从高一配方法教学中看高中普通生抽象思维的培养
罗柳英
【摘要】配方法是高中数学学习中常见的方法，随着高中数学知识的深入，初中所学的配方方法不能满足高中学习的需求.通过对比试验发现，优秀学生可以自学适应高中学习，但是普通高中校普通学生却需要数学教师的专项训练，而且这种专项训练需要分层进行.第一层，掌握对二次三项式的配方方法;第二层，把换元法与配方法结合;第三层，先恒等变形，然后换元，最后配方求解.因此，对于普通高中校普通班学生来说，配方法的学习不仅仅是运算能力的培养，同时也是帮助学生逐步体验数学抽象思维形成的过程.普通生数学抽象思维的培养需要数学教师的智慧与策略，对学生抽象思维的形成过程先降低起点，搭建台阶并分解动作，让学生拾级而上，同时放慢节奏降低难度，一步一个脚印地落实.虽然教学进度慢点，只要教师方法得当，抽象思维能力和运算能力的提升也能达到预期的目标.
【关键词】配方法;抽象思维;运算能力;普通高中;对比试验
一、背景介绍
《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出，高中数学六大核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析.其中，数学抽象与数学运算是高一数学学习中最重要的两个方面.也是決定初、高中衔接中数学学习能否顺利度过的关键.本文对普通高中高一配方法教学进行了对比试验，目的是研究学生抽象思维与数学运算能力提升的途径，寻找帮助学生快速提升数学学习能力的方法.
配方法是指将一个式子（包括有理式和超越式）或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和.这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一.高中数学中这种解题方法可广泛应用于因式分解、解方程、代数求值等，特别是求函数值域，证明不等式等数学问题离不开配方法.也是提升学生运算能力的有力手段之一.
高中数学学习中配方法与其他方法比较，显然是微不足道的方法，常常被忽视.高中生需要对含指数式、对数式、根式、三角函数等复杂的函数式配方.优秀生在初中已经掌握基本的配方法，并且在高中学习中不断自我完善与提升.但对于基础较差的学生却有着无穷的烦恼.因为高中教师不讲，就直接用，自己又不会，特别是把高中数学知识加入后的配方更是无从入手.所以，他们只能死记公式，慢慢地，部分高一的学生就跟不上了.从而导致高一数学成绩的剧烈分化，好的越学越好，差的越来越差.
对于普通高中校普通班学生来说，配方法的学习不仅仅是运算能力的培养，同时也是帮助学生逐步体验数学抽象思维形成的过程.特别是当二次三项式与根式、指数式、对数式、三角函数等结合时，更能体验数学的抽象思维形成过程，帮助普通学生提升抽象思维能力.
数学核心素养包括数学抽象、数学运算等，可以说数学的抽象性，决定了数学思维的核心形式是抽象思维.数学对象都是抽象思维的产物.数学教学除了知识的传授，更重要的是帮助学生体验数学的抽象过程，提升学生的抽象能力，提高数学素养.
二、对比试验
笔者在普通高中校，所教两个班级学生数学基础差距比较大，A班数学基础较好，B班级数学基础较弱，便于做对比试验.为了扫除学生高中学习障碍，初、高中衔接时统一安排了配方法教学.
两个班级的学生基本状态是：初中所学的配方法只记得公式法，对二次项系数不是1的二次三项式不会配方，而且对于非整数运算有排斥性.经过初、高中衔接课的学习，学生基本上掌握了对二次三项式的配方方法.
考虑到较弱班级B班学生的抽象思维能力的不足，安排在学习完成指数函数、对数函数后进行第二次配方法的教学，以及学习完三角函数后安排第三次配方法教学.A班按正常高中数学进度进行日常教学，没有另外再进行配方法的教学.经过一年的试验，发现B班学生配方法学习效果好，学生的抽象思维能力显著提升.下面把试验情况汇报如下：
（一）理解配方的基本方法，养成配方习惯
高一新生初、高中衔接教学，配方法是常规课.课前对所教两个班级74人进行调查，结果如下：
从调查结果看，有超过60%的学生不会配方.特别是二次项系数不是1，对称轴不是整数的问题.同时，了解到大部分学生对问题（1）配方只是套用公式ax2+bx+c=ax-b2a2+4ac-b24a，自己不会灵活配方.所以说，初中掌握的配方法不足以适应高中数学的学习需求，需要在高中进一步巩固与提高.于是在初、高中衔接时安排了两个课时配方法教学训练.经过学习，学生基本上掌握了配方法，知道了对于二次式可以通过配方进行恒等变形为完全平方式.对于二次项系数不是1的二次三项式基本上可以进行配方，更主要是养成了对二次三项式配方的习惯，为后续学习打下基础.
（二）配方法与换元法结合，学生思维的第一次飞跃
对数学的抽象性的领悟是高中学生数学学习能力的分水岭.数学抽象素养高，则能力强，成绩就好，否则数学成绩差.因为数学抽象能力不强，造成对数学公式中的字母含义理解不清.例如，y=ax2+bx+c都知道如何配方.但是当公式中的x被其他数学式代替时，大部分学生不能接受，更不会把配方法迁移到其他知识上.
在完成了指数函数与对数函数教学之后，需要求复合函数的值域，如求函数f（x）=22x-2x+3的值域，但是学生不会，所以在B班安排了把换元法与配方法结合的小专题课.A班由于基础较好，没有单独安排，但是教学中已讲授了把换元法与配方法结合的方法与例题.两个班做的对比试验如下：
从实验结果可以看出，两个班的学生对于单纯的配方方法已经掌握.A班由于教师没有系统讲解，但有55.3%的学生抽象水平高，能自觉把2x或log2x抽象成t，然后把问题转化为y=t2-3t+3的值域，然后通过配方求解.其中47.2%学生发现了t=2x中t>0的限定条件，把问题圆满解决.这部分学生数学学习能力强，抽象思维水平高，所以运算能力强.
B班由于教师的进行了专项训练，79%的学生能接受把2x或log2x抽象成t，然后进行配方求出复合函数的值域.但是还有21%的学生没有掌握.学生说，自己上课听明白了，但是考试时忘记了.其真正的原因是这部分学生数学抽象思维能力差，虽然上课时教师讲的听懂了，但是没有从本质上接受二次三项式中的x可以用其他任何数学量代替这种抽象思维品质.事实证明，这部分学生在学习其他数学公式时也不会灵活运用，比如初中学习的完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2中把a换成x+1后也不会运用.只有使其真正接受数学中所有的公式、定理中的字母都是从具体中抽象出来的，也是可以被代替的，从根本上提升他们的抽象能力和运算能力.
（三）先做出判断再配方，实现思维的第二次飞跃
配方法只是众多数学方法中的一种，随着学习的深入，配方法的利用没有那么明显，需要学生自己先做出判断，然后再决定是否利用配方法解题.在学习完三角函数知识，B班进行专题训练后，为了了解学生配方法能力，進行第三次检测：
从调查结果可以看出，配方法不再是本问题的难点，本问题的难点是解决好下面四个问题：①判断是否需要配方？②把谁当作自变量t进行配方？③此自变量t的取值范围是什么？④t的取值范围对函数值域有什么影响？这实际上是学生思维的四个层次.层次越高难度越大.本次检测的三个题难度递增.
问题（7）只需要令t=sin x然后对t进行配方.两个班准确率都很高，其错误主要是对于-1≤t≤1对函数值的影响不明确.这是属于第二个层次的思维难度.对于问题（8），首先需要把函数进行消元转化为二次型函数，y=1-sin2x-3·sin x+3=-sin2x-3·sin x+4;第二步是换元，令t=sin x;第三步是配方;第四步是根据t的取值范围求出函数值域.本题还需要熟悉三角函数公式，难度较大.
问题（9），首先需要学生具有敏锐的观察能力，能发现常见式子x+1x与x2+1x2内在隐藏的关系，把复杂问题转化为二次型问题;第二步进行换元，令t=x+1x;第三步，对t进行配方，从而进行推理运算：y=x2+1x2-2x-2x+3=x+1x2-2x+1x+1=x+1x-12.问题（9）是一个拔高题，虽然在指数函数学习期间，学生学习过x+1x与x2+1x2的关系，对于普通校的普通学生，能把以前知识迁移到配方法中来，并且有55.2%的学生能正确解答是非常了不起的.说明学生在配方法的学习期间观察能力和抽象能力都等到了大幅提升.
从三次配方测试成绩看，学生配方能力提升快，运算能力大幅提升.最关键的是学生的抽象思维水平提高了，能从本质上理解数学公式中字母的抽象性.为今后公式教学扎实了基础，也提高了思维的抽象能力.
三、培养学生抽象思维的策略
从配方法的教学来看，普通学校普通学生的抽象思维能力是可以培养的.但是这种培养过程需要教师的智慧与耐心.
首先，他们思维起点低，需要教师在学习新知识前补齐短板知识.由于数学基础弱的学生基础知识缺失多，而且运算水平低，很多时候是高中知识刚刚学会了，但是要用到的初中知识没有掌握，所以经常需要根据实际情况补充初中学习的知识.
其次，他们的思维跨度小，需要教师分解思维层次，给学生搭建更多的台阶，让学生的思维自然而然地拾级而上.数学基础弱的学生往往是没有掌握思维方法，不知道如何想，更没有形成思维习惯，所以数学教师应该一步一步教学生如何思考，特别是教可以操作的思考方法.比如看到有二次和一次式可以想到配方法.教会学生眼睛看什么，脑子想什么的可以操作的思维方法，慢慢地培养思维方法与思维习惯.不可以操之过急，否则，一事无成.
再次，节奏要慢，对于普通生来说，学会一个先巩固落实，才能学下一个.而且要把他们在学习过程中遇到的所有可能困难都预设好，设计好，让学生一步一步向前.比如，配方时，笔者没有想到学生对非整数的排斥心理（小升初数学没有适应）.但是高中数学不可能都是整数，所以要经常有意识让学生接受非整数的运算训练，帮助学生适应高中数学学习.
最后，降低难度小步走.小步走比不走好，学生可以选学校，但是教师一般不可以选学生.我们可以把数学教学分成多个层次，一步一步，只要天天有进步就可以成功.比如配方法，经过一年的教学，学生们掌握得很好了.
总之，普通生的数学思维关键在于教师让学生动起来，学起来.不会可以学，一层一层，一点一点学起来.老师教学生们听得懂的，学得会的，可以操作的数学思维.
【参考文献】
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