创设情感情境，让学生以饱满的热情参与到学习当中，乐于使用有理数加法法则解决有理数加法问题.
4. 构建迁移支架，挖掘法则的应用延伸
苏联著名教育家斯托利亚尔在《数学教育学》一书中指出：“数学教学是数学活动的教学.”在数学教学中设置一定的延伸性数学活动，构建迁移支架，能使学生从教师的分析、引导中懂得怎样变更问题，进行联想、类比、迁移等. 比如在最后的有理数加法法则运用环节，可以做一个延伸，具体题目如下：
例1 用“>”或“<”填空.
（1）如果a>0，b>0，那么a+b_____0;
（2）如果a<0，b<0，那么a+b_____0;
（3）如果a>0，bb，那么a+b_____0;
（4）如果a0，a>b，那么a+b_____0.
例2 请根据式子（-4）+3，举出一个恰当的生活实例.
对有理数加法法则的延伸，既能加深学生对法则的理解，又能扩大法则的应用，还能使学生切实提升基础知识的深度与广度. 从法则的价值来看，学生需要体悟的不仅仅是法则的运用，它的探索过程同样值得借鉴，能为接下来有理数的运算学习提供范式. 因此，在构建迁移支架时，需要在法则探索过程中适当融入数学思想方法. 经历有理数加法法则的延伸教学，学生可以灵活运用法则，促进思维从低阶思维向高阶思维发展. 在教学过程中，教师要引导学生认真分析、大胆创新，既要注意有理数加法法则的综合应用，又要善于把法则和其他内容进行有机联系，实现深度学习.
参考文献：
[1] 张奠宙. 关注“超经验数学”的教学研究[J]. 数学教学，2015（08）.
[2] 浦叙德. 初中数学教材中“生活情境”的解读之道[J]. 中学数学，2019（08）.
[3] 王红权，李馨. 从系统的观点看一元二次方程的解法教学设计[J]. 数学教育学报，2019（03）.
[4] 王传兵. 七年级学生对负数概念的理解[D]. 华东师范大学，2007.
[5] 胡赵云. 立足学生原有认知结构? ?重构有理数加减运算[J]. 数学教育学报，2004（04）.
