斜齿轮磨头中可变螺旋角齿轮建模方法
徐斌
摘 要：本文在研究意大利COMS磨头中可变螺旋角齿轮的基础上，提出可变螺旋角齿轮以齿槽为基准、齿轮中部端面为基准端面的新理论，可变螺旋角齿轮齿槽由中间基准端面直齿齿轮端面上标准齿槽扭转不同角度而成。建立了齿轮端面扭转角与可变螺旋角齿轮齿槽螺旋角之间的数学关系，并依据该关系式，分别建立了扭转后齿轮两端端面每个螺旋齿槽的扭转角。根据所建立的扭转端面A、B以及基准端面C，在CAXA 3D 2105版本中，利用放样建立了可变螺旋角齿轮的三维模型，并给出加工该齿轮的方法。本文建立的可变螺旋角齿轮方法简单，加工方法简单。
关键词：磨头;可变螺旋角;斜齿轮;扭转;齿槽
1 前 言
斜齿轮磨头也叫COMS磨头，是意大利COMS公司于二十世纪九十年代研发的磨头，由于其中主要的是一个可变螺旋角齿轮，每个齿的螺旋角都不同，加工技术要求很高。所以COMS公司不惧怕任何人抄袭，将零部件拆开，在展会上让别人观看。2002年广东科达机电有限公司技术经理周哲波，对该磨头进行了仿制，但是效果不佳，不能使用，而后科达公司放弃仿制。周哲波而后进入安徽理工大学教书，并带领学生对COMS磨头作理论研究，建立了可变螺旋角齿轮模型。但是该模型是以轮齿作为基准进行建立的，并没有进行实际的应用和产业化，后经广东科达洁能股份有限公司深加工事业部总经理周祖兵确认，周教授建立的可变螺旋角齿轮模型不适用于实际。后续国内有一些厂家对该齿轮进行仿制均失败。
近年来，山东青岛、莱州的石材设备制造厂商也仿制了COMS磨头，但是并没有大规模的应用。2017年广东佛山的海瑜公司仿制了COMS磨头，已经在科达公司应用。国内仿制的COMS磨头在应用上都会出现噪声大等问题。
由于COMS公司对中国技术封锁，以及国内昌吉仿制之后，也对自己揣摩出来的，所谓的自己那套技術进行技术封锁。而国内对COMS磨头的理论研究也很少，只有周哲波教授进行了理论研究，但是研究结果还不实用，脱离了实际。
为了加快COMS磨头的推广和应用，本文另辟新径，对COMS磨头中可变螺旋角齿轮进行理论创新，建立该齿轮的数学模型，以及依据数学模型建立起来的三维模型。同时给出了可变螺旋角齿轮的加工方法。本文研究成果，对打破国内外对COMS磨头的技术及理论封锁，加快其推广应用提供理论基础。
2 斜齿轮磨头结构及工作原理
斜齿轮磨头结构及工作原理，如图1所示。
1中间齿轮固定在2箱体端盖上，2箱体端盖与机架固定在一起。3磨头主轴 伸进6下箱体内，4主动齿轮固定在3磨头主轴上，5斜齿轮驱动齿轮、9斜齿圆柱齿轮空套在3磨头主轴上，5斜齿轮驱动齿轮与9斜齿圆柱齿轮固定在一起。6下箱体上均匀分布着四至六根7磨块座主轴。7磨块座主轴的一端固定有10磨块座，7磨块座主轴的另外一端设置有8直齿圆柱齿轮。8直齿圆柱齿轮的转动轴垂直于7磨块座主轴。8直齿圆柱齿轮与9斜齿圆柱齿轮啮合在一起，并且螺旋角按一定规律周期性变化。
工作原理：
一方面，3磨头主轴驱动6下箱体以及安装在6下箱体内的零部件旋转，7磨块座主轴 连同10磨块座、磨块一起绕着3磨头主轴 公转，这与已有技术的工作原理相同;
另一方面，3磨头主轴驱动4主动齿轮旋转，4主动齿轮经过1中间齿轮，将运动和动力传递给5斜齿轮驱动齿轮，进而驱动螺旋角周期性变化的9斜齿圆柱齿轮旋转，从而迫使7磨块座主轴上的8直齿圆柱齿轮 按照螺旋角周期性变化的规律，以7磨块座主轴为转轴来回摆动，与7磨块座主轴 固联的10磨块座随之摆动，最终实现了磨块一边绕主轴公转，一边绕摆动轴左右摆动的运动规律。
9斜齿圆柱齿轮具有交替为直和斜的部分。
将其360 °展开图，两个直齿或齿间可设在相应于原点（0 °和360 °重点）和中点的位置。在0 °和90 °的部分内（如图2a）变成斜齿，最大斜度发生在90 °。过了这点以后，斜度逐渐减小，到180 °变成零。从180 °到270 °（图2c）又变为斜齿，单斜度个图2a和图2b的斜度相反。到270 °，斜度达到最高，从270 °到360 °（或0 °），即在图2d，斜度又逐渐减小，一直变为零。
3 可变螺旋角齿轮分析
本文作者于2017年10月拆开了意大利COMS磨头，也就是意大利原创的变斜齿轮磨头。该磨头的核心零件是变螺旋角齿轮，如图3、4所示。
通过事物观察发现，变螺旋角齿轮的每个轮齿的螺旋角度是不同的，而且是渐变的。这样造成每个轮齿沿着轴线方向的齿厚也是渐变，逐渐变大或者逐渐变小。所以轮齿的两端会出现大小头的现象，如图3所示。
从图4看出，变变螺旋角齿轮端面的齿厚是不同的，一个区域齿厚很大，另外一个区域的齿厚很小，而且齿厚是渐变的增大或者渐变的减小。
但是从图3、4看出，每个齿槽的宽度是相同的，变螺旋角齿轮是以齿槽为基准，不是轮齿。因为齿槽要与每个不同螺旋角的轮齿啮合，所以每个齿槽的宽度必须一致。也就是说，齿槽不会出现大小头的现象，而且每个齿槽的宽度都相同。
将意大利COMS磨头的变螺旋角齿轮展开成平面图，如图5所示。变螺旋角齿轮工共44个轮齿。通过上述分析可知，变螺旋角齿轮是以齿槽为基准的，因此展开图中的倾斜直线是齿槽线。
齿槽线也叫齿槽中心线，如图6、7所示。因为变螺旋角齿轮有直齿和斜齿共同组成的，所以本文以普通直齿齿轮和斜齿轮分析齿槽线。
不管是直齿齿轮还是斜齿齿轮都是由轮齿和齿槽组成的，在分度圆上，齿槽和轮齿的宽度是相同的。齿槽的中心线就是齿槽线，直齿齿槽线是一条直线，斜齿轮的齿槽线是一条螺旋线。
由前述可知，变螺旋角齿轮的轮齿宽度是不相同的，但每个齿槽的宽度是相同的。因此，以齿槽作为标准对变螺旋角齿轮进行建模和加工。图5中的螺旋线和直线是齿槽线。展开图中显示共有44条齿槽线，每个齿槽线的的螺旋角不同的，各相差一度。图5中上端编号是每个齿槽的顺序编号，下端是每个齿槽线的螺旋角度。
从图5看出，编号为0的齿槽和编号为22的齿槽是直齿齿槽，其他的都是螺旋齿槽。其中编号为0的齿槽和编号为44的齿槽是同一個齿槽。
从编号为0的齿槽开开始，齿槽按照1度的差值逐渐的向左倾斜，到编号为11的齿槽倾斜角最大，是11度。接下来的齿槽也是按照1度的差值逐渐的向右倾斜，又从11度逐渐减小为0，到编号为22的齿槽倾斜最小，是0也就是直齿齿槽。编号22到33的齿槽向右倾斜，达到最大11度。编号33到44的齿槽向左倾斜，达到最小0度。
从图5看出，螺旋槽的齿槽线，展开平面图之后，都是一条倾斜的直线，倾斜的角度是按照某一个点在旋转倾斜。由直线状态绕点倾斜为斜直线状态。
4 可变螺旋角齿槽线倾斜形成过程
为了更清晰的说明可变螺旋角齿轮展开图中，螺旋齿槽线倾斜形成过程，截取图5中的一个部分进行详细的分析说明，如图8所示。
可变螺旋齿轮在宽度方向上分为三个部分：A端面、B端面、中间端面C。图8中，虚线表示的是辅助直齿齿槽线，实倾斜直线是螺旋齿槽线。为了分析问题，本文引入了辅助直齿齿槽线。
辅助直齿齿槽线与螺旋齿槽线的交点O1、O2、O3、O4、O5、O6......，均是在齿轮宽度的中心线上，也就是中间端面C位置上。辅助直齿齿槽线与齿轮宽度的中心线是相互垂直的。若是把螺旋齿槽线去掉，只留下辅助直齿齿槽线，就是普通的直齿齿轮的俯视图。直齿齿槽线的间隔是均匀的。也就是O1=O2=O3=O4=O5=O6，......。各个螺旋齿槽线，分别是各自的辅助辅助直齿齿槽线分别绕着各自的交点O1、O2、O3、O4、O5、O6向左旋转1°、2°、3°、5°、6°形成的。
因此齿轮的宽度中心线是一条基准线，所在的端面C是基准平面。端面C上的齿轮端面是正规的直齿齿轮端面，端面C上的齿轮端面，在分度圆上轮齿厚度与齿槽的宽度一致，与普通齿轮无异。如图9所示。
也就是说螺旋齿槽线都是绕着端面C上这个正规直齿齿轮端面扭转形成的。
本文将把可变螺旋齿轮齿轮宽度中心线的部位，分为前后两个部分。AC这一段是齿轮前段部分;BC这一段是齿轮后段部分。
（1）齿轮前段。
图10所示是齿轮前段。AC段（也就是齿轮前段）上的螺旋齿槽线，是各个螺旋齿槽线绕着各个辅助直齿齿槽线分别绕着各自的交点O1、O2、O3、O4、O5、O6向左旋转1°、2°、3°、5°、6°形成的。因为图10是齿轮的平面展开图，那么三维图如图11所示。
为了便于分析和说明，齿轮前段扭转示意图中，用凸起的直齿、凸起螺旋齿代表辅助直齿齿槽、螺旋齿槽。
在C端和A端施加一对平衡的力偶M1、M2，在扭转的过程中，C端面是基准面，这个基准面是固定不动的，在A端施加一个扭转力偶M2，那么在C端就产生一个反作用的力偶M1与其平衡。
图11中，齿轮柱上有一个直齿轮齿，如虚线所示。对这个直齿轮齿施加一个逆时针旋转的力偶M2，直齿轮齿产生了一个左螺旋扭转，变成了一个螺旋轮齿。螺旋轮齿和直齿轮齿之间的夹角就是螺旋角γ。这个螺旋轮齿展开成平面图之后，就是一条斜直线。
图11中是用直齿轮齿代替了直齿齿槽，直齿齿槽扭转成螺旋齿槽也是这也道理。图10中的每个螺旋齿槽都是这样扭转形成的，都是正规的直齿齿槽扭转不同的角度形成。
（2）齿轮后段。
图12所示是齿轮后段。BC段（也就是齿轮后段）上的螺旋齿槽线，是各个螺旋齿槽线绕着各个辅助直齿齿槽线分别绕着各自的交点O1、O2、O3、O4、O5、O6向右旋转1 °、2 °、3 °、5 °、6 °形成的。那么三维扭转示意图如图13所示。
在C端和B端施加一对平衡的力偶M3、M4，在扭转的过程中，C端面是基准面，这个基准面是固定不动的，在B端施加一个扭转力偶M4，那么在C端就产生一个反作用的力偶M3与其平衡。
图13中，齿轮柱上有一个直齿轮齿，如虚线所示。对这个直齿轮齿施加一个顺时针旋转的力偶M4，直齿轮齿产生了一个右螺旋扭转，变成了一个螺旋轮齿。螺旋轮齿和直齿轮齿之间的夹角就是螺旋角γ。这个螺旋轮齿展开成平面图之后，就是一条斜直线。
图13中也是用直齿轮齿代替了直齿齿槽，直齿齿槽扭转成螺旋齿槽也是这也道理。图12中的每个螺旋齿槽都是这样扭转形成的，都是正规的直齿齿槽扭转不同的角度形成。
（3）齿轮前、后段合成。
图14、15是齿轮前、后段扭转示意图，在齿轮前、后段上作用两个大小相等、转向相反且作用面与齿轮轴线垂直的外力偶;其变形特点是：两力偶作用面之间的各横截面绕轴线发生相对转动。扭转变形时任意两横截面间有相对的角位移，这种角位移称为扭转角θ。图14、15中的θ即为截面相对于C端面（假设C端面相对固定）的扭转角。
这里以及上面所述的所有过程中，都是以单独一个齿槽做为事例来说明的，因为变螺旋角齿轮上的每个螺旋齿槽的螺旋角度都是不同的，为了分析出普遍的规律，都是拿出一个螺旋齿槽作为说明，当分析出普遍规律之后，变螺旋角齿轮上的每个齿槽都遵循这个规律进行变化。
以齿轮前段进行截面扭转进行示意说明，如图16所示。C端面是假设固定的，C端面是正规的直齿齿轮端面，当外力施加在A段端时，齿槽就会产生一个扭转。
假设将AC段沿着齿轮轴线截成N段，在这里先取4段截面进行分析。截面1、2、3在没有扭转时，截面1、2、3的端面形貌与C端面是相同的，都是正规直齿齿轮端面。点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ都是C端面和截面1、2、3端面上直齿齿槽分度圆上的中点。
在扭转的过程，截面1相对端面C逆时针旋转一个扭转角θ1，直齿齿槽分度圆上的中点Ⅱ，旋转到Ⅱ'点。依次类推，截面2相对端面C逆时针旋转一个扭转角θ2，直齿齿槽分度圆上的中点Ⅲ，旋转到Ⅲ'点。截面3相对端面C逆时针旋转一个扭转角θ3，直齿齿槽分度圆上的中点Ⅳ，旋转到Ⅳ'点。
因此，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ连接成为辅助直齿齿槽线，Ⅰ、Ⅱ'、Ⅲ'、Ⅳ'连接成为螺旋齿槽线。辅助直齿齿槽线变成了螺旋线。
但各截面绕轴线发生了相对转动，使各纵向直齿齿槽线均倾斜了一微小倾角γ，这个小倾角就是螺旋角。
BC段（齿轮后段）与AC（齿轮后段）的扭轉原理相同，在此不再详述，唯一不同就是扭转方向不同。扭转角以及形成的螺旋角均是相同的。
BC段（齿轮后段）与AC（齿轮后段）都是以C端面作为基准进行扭转的。将两段合并为一体，AC（齿轮后段）形成的左螺旋齿槽与BC段（齿轮后段））形成的右螺旋齿槽合并为一体，形成一个完成的螺旋齿槽。如图17所示。
通过上述分析，发现可变螺旋角齿轮上螺旋齿槽形成过程中，有两个重要参数决定着螺旋齿槽的形成，一个是扭转角θ;一个是螺旋角γ。通过扭转角θ可以求出螺旋角γ，通过螺旋角γ可以求出扭转角θ。这两者的数学关系是怎么样的呢？下面将详细的分析。
5 扭转角与螺旋角之间的协调关系
为了研究扭转角与螺旋角之间的协调关系，取齿轮前段为例，如图18所示。
从齿轮前段中用两相邻横截面m-m、n-n取出长为dx的一个小微段，放大如图19所示，若截面n-n对m-m的相对扭转角为dθ （在此，假设m-m截面相对固定不动），即横截面n-n像刚性平面一样，相对于m-m绕轴线旋转了一个角度，半径O1a转到了 O1b 位置。相应辅助直齿齿槽线有一倾斜角γ如果将齿轮前段看成由无数个截面段组成，则在此微段中，组成齿轮前段的所有截面段的扭转角dθ均相同，所不同的只是截面段半径不同。设其中任意截面段的半径为ρ，螺旋角（倾斜角）为γρ，则可得γρ与ρ的关系式为
图中和公式中的r是齿轮分度圆半径，因为不管是直齿齿槽线还是螺旋齿槽线都是在分度圆上的齿槽线。
因此，分度圆上的螺旋角公式由（1）式可得：
对（2）式进行积分得：
由（3）式得出扭转角与螺旋角之间的关系
式中：L是齿轮前段的长度，也就是齿轮宽度的一半。
公式（4）是一个弧度计算公式，要将其转换为角度计算公式，转换过程如下：
式中： α是螺旋齿槽的螺旋角，单位是度; φ是扭转角，单位是度。
由（5）式得出扭转角与螺旋角之间的关系式：
式中：r是分度圆半径，mm。L是齿轮总宽度的一半，mm。
上述分析是以齿轮前段作为事例进行的分析，齿轮后段与齿轮前段是一样的，唯一不同的地方就是转向。得出的扭转角与螺旋角之间的关系与（4）式也是相同的。齿轮前段和后段合并在一起才是完成的可变螺旋齿槽线扭转过程，如图21所示。
螺旋齿槽线是由齿轮前后段辅助直齿齿槽线扭转合并形成，因为基准在C端面。
6 可变螺旋角齿轮建模参数
准确的绘制出可变螺旋角齿轮的三维图，需要计算出每个螺旋齿槽的扭转角度。根据变螺旋角齿轮的参数计算，变螺旋角齿轮的参数如表1所示。
由前述的（6）式是扭转角与螺旋角之间的关系式。
目前可变螺旋角齿轮的每个齿槽的螺旋角是已知的，可以根据（6）式求出对应的扭转角。式（6）中r是分度圆半径。根据前述可知，可变螺旋角齿轮上的每个螺旋槽，都是根据基准端面C正规直齿齿轮端面上的齿槽，扭转不同角度形成的。准端面C正规直齿齿轮端面也有44个轮齿和齿槽，可变螺旋角齿轮上的每个螺旋槽，就是由这44个标准的直齿齿槽，对应扭转不同角度形成的。因此，每个可变螺旋角齿槽扭转角计算公式中的r都是按照正规直齿齿轮分度圆半径计算。计算公式如下：
（6）式中的L是可变螺旋角齿轮总宽度的一半，由可变螺旋角齿轮齿轮参数表可知，齿轮的总宽度是54.5，L就是54.5的一半，是L=27.25。因为扭转分为齿轮前段和后段两个部分。齿轮前段和后段的长度相同，都是齿轮总宽度的一半。将这些参数代入公式（6），得出表2、3。
（未完，下期待续）
