利用数形结合提高学生数学能力的策略
潘灿丽
[摘? 要] 数形结合不仅关系到数学能力的达成，同时对学生直观想象能力的培养也具有十分重要的意义. 对于初中数学而言，数形结合已然成为十分重要的教学手段，文章在此基础上结合新课标的推进趋势对数形结合思想方法的渗透进行阐释，并通过对具体例题的分析提供关于学生能力培养的新路径.
[关键词] 初中数学;数形结合;以形助数;以数解形;数形互译
数形结合是学生通过活动对感性素材进行的抽象，它是高度投入、高阶认知参与的一种培养学生能力的方法，同时它也是学生在数学解题中常用的思想方法，相对于其他思想方法而言，形象、直观是其显著的特点. 数形结合是重要的思想方法之一，也是数学解题中直接性理解和创造性构建的纽带，对发展学生的思维能力，培养学生的思维品质具有重要意义. 本文结合具体例题分析数形结合在初中数学中的渗透，进而提供关于学生能力培养的新路径.
以教材内容为载体，培养数形
结合
相较于小学数学，初中教材明显更具有复杂性和抽象性，同时数形结合思想也贯穿于整个教材中，有效架起了抽象知识与直观图形的桥梁，成为学生学习数学的重要方法. 这就要求教师深度挖掘教材内容，运用数形结合思想实现目标定位，在数形转化中培养学生灵活运用数形结合思想的良好习惯.
1. 通过直观性图示，有所感知
在初中数学教学中，不少抽象而复杂的数学问题可以通过直观图示的“形”来加深理解，通过丰富的感性素材丰富学生的感性认知，提高分析的精确度. 例如，教学“实数”，学生对正数已经有了一个初步的认识，教师再演示温度計、水闸蓄水和放水等直观图示，导入负数概念和有理数的运算法则，将抽象的正、负数的数量关系放于图示中分析并解决，再辅以详细的讲解，为本节课难点的突破建构桥梁. 因此，结合直观性图示进行分析是渗透数形结合思想的第一步，它有助于提升学生对相关概念的感知程度，有利于抽象思维的提升.
2. 通过实践性活动，有所体验
实践性活动是促进概念理解最常用的方法，借助多种操作性活动引出数学概念最抽象、最本质的属性，使学生有所体验. 例如，引入“乘方”的概念时，可安排动手折纸的实验活动或观察拉面师傅拉面的场景，从而导出概念. 这样的过程中，通过对事物的剪、拼、拆、折等方法获取必要的信息，逐步在脑海中形成清晰的表象，从而为问题的探究和解决指明方向.
以习题特征为突破，培养数形
结合思想
在解题中，需关注到数与形的融合，细细斟酌问题的具体特征，通过形来观察数的问题，借助数的方法去思考形的问题，并合理掌控好二者的融合，使这两种方法相辅相成、相得益彰，找寻到解决问题的思路，开阔学生的解题思路.
1. 以形助数
例1？摇 如图1，已知A（2，2）和B两点是反比例函数y=■的图像C与正比例函数y=ax（a≠0）的图像l的交点，将函数y=■的图像与直线AB向右平移n（n>0）个单位长度，所得图像分别为C′和l′，已知图像C′过点M（2，4）.
（1），（2）略.
（3）试直接写出不等式■≤ax-1的解集.
分析? 不等式■≤ax-1可转化为函数y=■的图像都位于y=ax-1的函数图像上方，它们的交点分别为（3，2）和B（-1，-2），解集为x<-1或0<x<2.
评注? 从本题中可以看出，若采用常规代数方法解决这个问题显然是不大可行的，但若借助图形特征，则可使本题的难点迎刃而解.
2. 以数解形
例2？摇 如图2，已知平面直角坐标系中有Rt△OAB，且其中的一个顶点A位于x轴正半轴，顶点B的坐标为（3，■），边OA上的一点C的坐标为■，0，点P在斜边OB上移动，则PA+PC的最小值为（? ）
分析? 这道题我们往往习惯选择以几何方法进行解决，但通过合理作图，很容易看出来，如果以勾股定理解决，则可以简化解题过程，从而弥补几何问题的一些缺憾. 本题这样思考：作点A关于OB的对称点D，连接DC交OB于点P，那么该点P则为所求的点. 构造直角三角形通过勾股定理即可求出CD.
评注? 本题为一道几何问题，在对题目的条件和问题进行分析和整合的过程中，深入观察并理清题目中的图形特征，然后再将这些特征借助相应的公式、定理建立关联，通过代数方法解决问题.
3. 数形互译解决应用问题
在解决问题中，常常需要运用到数形互译的数形结合，从而转化抽象的数量关系，在观察、分析和联想中解决问题.
例3？摇 小李和小陆从A地出发去B地，沿着同一行驶路线，图3为他们距离A地的距离s（单位：km）与行驶时间t（单位：h）之间的函数关系图像，观察图中信息，可得：①小李和小陆都行驶了20 km;②小陆行驶全程一共用了1.5 h;③两人相遇后，小李的速度比小陆的小;小李在行驶过程中停留了0.5 h. 以上说法中正确的有（? ? ?）
A. 1个 B. 2个
C. 3个D. 4个
分析? 本题的解决需要学生精准分析图形，让原本模糊的问题逐步清晰，学生从图示以及数量关系着手，通过数形互译，找寻到相关解题公式，搭建解题路径.
评注? 若本题仅仅在“形”上进行分析和观察，则会出现一系列学生不易察觉的解题错误.
注意事项
1. 数形结合思想的运用中，大多涉及作图问题，有些问题只需通过一个草图作为辅助手段搭建解题路径，也有一些题目需要精确作图，此时则需要避免因作图不够精确而导致的错误.
2. 数形结合思想在解题中，还需关注到图形的合理性以及分析问题的各种情形，做到不漏不重.
例4？摇 如图4，已知网格中有一个直角三角形（且网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度），现以此直角三角形的一条边为公共边画出一个新的三角形与原直角三角形构成一个等腰三角形，且此新三角形的顶点位置不限，并与原直角三角形仅有一条公共边，不存在任何公共点，则满足该要求的新三角形有______个.
分析? 从题意出发，可以探究得出，以原直角三角形的每条边为底边可以构造2个新三角形与原直角三角形构成一个等腰三角形，那么新三角形的个数则为6个;再以原直角三角形的斜边为腰考虑，可以构造1个新三角形，故新三角形的个数共有7个.
总之，数学解题不是就题论题的过程，而是通过教学策略使学生萌生数学思想，并转化为解决问题的策略，再到数形结合中体悟核心思想的启发性成分，进而生成有效的学习经验，实现数学能力的提升. 虽然本文只是以一些单一的例题为例，但其实具有普遍性的意义，对此我们需做到思之再三.
