一类线段最小值问题的解法探讨
马永庆
【摘要】本文从一道西藏中考题入手，分析其题目特点、解题规律，并归纳出一类线段最小值问题的解题思路，渗透了寻找运动轨迹的解题策略并加以训练，使学生通过某种图形结构联想到动点的轨迹是一个圆或者圆的一部分，动点必须是到定点的距离等于定长时的动点.线段最小值有三个基本事实，一是“垂线段最短”，二是“三角形两边之和大于第三边”，或者说“两点之间线段最短”，三是“圆外一点到圆上各点中，这个点与圆心连线与圆的交点和圆外这个点距离最小”.
【关键词】线段最小值;运动轨迹;隐形圆
2020年西藏中考数学试题的第18小题是一道动态几何题，由三角形的折叠过程提供点的位置變化，由点P的位置变化导致点F的位置改变以及CP长度的变化，而在这个变化过程中蕴含着点F位置变化的规律：点F永远在一个圆上运动，从而将变与不变有机统一起来.动态变化的过程增加了问题的难度，许多基础较差的学生望而却步，因此这一道综合能力检测题就具有了较高的区分度.此题呈现在西藏自治区试卷中，标志着西藏中考命题水平的提高，反映出初中数学命题对学生创造性思维品质的要求.
这道试题把折叠、线段最短、动点等三条信息有机地融合在一起，以折叠为外衣，动点为本质，寻找到点F的运动轨迹就能将线段最短问题转化为两点间距离.要想解决此题，必须要从读题中获得数量关系：EA=EB=EF，也就是找到点F在以AB为直径、以E为圆心的定圆上运动的规律，这是解题的关键.分析题目条件、发现和探索F点的运动轨迹的过程是有创造价值的思维过程，其综合性、创新水平也属于比较高的，考查学生较强的探究能力和思维基础.在找到思路的瞬间，稍加计算，无须太多的推理，就能轻松得分.
图12020年西藏第18题：如图1，在矩形ABCD中，E为AB的中点，P为BC边上的任意一点，把△PBE沿PE折叠，得到△PFE，连接CF.若AB=10，BC=12，则CF的最小值为.
解析：∵点E是AB的中点，∴EA=EB.
∵把△PBE沿PE折叠得到△PFE，∴EF=EB，
∴EA=EB=EF，
∴点F在以AB为直径的圆上，圆心为E（如图2）.
如图3，连接CE交⊙E于点F1，CF1的长度即为CF长度的最小值.
∵EA=EB，AB=10，∴EB=5.又∵BC=12，且∠EBC=90°，
∴CE=EB2+BC2=52+122=13，
∴CF1=CE-EF1=13-5=8，∴CF的最小值是8.
从最值类型上看，这道西藏中考题属于“圆外一点到圆上各点距离”的最小值问题，其实它也是“两点之间线段最短”的具体运用.为了让大家能够归纳出这类题型的特点，下面再欣赏几道中考题.
2020年四川绵阳中考数学试题第17题：如图4，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=60°，AD=BC=CD=4，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD=90°，则点M到直线BC的距离的最小值为.
解析：如图5，延长AD，BC相交于点P，作MH⊥PB 于H.
∵AB∥CD，∴PDAD=PCBC，∠ABC=∠DCP=60°.
∵AD=BC=CD=4，∴PD=PC，
∴△PDC为等边三角形，
∴PD=PC=CD=4，∠P=60°.
由∠AMD=90°，可知点M在以AD为直径、点E为圆心的⊙E上，且是四边形ABCD内的一个动点，
根据垂线段最短可知E，M，H三点共线时MH最小.
在Rt△PEH中，EP=6，∠P=60°，∴EH=6×sin 60°=33，
∴MH的最小值=EH-EM=33-2.
如果我们从最值类型分析，那么这道题属于“垂线段最短”这一性质的运用，这是它与西藏中考题的不同.还有一个不同点就是：它是用“90度的圆周角所对的弦为直径”这一命题来设计题目条件.“点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD=90°”让我们很容易想到点M在以AD为直径的圆上，而把它放到特殊的梯形中是另一种巧妙设计.与西藏中考题相比，它没有使用折叠来出示动点，它的动点M的轨迹更容易想到.至此，我们已掌握了此类线段最小值问题的特点与解题方法，它们的共同特点就是动点的运动轨迹都是一个圆，它们共同的解题思路也是找到这个圆.
2020年广西河池市中考数学试题第18题：如图6，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，AC=8，点D在AB上，且BD=3，点E在BC上运动，将△BDE沿DE折叠，点B落在点B′处，则点B′到AC的最短距离是：.
解析1：由折叠性质知，BD=B′D，无论E点位置如何变化，点B′到点D的距离是不变的，永远等于BD的长3，以D为圆心，以BD长为半径画半圆，点B′的轨迹是这个半圆的一部分.
如图7所示，过点D作DH⊥AC于点H，则B1H的长度就是点B′到AC的最短距离.
∵∠A=30°，∠B=90°，AC=8，
∴AB=AC·cos 30°=8×cos 30°=43.
∵BD=3，∴AD=33，
∴DH=AD·sin 30°=33×sin 30°=332.
又∵B1D=3，∴B1H=DH-B1D=332-3=32，
∴点B′到AC的最短距离是32.
解析2：如图8，过点D作DH⊥AC于点H，过点B′作B′J⊥AC于点J.
在Rt△ACB中，∵∠ABC=90°，AC=8，∠A=30°，∴AB=AC·cos 30°=43.
∵BD=3，∴AD=AB-BD=33.
∵∠AHD=90°，∴DH=1[]2AD=33[]2.
∵DB′+B′J≥DH，DB′=DB=3，
∴B′J≥DH-DB′=3[]2，
∴当D，B′，J共线时，B′J的值最小，最小值为3[]2，故答案为3[]2.
这个题就是前两个题的结合，如果问题改为求“B′C长度的最小值”就变成了西藏中考题.而将“直角三角形折叠”变为“直角三角形斜边不动，直角顶点运动”，这个题就变成了四川绵阳中考题.给出“解析2”的老师也是绞尽脑汁，没运用动点轨迹也解决得很圆满，他巧妙地运用“垂线段最短”直接锁定最小值，即“当D，B′，J共线时，B′J的值最小”.“寻找动点轨迹”和“直接确定最小值”都能解决此类题目.但相比之下，运用动点轨迹的做法更形象、直观，学生容易理解.
2020年广西贵港市中考数学试题第11题：如图9，动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，P是CD边上的一个动点，E是AD边的中点，则线段PE+PM的最小值为（? ）.
A.10-1?? B.2+1?? C.10?? D.5+1
解析：如图10，作出点E关于线段CD的对称点E′，以AB的中点O为圆心、以OA长为半径画个半圆，连接OE′，交半圆O于点M1，则PE加PM的最小值为E′M1的长.
∵AE′=AD+DE′=2+1=3，OA=1[]2AB=1，
∴OE′=AO2+AE′2=12+32=10，
∴E′M1=10-1，故选A.
试想一下，如果把这个中考题中的M点换成B点，那么这道题是多么平常的一道路径最短问题，其中点P是唯一动点，而当把M点变成有固定轨迹的动点，经典的线段和最小值问题就被转化为一个双动点的动态几何创新题.
如果将西藏2020年中考数学试题第18题进行变式，将“正方形”改成“菱形”，便可以得到下面的一道好题：如图11，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是.
解析：如图12所示，∵MA的长度保持不变，∴点A′的运动轨迹应是以点M为圆心、以MA的长度为半径的圆M的一部分，当A′运动到点C与圆心M的连线上时，A′C的长度最小，最小值就是A1C的长.
∵M是AD的中点，∴MA′=MA=MD=12AD=12×2=1.
过点M作MF⊥CD，交CD的延长线于点F，
∵菱形ABCD中，∠A=60°，AB∥CD，∴∠MDF=60°，
∴MF=MD·sin 60°=1×32=32，
FD=MD·cos 60°=1×12=12，
∴CF=CD+FD=2+12=52，
∴在Rt△MFC中，MC=MF2+CF2=34+254=7，
∴A1C=MC-MA1=7-1，∴A′C的最小值為7-1.
教师在教学中要渗透寻找运动轨迹的解题策略并对学生加以训练，这样才能使学生通过某种图形结构联想到动点的轨迹.如果动点的轨迹是一个圆或者圆的一部分，那么动点一定是到定点的距离等于定长时的动点.这样的动点一般为动态直角三角形的直角顶点，这个顶点到定点（辅助圆的圆心）的距离不变（等于斜边一半），这样的动点也可以用不确定的折叠过程来给出，被翻折的某条线段一端是定点，另一端则是动点.线段最小值有三个基本事实，一是“垂线段最短”，二是“三角形两边之和大于第三边”，或者说“两点之间线段最短”，三是“圆外一点到圆上各点中，这个点与圆心连线与圆的交点和圆外这个点的距离最小”，第三个也可由第二个得到.熟知这三个基本事实，并能找到动点的运行轨迹，此类题就会迎刃而解.
