体验思路突破，探究问题解法

    唐晓霞

    

    

    

    [摘? 要] 开展二次函数综合题探究可以强化学生知识，提升学生能力. 教学中建议以问题为依托，使学生体验思路突破的过程，开展解法拓展，归纳解题策略，让学生感悟类型问题的解法异同. 文章以一道二次函数综合题为例，开展解法探究，与读者交流.

    [关键词] 二次函数;动点;几何;面积;矩形

    ■ 问题呈现

    问题?如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2-2ax-3a（a<0）与x轴相交于点A和点B（点A在点B的左侧），直线l经过点A并与y轴的负半轴交于点C，与抛物线的另一交点为D，且CD=4AC，试回答下列问题.

    （1）求点A的坐标以及直线l的函数表达式.

    （2）设点E是直线l上方抛物线上的一个动点，连接AE，EC. 若△ACE面积的最大值为■，试求a的值.

    （3）设点P为抛物线对称轴上一点，点Q位于抛物线上，试分析以A，D，P，Q四点为顶点的四边形能否为矩形. 若能，请求出点P的坐标;若不能，请说明理由.

    ■ 思路突破

    问题中的三个小问较为典型，下面逐问探究.

    （1）抛物线的解析式的每一项均含有参数a，对解析式变形后可得y=a（x-3）（x+1），结合交点与解析式的关系可知抛物线与x轴的交点分别为（-1，0），（3，0），即A（-1，0），B（3，0）. 可将直线l的函数表达式设为y=kx+b，求其表达式只需求出k，b的值即可. 题干条件给出CD=4AC，可联想相似比进行坐标转化求解.

    直线l经过点A，则有0=-k+b，即b=k，则直线l的函数表达式可简化为y=kx+k. 因为CD=4AC，所以点D的横坐标为4，纵坐标为5k，即点D的坐标为（4，5k）. 又点D在抛物线上，将其坐标代入抛物线解析式，可解得k=a，所以直线l的函数表达式为y=ax+a.

    （2）该问设定点E为抛物线上一动点，属于二次函数中的面积最值问题. 可设出点E的坐标，采用面积割补法构建△ACE的面积模型，将问题转化为二次函数最值问题，从而确定a的值.

    如图2，設点E的坐标为（x，ax2-2ax-3a），过点E作y轴的平行线，与直线l交于点F，则点F的坐标为（x，ax+a）. 计算可得EF=ax2-3ax-4a，又S■=S■-S■，代入线段长，化简后可得S■=■ax-■2-■a. 分析可知，当x=■时，△ACE的面积取得最大值-■a，则-■a=■，解得a=-■.

    （3）该问分析以A，D，P，Q为顶点的四边形能否为矩形，基本策略是“假设→论证”. 分析时需要利用矩形的性质，由边的垂直来提取其中的直角三角形，利用勾股定理建立线段长的关系. 分析可知，AD可以为矩形的一条边，也可以为矩形的一条对角线，因此需要进行分类讨论.

    联立直线l与抛物线的解析式，得ax2-2ax-3a=ax+a，解得x1=-1，x2=4，所以D（4，5a）. 由抛物线的解析式可知其对称轴为直线x=1，因为点P在抛物线的对称轴上，所以可设P（1，m）. 下面分两种情形进行讨论.

    ①若AD为矩形的一条边，如图3，则点Q的坐标为（-4，21a），m=21a+5a=26a，则P（1，26a）. 因为四边形ADPQ为矩形，所以∠ADP=90°. 在△ADP中使用勾股定理，有AD2+PD2=AP2，代入线段长可得25+（5a）2+（1-4）2+（26a-5a）2=4+（26a）2，解得a =-■，所以此时点P的坐标为1，-■.

    ②若AD为矩形的一条对角线，如图4，由点A和点D的坐标，可推知AD的中点为■，■a，点Q的坐标为（2，-3a），则m=5a-（-3a）=8a. 所以P（1，8a）. 因为四边形AQDP为矩形，所以∠APD=90°. 在△ADP中使用勾股定理，有AP2+PD2=AD2，代入线段长可得4+（8a）2+（1-4）2+（8a-5a）2=25+（5a）2，解得a=-■，此时点P的坐标为（1，-4）.

    综上可知，以A，D，P，Q四点为顶点的四边形能成为矩形，此时点P的坐标为1，-■或（1，-4）.

    ■ 方法拓展

    上述对一道二次函数综合题进行了解读与突破，其中第（2）问和第（3）问属于综合性极强的问题，联系了几何知识，其构建思路具有一定的参考价值，两问均属于二次函数中的经典问题，其解析策略灵活多样，下面深入探讨.

    1. 面积最值问题策略

    二次函数中的面积最值问题一般分两步进行突破：第一步，建模——建立关于几何面积的模型;第二步，代数分析——可利用函数性质、不等式性质. 上述第（2）问采用了面积割补法构建模型，但仅是将三角形转化为两个简洁的图形，从过程来看，还需求解两个三角形的面积. 对于该类问题，还可以采用面积铅垂法，即添加与坐标轴平行的辅助线，将其转化为两个共底三角形，于是简化面积模型.

    例1? （2019年海南中考改编）如图5，A（-5，0）和B（-4，-3）是抛物线y=ax2-bx+5上的两点，抛物线与x轴的另一交点为C.

    （1）试求抛物线的解析式;

    （2）点P是抛物线上不与点B和点C相重合的动点，设点P的横坐标为m，当点P在直线BC下方运动时，试求△PBC面积的最大值.

    解析?（1）利用点A和点B的坐标可求得抛物线的解析式为y=x2+6x+5.

    （2）由抛物线的解析式可求得点C的坐标为（-1，0）. 过点P作y轴的平行线，与直线BC的交点设为Q，则△PBC的面积可以表示为S△PBC=■·PQ·xC-xB. 易知点P的坐标为（m，m2+6m+5），可推知Q（m，m+1），所以PQ=-m2-5m-4. 所以S△PBC=■（-m2-5m-4）=-■m+■2+■. 分析可知，当m=-■时，△PBC的面积取得最大值■.

    2. 矩形存在性问题策略

    二次函数中的矩形存在性问题需要充分利用矩形的特性，上述第（3）问结合勾股定理来构建解析方程，其核心是矩形对角线分割出的直角三角形，采用的是代数论证. 该类问题还可以利用矩形的对角线相等且平分来解析，其中的平分关系可联系中点坐标.

    例2?如图6，已知矩形OABC的顶点A（-3，0），过点C的直线y=-2x+4与x轴交于点D，二次函数y=-■x2+bx+c经过点B和点C.

    （1）试求二次函数的解析式.

    （2）若点P为CD的中点，分析二次函数上是否存在点M，使得以A，P，C，M为顶点的四边形为矩形. 若存在，请求出点M的坐标;若不存在，请说明理由.

    解析? （1）从函数图像关系可求得二次函数的解析式为y=-■x2-■x+4.

    （2）连接AC和MP，设交点为E. 假设四边形APCM为矩形，则点E为AC和MP的中点. 由A（-3，0）和C（0，4）可知AC=5，E-■，2. 由C（0，4）和D（2，0）可知P（1，2）. 由中点坐标公式可得点M的坐标为（-4，2）. 于是只需确保点M的坐标满足二次函数的解析式，即可论证四边形APCM为矩形的假设成立. 将x=-4代入y=-■x2-■x+4中，可解得y=2，所以存在点M（-4，2）使得以A，P，C，M为顶点的四边形为矩形.