挖掘图形特征 凸显问题本质

    施平

    

    

    

    [摘 ?要] 试题命制源于教材，以课本资源为载体，从学生已有的活动经验出发，关注提升数学核心素养;试题的命制过程，是经历从原始框架到几易其稿，再到最终定稿的蜕变过程;依托图形的性质进行深层次的挖掘拓展延伸，揭示问题的本质特征.

    [关键词] 试题;命制;生成;思考;延伸

    笔者有幸多次参与本县市统一考试数学试题命题工作，在试题的命制过程中逐步掌握一些命题技术、原则和技巧;对于本道题的命制，基于图形的基本特征，借助“几何画板”的动态与度量功能，持续挖掘，不断增强试题与预设目标的契合度，经历了反复权衡、不断斟酌、抽丝剥茧、凸显内涵的过程. 以下笔者将对试题如何生成、命题过程中的思考以及试题拓展延伸讲一些体会，与同行交流.

    试题展示

    如图1，菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=α（0<α≤90°），E为BD上的一个动点（不与B重合），BE<de，连结ce并延长交da延长线于点f.

    （1）求证：∠AFE=∠BAE.

    （2）若α=60°，

    ①当△AEF为直角三角形时，求BE的长;

    ②点M为BE的中点，求CE+ME的最小值.

    

     命题立意及来源

    （一）命题立意

    本试题的命制，借助几何基本图形的特征，将导角问题、特殊三角形存在探究问题、最值问题、相似、圆等有机融合一起，力求既能深度考查初中数学的核心知识，又能综合考查数学基本思想方法的运用;既能提升学生数学核心素养，又能挖掘学生后续的数学学习能力.

    知识层面：着重考查平行线的性质、全等三角形的性质判定、角平分线性质、菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形三边关系、垂线段最短等;

    思想层面：试题渗透转化、数形结合、分类讨论、方程函数、特殊与一般的思想;

    能力层面：力求提高抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意識;

    素养层面：关注提升学生的逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养.

    （二）原始模型

    命制时选取的素材是人教版八年级下册第十八章56页的例3，通过这个例题给我们启示：赋予菱形一个内角度数和边长，即可求出其他的元素，包括其他边、其他角、两对角线长，菱形的高、周长、面积等.

     试题的生成与解析

    菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形所有的性质，同时菱形又有一个很重要的本质特征——对称性. 基于此，本道试题就以菱形为基本图形，通过菱形的对角线特征（垂直平分、平分对角），利用菱形的对称性，如图2在对角线BD（对称轴）上任取一点E，设置BE <de，是为了控制点e在bd上的活动范围，让点f在菱形的外部，也为后面一系列问题的设置进行了预设;如图3，连结ae、ce，在e运动过程中都有三角形对称全等，也就有对应的线段或角相等;如图4，延长

    

    

    

    1. 点E在运动时，∠AFE在变化，但由于平行关系，∠AFE恒等于∠FCB，而∠FCB=∠BAE，导角得出角之间的相等关系，基于此思考，第一问设置了一个两角相等的证明问题.

    2. 赋予∠ABC=60° ，几何画板上拖动E点，在运动变化过程中观察△AEF，其特征是点A定，点E和点F在动，在某个位置可能出现特殊三角形，进而可以设置三角形的存在探究型问题，而特殊三角形的指向可能是直角或等腰三角形，引发学生分情况讨论直角三角形存在的可能性. 图形定性后考查线段或角度的定量，探究直角三角形下边角之间的特殊关系，可直接计算或通过设元利用勾股定理将问题转化，实现从定性到定量的有效融合，通过由静到动的过程拓宽试题的广度，设置存在探究性问题达到思维路径和解决策略的开放性.

    3. 菱形中的最值问题常围绕“菱形的高”去命制，本问对高进行拆分，看成由两线段AE和EH构成，AE通过对称可转化为CE，EH可利用直角三角形30度的特殊边角关系与ME进行互化，并利用菱形的对称性、两点之间线段最短（三角形三边关系）或垂线段最短将两线段最值问题转化为单线段（即菱形的高）最值问题.

     试题的拓展延伸

    在命完上述问题后，仔细琢磨这个图形，借助画板继续挖掘图形特征，笔者尝试在原题基础上做变化拓展延伸.

    1. 延伸1：对于原题的第一问（求证两角相等），结合一个公共角相等，可进一步发现△AEG∽△FEA，即由此可拓展延伸为：求证AE2=EG·EF，或由于对称性得到AE=EC，可设置问题“探索EC，EG，EF三条线段的数量关系，并说明理由”.

    2. 延伸2：原题的第二问设置了直角三角形的存在探究类问题，尝试拓展为：当△AEF为等腰三角形时，求BE的长. 这里同样需要分情况讨论.

    简解 ?（1）若FA=FE，如图5，可求得∠F=20°，进而得出∠EAO=40°，并将BE转化，进而可求出BE=OB-OE=2 -2 tan40°;

    （2）若AE=AF，如图6，可求得∠F=40°，进而得出∠EAO=20°，并将BE转化，即可求出BE=OB-OE=2 -2tan20°;

    

    （3）若EA=EF，出现∠EFA=∠FAE=∠BAE的情况，即∠FAB=0°，与已知产生矛盾，故这种情况不可能存在.

    这里发现一个遗憾：就是求BE的长时要用到非特殊角的三角函数，学生解答时应提供给其具体数据，并且答案要取近似值.

    3. 延伸3：如图7，原题中的第二问（直角三角形），当∠AEF为直角时，可得出∠AEC为直角，此时若把∠AEC看作圆周角，此时AC应为直径，由此可设置问题“当点E在以AC为直径的圆上时，求AF的长”.

    简解 ?可将此问题化归为原题中的第二问（直角三角形存在问题），再通过相似求出AF.

    4. 延伸4：以上研究△AFG的存在探究问题，尝试研究其周长或面积，拖动点E，发现其面积随着点E的变化而变化，受此启示，尝试渗透“函数”思想，如图8，设AF=x为自变量，△AFG的面积y为因变量，设置问题是“求y与x的函数关系式”.

    简解 ?由于AF∥BC，因此△AFG∽△BCG，设△AFG的高为h， = ，h= ，进而表示出面积.

    5. 对于第三问的最值问题可拓展为：隐去中点M，改变问题的形式，将原问中的系数为1的两线段相加变式为系数不等的两线段相加，考查学生思维应变能力，这个问题与原题本质相同，形式不同，关注考查学生对 BE如何合理转化，这就出现了延伸5的问题：求CE+ BE的最小值.

    6. 在此基础上，将α的度数进行变化，当α=90°时，如图9，此时菱形就为正方形，问题拓展为：求CE+ BE的最小值，从60度变化为90度，即从菱形变为正方形，如图9，探究对 BE如何转化. 再将问题一般化，α角是一个任意角呢？如图10，求CE+BE·sin 的最小值，设计意图是将BE·sin 转化为EH，CE转化为AE，化折为直，化斜为直，从特殊到一般将问题逐步推向深处.

    7. 延伸7：对于最值问题，利用菱形的对角线特征，在此图形中还可做如下的延伸拓展：如图11，取DE中点N，求CM 2+CN 2的最小值.

    简解 ?设BM=x，ME=BM=x，CM 2=OM 2+OC 2=（2 -x）2+22，CN 2=x2+22，CM 2+CN 2=（2 -x）2+22+x2+22=2x2-4 x+20=2（x- ）2+14，当x= 时，CM 2+CN 2的最小值为14.

    8. 延伸8：受到上述启发，两线段平方和的最值可求，那么两线段的和是否存在最值呢？如图12，由于M，N分别是BE，DE的中点，BD是定长，MN也是定长，基于此思考，还可设问：“取DE中点N，求△CMN周长的最小值”.

    现将两种解法呈现如下：

    解法1 ?可将CM+CN转化为含x的两根式相加，进而再转化成平面直角坐标系中两点的距离问题.

    解法2 ?如图12，过点C作CP∥MN，且CP=MN，易得到？荀MNPC，从而CM+CN=CN+NP，而A，C两点关于BD对称，即转化为AP的长，将“一定两动”转化为“两定一动”问题，而MN为定长，从而三角形周长最小值问题得以解决.

    9. 延伸9：进一步挖掘图形特征，如图13，∠ABC为任意锐角，在∠F=∠BAE已证的基础上，而这两角为一线上的两等角，试想如果∠ADB=∠F=∠BAE，这个图形就具备“一线三等角”的图形特征. 顺着这个思路往下走，若∠ADB=∠ABD=∠BAE，相当于EA=EB=EC，因此就加了一个条件：动点E为△ABC的外心，在此前提下，可发现△ADE∽△GFA. 又△GFA∽△GCB，所以△ADE∽△GCB. 这两个三角形中，AD与BC均为已知边，且不是对应边，因此就有了结论：DE·CG为定值.

    简解 ?因为E为外心，可知EA=EB=EC，这就有∠EAB=∠ABE=∠ADE=∠AFG，从而△ADE∽△GFA∽△GCB，所以 = ，DE·CG=AD·CB=4×4=16.

    10. 延伸10：如图14，当动点E为△ABC的外心时，发现∠AFE=∠ABE，看到了A，F，B，E四点在同一个圆上，只是“共圆”的证明过程较烦琐，回避这个问题. 从另一角度可以看到△AFG∽△EBG，再进一步得出△AEG∽△FBG，进而得到∠GAE=∠GFB=∠AFG，基于以上这些分析，可设置问题：“求证：EF平分∠AFB”.

    简解 ?E是外心时，可知EA=EB=EC，可得∠EAB=∠ABE=∠AFE，进一步得到△AFG∽△EBG，就有 = ，依此可发现△AEG∽△FBG，从而就有∠GAE=∠GFB=∠AFG，所以EF平分∠AFB.

    命题反思

    （一）重视教材，关注学生发展

    试题应对一线教学具有一定的导向作用与指导价值，引领老师们重视教材，创造性运用教材，引领老师们反思教学，树立以发展学生核心素养为导向的教学意识，在课堂教学中关注知识的内涵，知识间的内在联系，关注几何图形变化过程中的不变性，关注分类讨论转化思想的渗透.

    （二）关注能力，提升素养发展

    试题源自教材例题、习题，依托图形特征，利于学生找到解决问题的切入口，学生会有似曾相识的感觉，因此可以有效激发学生的主动探究欲望，促进学生的数学思考，在思考的同时关注其能力的发展;同时试题的设计、拓展问题的设置实现了数学内容、思想、方法的高度融合、运用与考查. 试题的解决，需要学生具有逻辑推理、直观想象、数学建模、数学抽象、数学运算等数学核心素养.

    （三）恒久坚守，不断追求卓越

    数学命题过程辛苦而又孤独，常常是独自一人闭门而思，往往是长时间的不懈思考，为寻求好的问题经常绞尽脑汁，对身心是极大的挑战. 这就需要恒心毅力，以高标准严格要求自我，突破自我，超越自我，把命题过程当作是一次惬意的旅行，不在乎目的地，在乎沿途的风景. 多年的堅守只为了不断追求卓越，命题路漫漫，无畏路途的崎岖，只因初心不改！