MPCK视角下的等腰三角形专题复习

2022.06.29

李玥

[摘? 要] 文章对MPCK概念和结构进行界定，并以等腰三角形专题复习为例，基于MPCK学科知识、学生知识、课程知识、教学策略知识和教育信念角度设计教学.

[關键词] MPCK;等腰三角形;专题复习

从1986年舒尔曼提出教学内容知识（简称PCK）开始，PCK对教师专业发展起了重要的影响，在国内外教师教育领域掀起了研究热潮. 近年来，研究者们关注特定学科的PCK，数学教育领域也不例外，提出数学教学内容知识（简称MPCK）.

MPCK概念和结构的界定

1. MPCK概念

MPCK研究在PCK研究的基础上展开，是PCK与具体学科的延伸和结合，已成为目前数学教师知识研究的核心. 概念是事物的本质属性的思维形式，界定MPCK的概念，可以从其属性入手，寻求其本质属性，进而明确概念.

PCK和MPCK相关研究很多，学者们的界定也是各抒己见. 但结合他们的描述，发现MPCK具有以下属性：学科内容方面[1-4]，教学策略方面[2-5]，学生方面[2，5]，教学情境方面 [2] ，某些教师知识的整合、转化方面[2，5-7]，作用、效果方面[1，3-5]，其他方面[7] 等.

在上述属性中，MPCK的本质属性是某些教师知识的整合或转化. 故可将MPCK的概念界定为：MPCK是数学教师的学科知识、学习者知识、教学策略知识和课程知识等有机整合后形成的知识，是学科知识转化为学生能理解的知识的知识.

2. MPCK结构

对研究者提到的PCK和MPCK组成要素统计分析，发现提到最多的要素有学科知识、学习者知识、课程知识和教学策略知识.

学科知识主要包括：内容知识（数学的事实性知识、中心概念和组织原则，即核心知识点、实体知识和句法知识）;实体知识（数学的解释性框架或范式，即数学中相关知识间的逻辑关系）;句法知识（决定新知识纳入数学领域的一些规则或方式，即数学思想与方法）. 学生知识主要指对于所教学生的知识结构、认知特点、学习困难、易错点的了解. 课程知识表现为对课程标准的理解以及对教材的把握. 教学策略知识主要包含教学评价、教学方法、教学组织相关的知识.

实质上这四个知识都是显性知识，而知识中不仅有显性知识，还不能忽略隐性知识的存在[8] ，故MPCK中也应有隐性知识，即教育信念：一个教师对学科、学生学习、教学的看法. 也确实有极个别学者（如马格努森）把教育信念作为PCK要素之一.

总之，MPCK结构由学科知识、学习者知识、课程知识、教学策略知识和教育信念五个要素构成.

案例分析

该文以《等腰三角形专题》为例，谈谈如何在MPCK视角下设计专题复习.

1. 课程知识的角度

义务教育数学课程标准（2011年版）有如下要求：了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理;探索并掌握等腰三角形的判定定理;探索等边三角形的性质定理及判定定理.

中考第一轮复习中的专题，复习了点、线、三角形等基本平面几何图形，在此基础上复习特殊的三角形——等腰三角形及特殊的等腰三角形——等边三角形. 因为是特殊的三角形，所以等腰三角形具有一般三角形全部的性质，还具备了很多特殊性，在现实生活中的应用也更广泛，是中考必考内容. 等腰三角形不仅为线段相等、角相等及两直线垂直的证明提供了新的依据，也是菱形、正方形等内容的基础，还可以与全等三角形、垂直平分线、四边形、圆、函数等其他数学知识结合.

2. 学习者知识的角度

学生已经学习了该知识点，对等腰三角形已有一定的认识，这为顺利完成本节课内容打下基础. 但由于学习时间较长，学生有知识上的遗忘;同时，学生对于熟练、灵活利用等腰（边）三角形性质与判定解决问题还存在一些困难;另外，很多学生还做不到发现、归纳等腰三角形与其他数学知识间的联系，建构知识体系.

3. 学科知识的角度

以核心知识点——数学中相关知识间的逻辑关系为教学主线，并渗透相关的数学思想与方法.

本节课是一堂专题复习课，从学生的基础、课堂时间的分配及数学学科的特点等各方面考虑，都不建议采用直接背记定理的方式引入，可以先播放短视频《魔鬼海域——等腰三角形》，激发学生兴趣，唤起学生对旧知的回顾，及时总结梳理等腰三角形的定义、性质及判定定理等知识点;然后设置例题，以题目带动知识点复习，并总结思想方法，以题理知，用知得法.

例1? 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D.

（1）若∠C=42°，求∠BAD的度数;

（2）若点E在边AB上，EF∥ AC交AD延长线于点F，求证：△AEF是等腰三角形.

通过一道习题，对等腰三角形“等边对等角、三线合一”的性质及判定都进行了考查.

拓展思维：要证明一个三角形是等腰三角形，需要先得到两边相等，而得到两边相等的方法有三角形全等、垂直平分线的性质等. 在同一个三角形中，等边和等角可相互转换.

例2? 如图，点M，N分别在等边三角形ABC的边BC，CA上，且BM=CN，AM，BN交于点Q，求证：∠BQM=60°.

考查等边三角形的性质，并且与全等三角形结合.

例3? 如图，在△ABC中，AB=AC，AB是⊙O的直径，BC和AC边分别与⊙O交于点D，E，连接DE.

（1）求证：BC=2DE;

（2）若DE=EC=2，求△ABC的周长.

考查等腰三角形“等边对等角、三线合一”的性质，“等角对等边”等腰三角形的判定，等边三角形的判定，并与圆结合.

等腰三角形是特殊的三角形，等边三角形又是特殊的等腰三角形，渗透特殊与一般的数学思想.

例4? 如圖，矩形OABC在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B（8，6），点P以每秒1个单位的速度从C向A运动，运动到A点停止. 运动过程中，是否存在时间t，使得△ABP为等腰三角形. 若存在，求此时t 值;若不存在，请说明理由.

与坐标系结合，并渗透分类思想：等腰三角形的边分腰与底，角分底角和顶角，高也分在三角形内部和外部两类，因此若题目没有给明是哪种情况时，必须分类讨论，以免漏解.

等腰三角形还可以与很多知识结合，因时间原因不一一列举，但可以让学生自己回想、总结，并在课后作业中设计相关题目，由学生自己丰富知识体系.

4. 教学策略知识的角度

采用启发引导的教学方式，帮助学生复习等腰三角形的相关知识;运用多媒体辅助教学;调动学生思维的积极性，使学生自主获取知识，建构知识体系.

5. 教育信念的角度

专题复习不是题海战术，要高效、精准，可选择合适的例题，以题理知，用知得法，渗透数学思想方法，并启发学生自主探索、总结归纳，把课堂的主体还给学生，由学生自己建构知识网络.

实践感悟

对课程标准的理解以及对教材的把握是教学的前提，明确本节课教学内容在教材中的地位、作用等. 教学的主体是学生，所以需要对学生的学情重点分析，了解他们的知识结构、认知特点、难点、易错点等，由此才能在教学中有的放矢. 教学策略知识也很重要，不同的教学内容采用不同的教学方法、教学组织形式等. 而学科知识是重中之重，教师只有对学科的核心知识、相关知识间的逻辑关系有深刻的理解，才能在课堂上引导学生建构知识体系，并更好地运用知识解决实际问题. 同时，教师还要具有对教育信念的追求.

教师要加强自身的教学反思，通过多种途径发展、完善自身的MPCK. 随着数学核心素养的提出，现实迫切需要基于MPCK的数学教学，摒弃“照本宣科”“题海战术”，转向推动学生的思维发展，重视学生数学素养的培养.

参考文献：

[1]马敏. PCK论[D]. 上海：华东师范大学，2011.

[2]解书. 小学数学教师学科教学知识的结构及特征分析[D]. 长春：东北师范大学，2013.

[3]童莉. 数学教师专业发展的新视角——数学教学内容知识（MPCK）[J]. 数学教育学报，2010，19（2）.

[4]梅松竹，冷平，王燕荣. 数学教师MPCK之案例剖析[J]. 中学数学杂志，2010（11）.

[5]黄毅英，许世红. 数学教学内容知识——结构特征与研发举例[J]. 数学教育学报，2009，18（1）.

[6]李渺，宁连华. 数学教学内容知识（MPCK）的构成成分表现形式及其意义[J]. 数学教育学报，2011，20（2）.

[7]董涛.数学课堂中PCK的结构[J]. 内蒙古师范大学学报（教育科学版），2010，23（8）.

[8]张一兵.? 波兰尼与他的《个人知识》[J].哲学动态，1990（4）.