篮球过人中的膝盖成角受力模型分析与仿真
李跃军
摘 要： 针对当前的二自由度驱动力矩跟踪分析方法对受力的拟合准确度不高的问题，提出基于徐变荷载传递性力学分析的篮球过人中的膝盖成角受力建模方法。首先进行篮球过人中的膝盖成角受力传递关系模型构建，然后在笛卡尔空间中构建人体运动学模型，采用徐变荷载传递性分析方法得到膝盖成角受力的阻尼加权，得到受力状态下的正向运动学模型，实现膝盖成角受力模型分析。实验结果表明，采用该模型进行篮球过人中的膝盖成角受力模拟，对力学特征的估计精度较高，对膝盖的位形角等参量拟合准确。
关键词： 成角受力模型； 力学分析； 受力传递关系模型； 徐变荷载
中图分类号： TN911.1?34； TP273 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2017）07?0171?04
Analysis and simulation of knee angulation force model
for breakthrough in basketball sports
LI Yuejun
（Department of Physical Education， Hebei Normal University for Nationalities， Chengde 067000， China）
Abstract： Since the current two?freedom driving torque tracking analysis method has low fitting accuracy to the force， a knee angulation force modeling method for breakthrough in basketball sports is put forward， which is based on the creeping load transitivity mechanical analysis. The knee angulation force transitive relation model for breakthrough in basketball sports was constructed. The human body kinematics model was constructed in Cartesian space. The creeping load transitivity analysis method is used to get the damping weight of the knee angulation force and forward kinematics model under the stress state to analyze the knee angulation force model. The experimental results show that the knee angulation force model for breakthrough in basketball sports has high estimation accuracy of the mechanical characteristics， and the parameter fitting such as knee angulation is accurate.
Keywords： angulation force model； mechanical analysis； force transitive relation model； creeping load
篮球过人是實现突破防守和有效进攻的重要技巧，篮球的过人方式有很多，主要有转身过人、胯下运球过人、背后运球过人等，在篮球过人中，特别是胯下运球过程中，需要通过膝盖成角度弯曲，通过膝盖对防守球员的阻挡，实现运球过人[1?2]。研究篮球过人中的膝盖成角受力模型，将在指导篮球科学训练，避免篮球运动中受伤和摔倒具有重要意义。
对此，本文提出一种基于徐变荷载传递性力学分析的篮球过人中的膝盖成角受力建模方法，得到受力状态下的正向运动学模型，实现膝盖成角受力模型分析，最后通过仿真实验进行性能测试，得出有效性结论。
1 运动学模型构建
1.1 膝盖成角受力传递关系模型
为了实现对篮球过人中的膝盖成角受力模型分析，首先构建篮球过人中的膝盖成角受力传递关系模型，采用7个自由度的分层子维空间运动规划概念[3]构建篮球运动中人力力学传感模型，如图1所示。
根据图1所示的力学传感模型进行篮球运动中的肢体受力力学传递分析，基于D?H约定的篮球运动员7个自由度模型中[4?5]，令膝盖、肩部和肘部在过人中的旋转自由度为[q1=q1，q2，…，q7T，][sinqi]和[cosqi]分别记为[sqi]和[cqi，]并简记为[si]和[ci，]构建大地坐标系和速度坐标系，在坐标系[i]和[i-1]之间建立篮球过人膝盖受力特征分解矩阵[i-1Ti（qi）]，表示为：
[i-1Ti（qi）=ci-cαisisαisiaicisicαicisαiciaisi0sαicαidi0001] （1）
在篮球运动员膝盖成角度挖掘的正向运动学（FK）方程中，采用逆向运动学解析方法可得成角受力的7自由度特征分解向量[Σ7]的位姿相对于大地坐标系[Σ0]的末端效应力学传递变换矩阵描述为：
[0T7（q1）=i=17i-1Ti（qi）=noap0001] （2）
式（2）描述篮球运动员在膝盖成角受力传递关系模型的冗余度，可用膝关节中心绕左右腿各驱动关节和[Σ0]原点轴的旋转描述，一旦确定膝关节成角受力的位姿，即可推导出膝关节成角受力传递力学关系模型的解析形式。根据人体运动Lagrange动力学方程式[6?7]，可以推导出篮球过人中的膝盖成角受力的位姿[0T4：]
[0T4=i=14i-1Ti（qi）=n4o4a4p40001] （3）
式中：[a4=rw-p4rw-p4，][rw=p-lh?n，][o4=a4×][（rs-p4）a4×（rs-p4），n4=o4×a4]。
将腿上的质量纳入运动受力的考虑范围，结合图1给出的末端效应器，得到篮球运动中助力力矩所在关节的位姿为：
[4T7=i=57i-1Ti（qi）=i=14i-1T-1i（qi）?0T4=neoeaepe0001] （4）
通过构建膝盖成角受力传递关系模型，进行力学分解和受力模型的三维特征空间重构。
1.2 受力力矩计算
在进行了膝盖成角受力传递关系模型构建的基础上，结合篮球过人中的膝盖关节的力学结构分布和相关参数设置，进行受力力矩计算，将膝盖受力的Lagrange线性变形增量分解成两个更小维度的子逆运动学问题[8]，在膝盖关节的受力力矩矩阵中左乘[0T-11]可得：
[0T-11（q1）?0T4=i=24i-1Ti（qi）] （5）
依据Euler?Bernoulli理论进行篮球过人中承载力的离散估计，得膝盖成角度的推覆侧向承载力为：
[q1≡θ4=arctan2（±p4y，±p4x）] （6）
[q2≡θ5=arctan2（-p4z，c1p4x+s1p4y-ls）] （7）
将式（5）两边再左乘逆矩阵[2T-11（q2）]，进行膝盖的推覆侧向承载强度力矩计算，得：
[i=12i-1T-1i（qi）?0T4=i=34i-1Ti（qi）] （8）
结合奇异值矩阵分解，将膝盖的受力力矩矩阵的元素进行线性插值拟合[9]，可求得篮球过人中的膝盖成角受力力矩[q3]和[q4：]
[q3=arctan2（-s1o4x+c1o4y，-s2c1o4x-s2s1o4y-c2o4z）] （9）
[q4≡θ7=arctan2（c2c1n4x+c2s1n4y-s2n4z，c2c1a4x+c2s1a4y-s2a4z）] （10）
由式（4）得：
[4T-15（qi）?4T7=i=67i-1Ti（qi）] （11）
2 膝盖成角受力模型建模分析
2.1 膝盖成角受力的徐变荷载传递性力学特征分解
在进行篮球过人中的人体运动学模型构建的基础上，进行膝盖成角受力模型建模，提出一种基于徐变荷载传递性力学分析的篮球过人中的膝盖成角受力建模方法，在笛卡尔空间中构建人体运动学模型，在篮球过人中，运动员通过胯下过人越过防守线，膝盖沿着预定的轨迹运动，构建篮球运动员膝盖受力的笛卡尔空间，可求三个旋转自由度的力学徐变衰减为：
[q5≡θ8=arctan2（±oey，±oex）] （12）
[q6≡θ9=arctan2（-oez，-c5oex-s5oey）] （13）
[q7≡θ10=arctan2（-s5nex+c5ney，s5aex-c5aey）] （14）
根据膝盖成角受力后的软化系数和剪力传递系数，获得篮球运动员成角受力的徐变荷载传递性IK解析方程，类似可求解篮球运动员膝盖的正向和逆向运动学方程，描述为：
[utt-Δu+u4u=0（u，?tu）t=0=（u0，u1）∈Hscx×Hsc-1x] （15）
式中，[u：I×IRd→IR]是实值函数，膝盖受力的结构刚度及应力分布在三维空间中相对于固定在下肢惯性参考系[ΣI]的4×4的奇異特征矩阵[IT0（α0，β0，γ0）]表示（[≡IT0（θ1，θ2，θ3）]），膝盖受力导致的剪力传递变量为[pt=xt，yt，ztT，]绕三个轴的旋转，分别用膝盖力矩矢量偏移角[α0，]上身俯仰角[β0]和身体转动角[γ0]表示。其中，膝盖力矩矢量偏移角[α0]是绕[z]轴的旋转角，身体在过人中的旋转矩阵[Rz（α0）]表示为：
[Rz（α0）=cα0-sα00sα0cα00001≡Rz（θ1）] （16）
[β0]是绕[y]轴的徐变系数，其旋转矩阵[Ry（β0）]表示为：
[Ry（β0）=cβ00sβ0010-sβ00cβ0≡Ry（θ2）] （17）
[γ0]是膝盖受力角度绕[x]轴的模量软化系数，其身体在执行过人行为中的旋转矩阵[Rx（γ0）]表示为：
[Rx（γ0）=1000cγ0-sγ00sγ0cγ0≡Rx（θ3）] （18）
在任意过人步伐内应变增量组合为：
[R（θ1，θ2，θ3）=Rz（θ1）Ry（θ2）Rx（θ3）] （19）
把身体质量分解为两个作用在双腿膝盖上的传递力特征向量，得到膝盖成角受力的徐变荷载传递性力学特征分解结果为：
[IT0（θ1，θ2，θ3）=R（θ1，θ2，θ3）pt01] （20）
2.2 成角受力阻尼加权及受力特征估计
根据膝盖成角受力的徐变荷载传递性力学特征分解结果，可得在速度坐标系[Σe（≡Σ7）]中相对于惯性坐标系[ΣI]的力学阻尼特征矩阵[IT7（θ）]为：
[IT7（θ）=IT0（θ1，θ2，θ3）?0T7（q1）] （21）
采用徐变荷载传递性分析方法得到膝盖成角受力阻尼加权，构成运动链关节位形[θ]和篮球运球过人的位姿[pe]的正向运动学关系式：
[pe=f（θ）] （22）
设篮球运动员的末端效应器在笛卡尔空间的位姿、速度分别为[pe，][pe∈R6×1，]其膝盖的各个关节空间的动能、力矩分别为[θ，][θ∈R10×1，]可得篮球运动员在成角受力阻尼加权约束下的正向运动学微分方程：
[pe=J（θ）θ] （23）
式中：[J（θ）∈R6×10]为篮球运动员膝盖受力特征分解的雅可比矩阵。冗余运动学方程为：
[θ=J+pe+（I-J+J）ξ] （24）
式中：[J+（θ）=JT（JJT）-1]为膝盖质心转动惯量矩阵[J]的Moore?Penrose广义逆矩阵，可利用运动惯性力矩分解方法进行膝盖受力的加权估计计算；[I∈R10×10]为单位矩阵；[ξ∈R10]为任意矢量；[J+pe]为相邻关节节点的受力传递特征向量，也称为最小范数解。在篮球运动员的过人动作中，受力行为位移分配矩阵[（I-J+J）ξ]具有齐次解，采用正向运动学分解方法，用[k?H（θ）]取代[ξ，]篮球运动员膝盖成角受力的力矩可重写为：
[θ=J+pe+k（I-J+J）?H（θ）] （25）
式中：[?H（θ）=?H（θ）?θ=?H?θ1…?H?θ10T]表示截面内力学传递函数[H（θ）]的梯度。篮球运动员在运球过人中关节位移超限，将[H（θ）]取为：
[H（θ）=i=110（θimax-θimin）24×（θimax-θi）（θi-θimin）] （26）
根据阻尼加權可得篮球运动员关节力矩平衡时的最优解：
[θ=J+WLN（θ）?pe] （27）
式中：[J+WLN（θ）=W-1JT[J?W-1JT]-1，]基于[H（θ），]可得篮球过人中的膝盖成角受力的特征估计矩阵[W（i=1～10）]：
[W=w10…00w2…0????00…w10] （28）
其中：
[wi=1+?H（θ）?θi，Δ?H（θ）?θi≥01，其他] （29）
通过估计的力学特征进行受力模型分析，准确地估计篮球过人中膝盖成角受力的力学特性。
3 仿真测试与结果分析
仿真实验建立在Matlab仿真软件基础上，采用ADAMS软件对人体进行篮球运动过人的运动学模型进行肢体三维模拟，建立力学测试的虚拟样机，用SolidWorks建立简化的人体运动的骨骼和肌肉受力模型，采用力学传感器进行运动受力的数据采集，保存为Parasolid（*.x_t）文件，并实时传递到系统中进行受力分析，在ADMAS中生成推覆曲线，根据本文设计得到的篮球过人中的膝盖成角受力状态下的正向运动学模型，结合实测数据采集结果，进行力学测试和分析，得到篮球运动员在过人中随着身体位移膝盖成角承载力结果与推覆曲线的关系如图2所示。
从图2可见，推覆曲线在承载力的受力极值点相交处形成膝盖受力的机构点，能准确反映出膝盖受力的力学特征行为，进而得出在正向过人和反向过人下，左腿及右腿的膝盖成角受力承载强度的仿真结果，如图3所示。
分析图3得知，采用本文模型进行篮球过人中膝盖成角受力的力学估计和分析，能精确计算出膝盖成角的受力情况，对受力特征的估计准确性较高。
4 结 语
为了定量分析篮球过人中的膝盖受力情况，本文提出一种基于徐变荷载传递性力学分析的篮球过人中的膝盖成角受力建模方法。实验结果表明，采用该模型进行篮球过人中的膝盖成角受力模拟，对力学特征估计的精度较高，对膝盖的位形角等参量拟合准确，具有一定的体育训练和运动伤预防的指导作用。
参考文献
[1] 韩亚丽，王兴松.下肢助力外骨骼的动力学分析及仿真[J].系统仿真学报，2013，25（1）：61?67.
[2] 唐志勇，谭振中，裴忠才.下肢外骨骼机器人动力学分析与设计[J].系统仿真学报，2013，25（6）：1338?1344.
[3] 高峰.业余体育训练中运动损伤的预防研究[J].科技通报，2013，29（1）：54?56.
[4] 柯文德，彭志平，洪炳镕，等.基于运动相似性的仿人机器人上阶梯行走研究[J].华中科技大学学报（自然科学版），2012，40（12）：60?64.
[5] 张霖，欧林林，俞立.执行能力有限的两差动轮机器人目标跟踪控制器[J].信息与控制，2015，44（2）：152?158.
[6] 韩峥，刘华平，黄文炳，等.基于Kinect的机械臂目标抓取[J]. 智能系统学报，2013，8（2）：149?155.
[7] 付根平.仿人机器人的步态规划和步行控制研究[D].广州：广东工业大学，2013.
[8] 张彤.仿人机器人步行控制及路径规划方法研究[D].广州：华南理工大学，2010.
[9] 廖一寰，李道奎，唐国金.基于混合规划策略的空间机械臂运动规划研究[J].宇航学报，2011，32（1）：98?103.
摘 要： 针对当前的二自由度驱动力矩跟踪分析方法对受力的拟合准确度不高的问题，提出基于徐变荷载传递性力学分析的篮球过人中的膝盖成角受力建模方法。首先进行篮球过人中的膝盖成角受力传递关系模型构建，然后在笛卡尔空间中构建人体运动学模型，采用徐变荷载传递性分析方法得到膝盖成角受力的阻尼加权，得到受力状态下的正向运动学模型，实现膝盖成角受力模型分析。实验结果表明，采用该模型进行篮球过人中的膝盖成角受力模拟，对力学特征的估计精度较高，对膝盖的位形角等参量拟合准确。
关键词： 成角受力模型； 力学分析； 受力传递关系模型； 徐变荷载
中图分类号： TN911.1?34； TP273 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2017）07?0171?04
Analysis and simulation of knee angulation force model
for breakthrough in basketball sports
LI Yuejun
（Department of Physical Education， Hebei Normal University for Nationalities， Chengde 067000， China）
Abstract： Since the current two?freedom driving torque tracking analysis method has low fitting accuracy to the force， a knee angulation force modeling method for breakthrough in basketball sports is put forward， which is based on the creeping load transitivity mechanical analysis. The knee angulation force transitive relation model for breakthrough in basketball sports was constructed. The human body kinematics model was constructed in Cartesian space. The creeping load transitivity analysis method is used to get the damping weight of the knee angulation force and forward kinematics model under the stress state to analyze the knee angulation force model. The experimental results show that the knee angulation force model for breakthrough in basketball sports has high estimation accuracy of the mechanical characteristics， and the parameter fitting such as knee angulation is accurate.
Keywords： angulation force model； mechanical analysis； force transitive relation model； creeping load
篮球过人是實现突破防守和有效进攻的重要技巧，篮球的过人方式有很多，主要有转身过人、胯下运球过人、背后运球过人等，在篮球过人中，特别是胯下运球过程中，需要通过膝盖成角度弯曲，通过膝盖对防守球员的阻挡，实现运球过人[1?2]。研究篮球过人中的膝盖成角受力模型，将在指导篮球科学训练，避免篮球运动中受伤和摔倒具有重要意义。
对此，本文提出一种基于徐变荷载传递性力学分析的篮球过人中的膝盖成角受力建模方法，得到受力状态下的正向运动学模型，实现膝盖成角受力模型分析，最后通过仿真实验进行性能测试，得出有效性结论。
1 运动学模型构建
1.1 膝盖成角受力传递关系模型
为了实现对篮球过人中的膝盖成角受力模型分析，首先构建篮球过人中的膝盖成角受力传递关系模型，采用7个自由度的分层子维空间运动规划概念[3]构建篮球运动中人力力学传感模型，如图1所示。
根据图1所示的力学传感模型进行篮球运动中的肢体受力力学传递分析，基于D?H约定的篮球运动员7个自由度模型中[4?5]，令膝盖、肩部和肘部在过人中的旋转自由度为[q1=q1，q2，…，q7T，][sinqi]和[cosqi]分别记为[sqi]和[cqi，]并简记为[si]和[ci，]构建大地坐标系和速度坐标系，在坐标系[i]和[i-1]之间建立篮球过人膝盖受力特征分解矩阵[i-1Ti（qi）]，表示为：
[i-1Ti（qi）=ci-cαisisαisiaicisicαicisαiciaisi0sαicαidi0001] （1）
在篮球运动员膝盖成角度挖掘的正向运动学（FK）方程中，采用逆向运动学解析方法可得成角受力的7自由度特征分解向量[Σ7]的位姿相对于大地坐标系[Σ0]的末端效应力学传递变换矩阵描述为：
[0T7（q1）=i=17i-1Ti（qi）=noap0001] （2）
式（2）描述篮球运动员在膝盖成角受力传递关系模型的冗余度，可用膝关节中心绕左右腿各驱动关节和[Σ0]原点轴的旋转描述，一旦确定膝关节成角受力的位姿，即可推导出膝关节成角受力传递力学关系模型的解析形式。根据人体运动Lagrange动力学方程式[6?7]，可以推导出篮球过人中的膝盖成角受力的位姿[0T4：]
[0T4=i=14i-1Ti（qi）=n4o4a4p40001] （3）
式中：[a4=rw-p4rw-p4，][rw=p-lh?n，][o4=a4×][（rs-p4）a4×（rs-p4），n4=o4×a4]。
将腿上的质量纳入运动受力的考虑范围，结合图1给出的末端效应器，得到篮球运动中助力力矩所在关节的位姿为：
[4T7=i=57i-1Ti（qi）=i=14i-1T-1i（qi）?0T4=neoeaepe0001] （4）
通过构建膝盖成角受力传递关系模型，进行力学分解和受力模型的三维特征空间重构。
1.2 受力力矩计算
在进行了膝盖成角受力传递关系模型构建的基础上，结合篮球过人中的膝盖关节的力学结构分布和相关参数设置，进行受力力矩计算，将膝盖受力的Lagrange线性变形增量分解成两个更小维度的子逆运动学问题[8]，在膝盖关节的受力力矩矩阵中左乘[0T-11]可得：
[0T-11（q1）?0T4=i=24i-1Ti（qi）] （5）
依据Euler?Bernoulli理论进行篮球过人中承载力的离散估计，得膝盖成角度的推覆侧向承载力为：
[q1≡θ4=arctan2（±p4y，±p4x）] （6）
[q2≡θ5=arctan2（-p4z，c1p4x+s1p4y-ls）] （7）
将式（5）两边再左乘逆矩阵[2T-11（q2）]，进行膝盖的推覆侧向承载强度力矩计算，得：
[i=12i-1T-1i（qi）?0T4=i=34i-1Ti（qi）] （8）
结合奇异值矩阵分解，将膝盖的受力力矩矩阵的元素进行线性插值拟合[9]，可求得篮球过人中的膝盖成角受力力矩[q3]和[q4：]
[q3=arctan2（-s1o4x+c1o4y，-s2c1o4x-s2s1o4y-c2o4z）] （9）
[q4≡θ7=arctan2（c2c1n4x+c2s1n4y-s2n4z，c2c1a4x+c2s1a4y-s2a4z）] （10）
由式（4）得：
[4T-15（qi）?4T7=i=67i-1Ti（qi）] （11）
2 膝盖成角受力模型建模分析
2.1 膝盖成角受力的徐变荷载传递性力学特征分解
在进行篮球过人中的人体运动学模型构建的基础上，进行膝盖成角受力模型建模，提出一种基于徐变荷载传递性力学分析的篮球过人中的膝盖成角受力建模方法，在笛卡尔空间中构建人体运动学模型，在篮球过人中，运动员通过胯下过人越过防守线，膝盖沿着预定的轨迹运动，构建篮球运动员膝盖受力的笛卡尔空间，可求三个旋转自由度的力学徐变衰减为：
[q5≡θ8=arctan2（±oey，±oex）] （12）
[q6≡θ9=arctan2（-oez，-c5oex-s5oey）] （13）
[q7≡θ10=arctan2（-s5nex+c5ney，s5aex-c5aey）] （14）
根据膝盖成角受力后的软化系数和剪力传递系数，获得篮球运动员成角受力的徐变荷载传递性IK解析方程，类似可求解篮球运动员膝盖的正向和逆向运动学方程，描述为：
[utt-Δu+u4u=0（u，?tu）t=0=（u0，u1）∈Hscx×Hsc-1x] （15）
式中，[u：I×IRd→IR]是实值函数，膝盖受力的结构刚度及应力分布在三维空间中相对于固定在下肢惯性参考系[ΣI]的4×4的奇異特征矩阵[IT0（α0，β0，γ0）]表示（[≡IT0（θ1，θ2，θ3）]），膝盖受力导致的剪力传递变量为[pt=xt，yt，ztT，]绕三个轴的旋转，分别用膝盖力矩矢量偏移角[α0，]上身俯仰角[β0]和身体转动角[γ0]表示。其中，膝盖力矩矢量偏移角[α0]是绕[z]轴的旋转角，身体在过人中的旋转矩阵[Rz（α0）]表示为：
[Rz（α0）=cα0-sα00sα0cα00001≡Rz（θ1）] （16）
[β0]是绕[y]轴的徐变系数，其旋转矩阵[Ry（β0）]表示为：
[Ry（β0）=cβ00sβ0010-sβ00cβ0≡Ry（θ2）] （17）
[γ0]是膝盖受力角度绕[x]轴的模量软化系数，其身体在执行过人行为中的旋转矩阵[Rx（γ0）]表示为：
[Rx（γ0）=1000cγ0-sγ00sγ0cγ0≡Rx（θ3）] （18）
在任意过人步伐内应变增量组合为：
[R（θ1，θ2，θ3）=Rz（θ1）Ry（θ2）Rx（θ3）] （19）
把身体质量分解为两个作用在双腿膝盖上的传递力特征向量，得到膝盖成角受力的徐变荷载传递性力学特征分解结果为：
[IT0（θ1，θ2，θ3）=R（θ1，θ2，θ3）pt01] （20）
2.2 成角受力阻尼加权及受力特征估计
根据膝盖成角受力的徐变荷载传递性力学特征分解结果，可得在速度坐标系[Σe（≡Σ7）]中相对于惯性坐标系[ΣI]的力学阻尼特征矩阵[IT7（θ）]为：
[IT7（θ）=IT0（θ1，θ2，θ3）?0T7（q1）] （21）
采用徐变荷载传递性分析方法得到膝盖成角受力阻尼加权，构成运动链关节位形[θ]和篮球运球过人的位姿[pe]的正向运动学关系式：
[pe=f（θ）] （22）
设篮球运动员的末端效应器在笛卡尔空间的位姿、速度分别为[pe，][pe∈R6×1，]其膝盖的各个关节空间的动能、力矩分别为[θ，][θ∈R10×1，]可得篮球运动员在成角受力阻尼加权约束下的正向运动学微分方程：
[pe=J（θ）θ] （23）
式中：[J（θ）∈R6×10]为篮球运动员膝盖受力特征分解的雅可比矩阵。冗余运动学方程为：
[θ=J+pe+（I-J+J）ξ] （24）
式中：[J+（θ）=JT（JJT）-1]为膝盖质心转动惯量矩阵[J]的Moore?Penrose广义逆矩阵，可利用运动惯性力矩分解方法进行膝盖受力的加权估计计算；[I∈R10×10]为单位矩阵；[ξ∈R10]为任意矢量；[J+pe]为相邻关节节点的受力传递特征向量，也称为最小范数解。在篮球运动员的过人动作中，受力行为位移分配矩阵[（I-J+J）ξ]具有齐次解，采用正向运动学分解方法，用[k?H（θ）]取代[ξ，]篮球运动员膝盖成角受力的力矩可重写为：
[θ=J+pe+k（I-J+J）?H（θ）] （25）
式中：[?H（θ）=?H（θ）?θ=?H?θ1…?H?θ10T]表示截面内力学传递函数[H（θ）]的梯度。篮球运动员在运球过人中关节位移超限，将[H（θ）]取为：
[H（θ）=i=110（θimax-θimin）24×（θimax-θi）（θi-θimin）] （26）
根据阻尼加權可得篮球运动员关节力矩平衡时的最优解：
[θ=J+WLN（θ）?pe] （27）
式中：[J+WLN（θ）=W-1JT[J?W-1JT]-1，]基于[H（θ），]可得篮球过人中的膝盖成角受力的特征估计矩阵[W（i=1～10）]：
[W=w10…00w2…0????00…w10] （28）
其中：
[wi=1+?H（θ）?θi，Δ?H（θ）?θi≥01，其他] （29）
通过估计的力学特征进行受力模型分析，准确地估计篮球过人中膝盖成角受力的力学特性。
3 仿真测试与结果分析
仿真实验建立在Matlab仿真软件基础上，采用ADAMS软件对人体进行篮球运动过人的运动学模型进行肢体三维模拟，建立力学测试的虚拟样机，用SolidWorks建立简化的人体运动的骨骼和肌肉受力模型，采用力学传感器进行运动受力的数据采集，保存为Parasolid（*.x_t）文件，并实时传递到系统中进行受力分析，在ADMAS中生成推覆曲线，根据本文设计得到的篮球过人中的膝盖成角受力状态下的正向运动学模型，结合实测数据采集结果，进行力学测试和分析，得到篮球运动员在过人中随着身体位移膝盖成角承载力结果与推覆曲线的关系如图2所示。
从图2可见，推覆曲线在承载力的受力极值点相交处形成膝盖受力的机构点，能准确反映出膝盖受力的力学特征行为，进而得出在正向过人和反向过人下，左腿及右腿的膝盖成角受力承载强度的仿真结果，如图3所示。
分析图3得知，采用本文模型进行篮球过人中膝盖成角受力的力学估计和分析，能精确计算出膝盖成角的受力情况，对受力特征的估计准确性较高。
4 结 语
为了定量分析篮球过人中的膝盖受力情况，本文提出一种基于徐变荷载传递性力学分析的篮球过人中的膝盖成角受力建模方法。实验结果表明，采用该模型进行篮球过人中的膝盖成角受力模拟，对力学特征估计的精度较高，对膝盖的位形角等参量拟合准确，具有一定的体育训练和运动伤预防的指导作用。
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