结合全变分的双边滤波图像去噪方法研究
刘永财+鲍益东+王小平+陈文亮
摘 要： 图像去噪是数字图像处理过程中的一个重要步骤，它将直接影响到图像处理的最终质量。针对传统的全变分（TV）正则化去噪算法容易产生阶梯效应的缺点，利用双边滤波去噪算法在空间域和值域两个方面进行滤波的特点，提出一种结合TV模型的双边滤波方法，该方法能在一定程度上有效地改善阶梯效应。仿真实验结果表明，提出的去噪方法不仅能够获得较好的去噪效果，还能有效地保持图像的边缘特征信息，降噪效果明显。在较高水平噪声情况下，与TV算法相比，该方法针对小尺寸灰度图片（256×256）图像的峰值信噪比（PSNR）提高1.45 dB左右，大尺寸灰度图片（512×512）图像的PSNR提高2.56 dB左右。
关键词： 数字图像； 图像去噪； TV正则化； 双边滤波
中图分类号： TN911.73?34 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2017）17?0036?04
Total variation model based bilateral filtering method of image denoising
LIU Yongcai1， 2， BAO Yidong2， WANG Xiaoping2， CHEN Wenliang2
（1. College of Mathematics and Statistics， Qujing Normal University， Qujing 655011， China；
2. College of Mechanical and Electrical Engineering， Nanjing University of Aeronautics and Astronautics， Nanjing 210016， China）
Abstract： The image denoising， as a key step in digital image processing， affects the final quality of image processing directly. Since the traditional total variation （TV） regularization denoising algorithm is easily to produce the staircase effect， a bilateral filtering method based on TV model is proposed to eliminate the staircase effect to a certain extent， in which the filtering characteristics in the aspects of spatial domain and value domain are considered. The experimental results show that the denoising method can obtain better denoising effect， reserve the edge feature information of the image， and has perfect denoising effect. In comparison with PSNR obtained with TV algorithm， the PSNR of the gray image with 256×256 size is increased by 1.45 dB， and the PSNR of the gray image with 512×512 size is increased by 2.56 dB.
Keywords： digital image； image denoising； TV regularization； bilateral filtering
0 引 言
隨着遥感数字设备及计算机技术的飞速发展，数字图像已经在航空航天、机械工程、医学、视频监控等领域中得到广泛的应用。由于受到器材材料以及大气等内外部因素的影响和干扰，导致形成的数字图像中存在噪声，而噪声会对后续的图像操作带来诸多不利的影响。图像去噪是指去除图像中的噪声信息恢复图像的原始信息，它是图像处理过程的重要组成部分，图像去模糊，图像融合以及图像识别等结果都直接依赖于图像去噪的质量结果。
假设图像噪声是高斯白噪声，相应的图像去噪问题可以归结为关于原图像的二次泛函积分形式的极值问题，但是其Euler?Lagrange方程是一个病态不适定问题[1]。为了克服不适定性问题，不少学者考虑在优化目标泛函上增加正则项来建立优化模型[1?3]。其中，全变分正则化（Total Variation，TV）算法是应用最广泛的方法之一，增加的正则项除了能够消除病态不适定性外，还能够很好地保持图像的边缘特征细节。TV正则化模型虽然能够很好地恢复图像的边缘特征信息，但还存在两个主要的缺点：一是在去噪过程中容易产生虚假边界，即阶梯效应；二是在去噪过程中存在边缘退化或对比度下降的现象[4]。针对TV法存在的上述两个缺点，不少学者在TV正则化模型的基础上做了进一步工作[5?6]。Meyer提出卡通纹理模型，这个模型对应的Euler?Lagrange方程中涉及到非光滑项，因此它的数值求解相当困难[7]。根据图像边缘在切线方向上梯度较小，在垂线方向上梯度较大的特点，基于TV正则化去噪结果，使用中值滤波的去噪方法对图像进行去噪处理，在有效去除噪声的同时能有效地克服阶梯效应[8]。中值滤波仅考虑距离空间中的差异性，没有考虑像素值之间的差异性，而双边滤波算法可以同时反映空间距离和像素值之间的差异来进行滤波。本文提出采用双边滤波算法结合TV正则化算法对图像进行去噪处理，该方法能在一定程度上改善阶梯效应，提高图片的去噪质量。最后采用该去噪方法对两张典型的噪声图片进行去噪处理，并通过比较去噪前后的峰值信噪比（PSNR，单位：dB）用以验证该去噪方法的准确性和有效性。
1 全变分正则化算法
加性噪声图像可以表达为下列形式：
（1）
式中：是观测图像；是原图像；是噪声变量，它以高斯白噪声为主，即期望为零，方差为定值的随机变量。该问题能够通过优化目标泛函来求解：
（2）
由于上述问题的病态不适定性，计算结果无法反映出原图像的性质。针对这一问题，文献[1]首先提出在优化目标泛函式（2）中增加TV正则项的ROF模型：
（3）
式中：是观测图像；表示在整个图像空间上的有界变差函数空间；表示总变差拟范数，当函数是光滑函数时，它等价于梯度向量长度的积分，即该正则项具有明确的几何意义，它能够很好地反映出图像中的边缘信息，数值越大，表明图像中的边缘信息越丰富；称为保真项，它代表恢复图像和含噪图像之间的逼近程度；是参数，用于调整保真项在整个优化目标中的权重，一般取值都较小。从目标泛函的两个组成项来看，该模型能够在去除噪声的同时，保持图像的边缘特征信息，较好地解决了去噪和边缘特征保持之间的矛盾。
目前求解TV正则化的离散化格式主要有三类方法：
（1） 直接求解法，将问题转化成Euler?Lagrange偏微分方程[1]；
（2） 对优化问题的对偶形式进行求解，该方法通过TV范数的对偶问题求解来实现问题的求解[2]；
（3） Bregman分裂法[3?5]，通过在优化目标泛函中引进辅助变量将式（2）转化为有约束的优化问题[4]：
（4）
相较于前两类方法，Bregman分裂法迭代过程中可以显式进行求解，占用的内存小，具有较快的计算速度和收敛速度等优势。因此，本文采用Bregman分裂法对式（3）进行求解。
2 结合双边滤波的全变分方法
全变分滤波算法虽然能够有效地去除图像噪声，但是容易在去噪图像中引入虚假边界，造成阶梯效应。双边滤波算法考虑距离和像素值两个方面的差异对图像进行加权滤波，它能够进一步去除图像中的虚假边界，提高去噪图像的恢复质量。
2.1 双边滤波算法
不同于中值滤波在加权时只考虑图像距离之间的差异，双边滤波算法在加权过程中还考虑像素值之间的差异。在双边滤波算法中，恢复图像像素值依赖于其邻域在距离和像素值两个方面关于邻域像素值的加权之和：
（5）
式中：是在处的恢复图像像素值；是在处的像素值；是距离空间上的高斯滤波函数，图像中的点与当前点距离越小，则其对当前点的影响就越大，它所占的加权系数也就越大，是像素值差异的高斯滤波函数，与当前点的像素值的像素的差越小的点，对当前点的影响越大，相应的加权系数就越大；分别表示距离空间和像素值空间的滤波半径。
2.2 方法实现
本文中涉及到的TV算法使用Bregman分裂方法求解[9?10]。
Bregman分裂算法：
Step1： 固定求解关于的优化问题
该问题的解析解为：
Step2： 固定求解关于的优化问题
由最优化的必要条件得：
该问题是一个关于求解的线性方程组问题，可以使用数值迭代法求解。
Step3： 更新
转至Step1，直至達到收敛精度。
Bregman分裂方法在每步迭代更新过程中，需要求解如下的非约束优化问题：
（6）
式中：变量可以通过解析解求解；变量可以通过共轭梯度法来求解，因此极大地减少了迭代的次数，求解效率提高。
双边滤波算法在更新图像像素值的过程中采用Guass?Seidel的更新迭代方式，它有效地利用了最近更新的像素值结果，能够加速方法的实现。
算法实现流程图如图1所示。
3 数值结果及分析
为了验证方法的去噪性能，采用峰值信噪比（PSNR）来评价去噪图像的恢复质量，它是原图像和计算求解的恢复图像之间的均方误差，相当于信号最大值的平方的对数值。在灰度图像处理中，PSNR的计算公式为：
（7）
式中：是去噪恢复图像；是原图像。PSNR的值（单位：dB）越大，表示去噪恢复图像的失真越少，图像恢复的质量越高，恢复的效果越好。
本文针对大量的图像进行了数值仿真实验，验证了方法的有效性。这里选取来自于Matlab图片库中的两幅不同尺寸的标准8位灰度图像cameraman（图像尺寸为256×256）和liftingbody（图像尺寸512×512）进行分析说明。
本文中涉及到的参数设置如下：Bregman分裂法的参数涉及到的线性方程组用共轭梯度法（CG法）进行求解，当算法前后两次迭代结果之间的相对误差小于10-3时，迭代终止。双边高斯滤波算法中核的边长，取为滤波核半径的一半，0.1。
表1是针对高斯白噪声方差分别是30，35，40，45的四种情况下的降噪处理结果。
从表1中可以看出，不同的噪声水平下，使用双边滤波对图像进行降噪的效果十分有限（PSNR增加1.30～2.20 dB），而TV降噪算法的降噪效果均表现良好（5.91～9.96 dB）。
在低水平的噪声情况下，本文方法较TV降噪算法降噪效果不明显（PSNR增加了0.33%和4.48%）。随着噪声的增加，本文方法比TV去噪算法的降噪效果明显，当噪声从30增加到45，PSNR值改变量分别从0.09 dB和1.38 dB增加到1.45 dB和2.56 dB。当噪声水平达到45时，cameraman降噪图像的PSNR增加1.45 dB，增加6.43%，liftingbody降噪图像的PSNR增加2.56 dB，增加10.86%，降噪效果得到明显提高。
图2是cameraman图像原始图像、噪声图像（噪声水平为40）、TV算法去噪图像和结合TV的双边滤波去噪图像。从图2中可以看出，结合TV和双边滤波方法的图像比TV算法的图像去噪效果更明显。
图3，图4分别给出了TV算法和结合TV算法的双边滤波方法对cameraman图像进行去噪结果的局部区域放大图以及liftingbody图像的噪声去除测试结果，从结果中可以看出，本文方法能够更加有效地去除噪声，去噪效果更明显。
因此，不管是从PSNR的客观结果还是从人眼观察的主观结果来看，采用结合全TV正则化的双边滤波方法要明显优于单独使用全TV正则化去噪算法或者使用双边滤波的效果。
4 结 论
本文针对TV去噪算法容易产生阶梯效应的问题，提出一种结合双边高斯滤波的TV图像去噪方法，它可以比较有效地解决TV算法产生的阶梯效应问题，与TV算法相比，能够更好地去除噪声。仿真结果表明本文提出的去噪方法降噪效果明显，图像质量也得到了明显的改善。与TV算法相比，在较高水平噪声情况下，使用本文算法小尺寸灰度图片（256×256）去噪图像的PSNR提高1.45 dB左右，大尺寸灰度图片（512×512）图像的PSNR提高2.56 dB左右。
参考文献
[1] RUDIN L I， OSHER S， FATEMI E. Nonlinear total variation based noise removal algorithms [J]. Physica D： nonlinear phenomena， 1992， 60（1/4）： 259?268.
[2] CHAMBOLLE A. An algorithm for total variation minimization and applications： special issue on mathematics and image ana?lysis [J]. Journal of mathematical imaging & vision， 2004， 20： 89?97.
[3] GETREUER P. Rudin?Osher?Fatemi total variation denoising using split Bregman [J]. Image processing on line， 2012， 2： 74?95.
[4] OSHER S， BURGER M， GOLDFARB D， et al. An iterative regularization method for total variation?based image restoration [C]// Proceedings of 2005 IEEE International Conference on Imaging System & Techniques. [S.l.]： IEEE， 2005： 460?489.
[5] NIKOLOVA M. Local strong homogeneity of a regularized estimator [J]. Siam journal on applied mathematics， 2000， 61（2）： 633?658.
[6] MEYER Y. Oscillating patterns in image processing and nonli?near evolution equations： the fifteenth dean jacqueline B. Lewis Memorial Lectures [R]. US： American Mathematical Society， 2001.
[7] OSHER S， SOL? A， VESE L. Image decomposition and restoration using total variation minimization and the norm [J]. Journal of chemical theory & computation， 2006， 2（6）： 1565?1574.
[8] 宋海英.基于总变分和中值滤波的图像去噪方法[J].现代电子技术，2011，34（14）：16?18.
[9] GOLDSTEIN T， OSHER S. The split Bregman method for L1?regularized problems [J]. Siam journal on imaging sciences， 2009， 2（2）： 323?343.
[10] CAI J F， OSHER S， SHEN Z. Convergence of the linearized Bregman iteration for ??norm minimization [J]. Mathematics of computation， 2013， 78（5）： 2127?2136.
摘 要： 图像去噪是数字图像处理过程中的一个重要步骤，它将直接影响到图像处理的最终质量。针对传统的全变分（TV）正则化去噪算法容易产生阶梯效应的缺点，利用双边滤波去噪算法在空间域和值域两个方面进行滤波的特点，提出一种结合TV模型的双边滤波方法，该方法能在一定程度上有效地改善阶梯效应。仿真实验结果表明，提出的去噪方法不仅能够获得较好的去噪效果，还能有效地保持图像的边缘特征信息，降噪效果明显。在较高水平噪声情况下，与TV算法相比，该方法针对小尺寸灰度图片（256×256）图像的峰值信噪比（PSNR）提高1.45 dB左右，大尺寸灰度图片（512×512）图像的PSNR提高2.56 dB左右。
关键词： 数字图像； 图像去噪； TV正则化； 双边滤波
中图分类号： TN911.73?34 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2017）17?0036?04
Total variation model based bilateral filtering method of image denoising
LIU Yongcai1， 2， BAO Yidong2， WANG Xiaoping2， CHEN Wenliang2
（1. College of Mathematics and Statistics， Qujing Normal University， Qujing 655011， China；
2. College of Mechanical and Electrical Engineering， Nanjing University of Aeronautics and Astronautics， Nanjing 210016， China）
Abstract： The image denoising， as a key step in digital image processing， affects the final quality of image processing directly. Since the traditional total variation （TV） regularization denoising algorithm is easily to produce the staircase effect， a bilateral filtering method based on TV model is proposed to eliminate the staircase effect to a certain extent， in which the filtering characteristics in the aspects of spatial domain and value domain are considered. The experimental results show that the denoising method can obtain better denoising effect， reserve the edge feature information of the image， and has perfect denoising effect. In comparison with PSNR obtained with TV algorithm， the PSNR of the gray image with 256×256 size is increased by 1.45 dB， and the PSNR of the gray image with 512×512 size is increased by 2.56 dB.
Keywords： digital image； image denoising； TV regularization； bilateral filtering
0 引 言
隨着遥感数字设备及计算机技术的飞速发展，数字图像已经在航空航天、机械工程、医学、视频监控等领域中得到广泛的应用。由于受到器材材料以及大气等内外部因素的影响和干扰，导致形成的数字图像中存在噪声，而噪声会对后续的图像操作带来诸多不利的影响。图像去噪是指去除图像中的噪声信息恢复图像的原始信息，它是图像处理过程的重要组成部分，图像去模糊，图像融合以及图像识别等结果都直接依赖于图像去噪的质量结果。
假设图像噪声是高斯白噪声，相应的图像去噪问题可以归结为关于原图像的二次泛函积分形式的极值问题，但是其Euler?Lagrange方程是一个病态不适定问题[1]。为了克服不适定性问题，不少学者考虑在优化目标泛函上增加正则项来建立优化模型[1?3]。其中，全变分正则化（Total Variation，TV）算法是应用最广泛的方法之一，增加的正则项除了能够消除病态不适定性外，还能够很好地保持图像的边缘特征细节。TV正则化模型虽然能够很好地恢复图像的边缘特征信息，但还存在两个主要的缺点：一是在去噪过程中容易产生虚假边界，即阶梯效应；二是在去噪过程中存在边缘退化或对比度下降的现象[4]。针对TV法存在的上述两个缺点，不少学者在TV正则化模型的基础上做了进一步工作[5?6]。Meyer提出卡通纹理模型，这个模型对应的Euler?Lagrange方程中涉及到非光滑项，因此它的数值求解相当困难[7]。根据图像边缘在切线方向上梯度较小，在垂线方向上梯度较大的特点，基于TV正则化去噪结果，使用中值滤波的去噪方法对图像进行去噪处理，在有效去除噪声的同时能有效地克服阶梯效应[8]。中值滤波仅考虑距离空间中的差异性，没有考虑像素值之间的差异性，而双边滤波算法可以同时反映空间距离和像素值之间的差异来进行滤波。本文提出采用双边滤波算法结合TV正则化算法对图像进行去噪处理，该方法能在一定程度上改善阶梯效应，提高图片的去噪质量。最后采用该去噪方法对两张典型的噪声图片进行去噪处理，并通过比较去噪前后的峰值信噪比（PSNR，单位：dB）用以验证该去噪方法的准确性和有效性。
1 全变分正则化算法
加性噪声图像可以表达为下列形式：
（1）
式中：是观测图像；是原图像；是噪声变量，它以高斯白噪声为主，即期望为零，方差为定值的随机变量。该问题能够通过优化目标泛函来求解：
（2）
由于上述问题的病态不适定性，计算结果无法反映出原图像的性质。针对这一问题，文献[1]首先提出在优化目标泛函式（2）中增加TV正则项的ROF模型：
（3）
式中：是观测图像；表示在整个图像空间上的有界变差函数空间；表示总变差拟范数，当函数是光滑函数时，它等价于梯度向量长度的积分，即该正则项具有明确的几何意义，它能够很好地反映出图像中的边缘信息，数值越大，表明图像中的边缘信息越丰富；称为保真项，它代表恢复图像和含噪图像之间的逼近程度；是参数，用于调整保真项在整个优化目标中的权重，一般取值都较小。从目标泛函的两个组成项来看，该模型能够在去除噪声的同时，保持图像的边缘特征信息，较好地解决了去噪和边缘特征保持之间的矛盾。
目前求解TV正则化的离散化格式主要有三类方法：
（1） 直接求解法，将问题转化成Euler?Lagrange偏微分方程[1]；
（2） 对优化问题的对偶形式进行求解，该方法通过TV范数的对偶问题求解来实现问题的求解[2]；
（3） Bregman分裂法[3?5]，通过在优化目标泛函中引进辅助变量将式（2）转化为有约束的优化问题[4]：
（4）
相较于前两类方法，Bregman分裂法迭代过程中可以显式进行求解，占用的内存小，具有较快的计算速度和收敛速度等优势。因此，本文采用Bregman分裂法对式（3）进行求解。
2 结合双边滤波的全变分方法
全变分滤波算法虽然能够有效地去除图像噪声，但是容易在去噪图像中引入虚假边界，造成阶梯效应。双边滤波算法考虑距离和像素值两个方面的差异对图像进行加权滤波，它能够进一步去除图像中的虚假边界，提高去噪图像的恢复质量。
2.1 双边滤波算法
不同于中值滤波在加权时只考虑图像距离之间的差异，双边滤波算法在加权过程中还考虑像素值之间的差异。在双边滤波算法中，恢复图像像素值依赖于其邻域在距离和像素值两个方面关于邻域像素值的加权之和：
（5）
式中：是在处的恢复图像像素值；是在处的像素值；是距离空间上的高斯滤波函数，图像中的点与当前点距离越小，则其对当前点的影响就越大，它所占的加权系数也就越大，是像素值差异的高斯滤波函数，与当前点的像素值的像素的差越小的点，对当前点的影响越大，相应的加权系数就越大；分别表示距离空间和像素值空间的滤波半径。
2.2 方法实现
本文中涉及到的TV算法使用Bregman分裂方法求解[9?10]。
Bregman分裂算法：
Step1： 固定求解关于的优化问题
该问题的解析解为：
Step2： 固定求解关于的优化问题
由最优化的必要条件得：
该问题是一个关于求解的线性方程组问题，可以使用数值迭代法求解。
Step3： 更新
转至Step1，直至達到收敛精度。
Bregman分裂方法在每步迭代更新过程中，需要求解如下的非约束优化问题：
（6）
式中：变量可以通过解析解求解；变量可以通过共轭梯度法来求解，因此极大地减少了迭代的次数，求解效率提高。
双边滤波算法在更新图像像素值的过程中采用Guass?Seidel的更新迭代方式，它有效地利用了最近更新的像素值结果，能够加速方法的实现。
算法实现流程图如图1所示。
3 数值结果及分析
为了验证方法的去噪性能，采用峰值信噪比（PSNR）来评价去噪图像的恢复质量，它是原图像和计算求解的恢复图像之间的均方误差，相当于信号最大值的平方的对数值。在灰度图像处理中，PSNR的计算公式为：
（7）
式中：是去噪恢复图像；是原图像。PSNR的值（单位：dB）越大，表示去噪恢复图像的失真越少，图像恢复的质量越高，恢复的效果越好。
本文针对大量的图像进行了数值仿真实验，验证了方法的有效性。这里选取来自于Matlab图片库中的两幅不同尺寸的标准8位灰度图像cameraman（图像尺寸为256×256）和liftingbody（图像尺寸512×512）进行分析说明。
本文中涉及到的参数设置如下：Bregman分裂法的参数涉及到的线性方程组用共轭梯度法（CG法）进行求解，当算法前后两次迭代结果之间的相对误差小于10-3时，迭代终止。双边高斯滤波算法中核的边长，取为滤波核半径的一半，0.1。
表1是针对高斯白噪声方差分别是30，35，40，45的四种情况下的降噪处理结果。
从表1中可以看出，不同的噪声水平下，使用双边滤波对图像进行降噪的效果十分有限（PSNR增加1.30～2.20 dB），而TV降噪算法的降噪效果均表现良好（5.91～9.96 dB）。
在低水平的噪声情况下，本文方法较TV降噪算法降噪效果不明显（PSNR增加了0.33%和4.48%）。随着噪声的增加，本文方法比TV去噪算法的降噪效果明显，当噪声从30增加到45，PSNR值改变量分别从0.09 dB和1.38 dB增加到1.45 dB和2.56 dB。当噪声水平达到45时，cameraman降噪图像的PSNR增加1.45 dB，增加6.43%，liftingbody降噪图像的PSNR增加2.56 dB，增加10.86%，降噪效果得到明显提高。
图2是cameraman图像原始图像、噪声图像（噪声水平为40）、TV算法去噪图像和结合TV的双边滤波去噪图像。从图2中可以看出，结合TV和双边滤波方法的图像比TV算法的图像去噪效果更明显。
图3，图4分别给出了TV算法和结合TV算法的双边滤波方法对cameraman图像进行去噪结果的局部区域放大图以及liftingbody图像的噪声去除测试结果，从结果中可以看出，本文方法能够更加有效地去除噪声，去噪效果更明显。
因此，不管是从PSNR的客观结果还是从人眼观察的主观结果来看，采用结合全TV正则化的双边滤波方法要明显优于单独使用全TV正则化去噪算法或者使用双边滤波的效果。
4 结 论
本文针对TV去噪算法容易产生阶梯效应的问题，提出一种结合双边高斯滤波的TV图像去噪方法，它可以比较有效地解决TV算法产生的阶梯效应问题，与TV算法相比，能够更好地去除噪声。仿真结果表明本文提出的去噪方法降噪效果明显，图像质量也得到了明显的改善。与TV算法相比，在较高水平噪声情况下，使用本文算法小尺寸灰度图片（256×256）去噪图像的PSNR提高1.45 dB左右，大尺寸灰度图片（512×512）图像的PSNR提高2.56 dB左右。
参考文献
[1] RUDIN L I， OSHER S， FATEMI E. Nonlinear total variation based noise removal algorithms [J]. Physica D： nonlinear phenomena， 1992， 60（1/4）： 259?268.
[2] CHAMBOLLE A. An algorithm for total variation minimization and applications： special issue on mathematics and image ana?lysis [J]. Journal of mathematical imaging & vision， 2004， 20： 89?97.
[3] GETREUER P. Rudin?Osher?Fatemi total variation denoising using split Bregman [J]. Image processing on line， 2012， 2： 74?95.
[4] OSHER S， BURGER M， GOLDFARB D， et al. An iterative regularization method for total variation?based image restoration [C]// Proceedings of 2005 IEEE International Conference on Imaging System & Techniques. [S.l.]： IEEE， 2005： 460?489.
[5] NIKOLOVA M. Local strong homogeneity of a regularized estimator [J]. Siam journal on applied mathematics， 2000， 61（2）： 633?658.
[6] MEYER Y. Oscillating patterns in image processing and nonli?near evolution equations： the fifteenth dean jacqueline B. Lewis Memorial Lectures [R]. US： American Mathematical Society， 2001.
[7] OSHER S， SOL? A， VESE L. Image decomposition and restoration using total variation minimization and the norm [J]. Journal of chemical theory & computation， 2006， 2（6）： 1565?1574.
[8] 宋海英.基于总变分和中值滤波的图像去噪方法[J].现代电子技术，2011，34（14）：16?18.
[9] GOLDSTEIN T， OSHER S. The split Bregman method for L1?regularized problems [J]. Siam journal on imaging sciences， 2009， 2（2）： 323?343.
[10] CAI J F， OSHER S， SHEN Z. Convergence of the linearized Bregman iteration for ??norm minimization [J]. Mathematics of computation， 2013， 78（5）： 2127?2136.
