在问题中引领在变式中提升

2022.07.08

章礼满

[摘? 要] 图形面积的最大值是“二次函数与一元二次方程”的一个重要内容，也是一个难点，在常态的教学过程中，如何通过问题和问题链来引领学生的思维生长，如何通过课堂的变式来促进学生能力的提升是教师需要重点研究的关键点. 笔者结合文章谈谈如何通过问题和变式达成良好的教学效果.

[关键词] 问题;变式;思维;图形面积的最大值;教学策略

在深入践行核心素养落地生根的过程中，我们要不断挖掘数学的学科价值和学科魅力，加强学科素养中关键能力的进阶渗透. 在二次函数的教学过程中，我们需要注重二次函数与一元二次方程的融合应用，在应用中促进学生对相应知识与技能的掌握，也通过教学环节的变通与实践，促进学生核心素养的落地生根.

■ 价值剖析，挖掘学科价值

在二次函数与一元二次方程的融合应用中，我们需要将二次函数与一元二次方程的价值和共性进行挖掘和剖析，让学生在分析与对比中再次对二次函数和一元二次方程进行自发的巩固与复习，并在教师的引领下达成学以致用. 比如，以“长方形和窗户透光最大面积问题”为例，在分析与对比中建构数学模型，将模型思想再次植入学生的思维习惯之中，让数学思想引领学生的思维生长，也让学生在真正的应用中深刻感受数学应用的价值，学会分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题.

在这个环节中，教师需要在教学活动实施前进行充分的剖析和挖掘，需要搜集相应的应用类的情境、模型、数据等，另一方面要进行巧妙的情境创设，让学生的学习兴趣、学习欲望随之生长，达成学习内驱力的充分激发. 这样的价值剖析、魅力彰显，能有效地提高教学内容的价值，促进学习效能的提升.

■ 例题渐析，问题引领生长

学习不是一蹴而就的，而是循序渐进的，尤其在新授课的过程中，教师在备课的过程中要充分分析学情与学材，明晰二者的关系将会真正引领学生的思维生长，促进学生能力的提升. 在这节课的教学过程中，笔者采用典型例题的逐渐剖析，以及问题链的形式来启发学生的思维，采用追问、反问、驳问、曲问等形式，让学生的思维随着问题的内容而迂回曲折，真正达成能力与思维的并进. 比如，笔者在这节课中选择了如下一道经典例题，来帮助学生达成对相应内容的突破.

例1? 如图1，矩形ABCD在直角三角形内，AB和AD分别在两直角边上.

（1）设AB=x cm，那么AD边的长度如何表示？

（2）设矩形ABCD的面积为y m2，当x取何值时，y的最大值是多少？

在例题的揭秘过程中，读题、剖析题目是第一位的，在这种基础之上，让学生去做、去分析是至关重要的. 我们采用如下问题来突破.

问题1：已知两条直角边分别是30 cm和40 cm，你还知道哪个量？

问题2：图形有几个三角形，这些三角形又是什么关系？

问题3：如果AB=x ，那么x与两条直角边之间是什么关系？

问题4：BC=AD，要求AD与x的关系，是否可以先求BC与x的关系？

在此，第一个问题链也就轻松建构起来，学生可以通过剖析图形找到相似三角形的关系，结合已知边的大小，建构已知量与x的关系，问题迎刃而解. 而解决第（2）问也是本题的关键所在，我们同样可以采用下面的问题链来突破.

问题1：矩形ABCD的面积怎么求？

问题2： AD=■已经知道，那么面积能否用关于x的等式来表示呢？

问题3：设面积为y m2，那y和x的表达式能表示吗？

问题4：y和x的表达式是一个二次函数，你能把这个二次函数的图像特点描述一下吗？

问题5：你能求解这个二次函数的最值吗？此时的x取多少？

这样的分析步步为营，环环相扣，教师的问题不仅启发了学生的思维方向，也教会了学生如何分析、如何突破. 如此，将一个复杂的大问题，慢慢转化为一个个小问题，达成“授之以渔”的效果，让学生在问题的分解中达成对方法的提炼.

■ 多元巩固，变式促进生长

基于现有例题的多元巩固、变式、变通、拓展是全面提升学生对例题的理解的关键，也是让学生全面生长学习能力的关键策略. 在变式的过程中，我们要注重方法与策略、进阶与多元.

1. 同等变式，熟能生巧

这种变式是基于同种问题类型的变式与变通，从方法与技能的广度上能促进学生在有效的变式训练中达成熟能生巧. 为了激发学生的兴趣，笔者制作了如下的变式挑战小卡片.

变式1：如图2，在Rt△ABC中，AC=3 cm，BC=4 cm，四边形CFDE为矩形，其中CF，CE在两直角边上，设矩形的一边CF=x cm. 当x取何值时，矩形ECFD的面积最大？最大是多少？

变式2：如图3，在Rt△ABC中，作一个长方形DEGF，其中FG边在斜边上，AC=3 cm，BC=4 cm，那么长方形DEGF的面积最大是多少？

变式3：如图4，已知△ABC，矩形GDEF的DE边在BC边上，G，F分别在AB，AC边上，BC=5 cm，S△ABC为30 cm2，AH为△ABC在BC边上的高，求矩形GDEF的最大面积.

在实际的训练过程中，我们可以结合学生的基础对变式1和变式3进行变通，基础薄弱的学生重点关注变式1和变式2，基础较好的学生重点关注变式2和变式3，或者只关注变式3.

2. 拓展变式，深入剖析

拓展性变式是基于原先例题的提升与拓展，重点让学生在原先的基础上面对更为复杂的数学模型情境，面对更为隐蔽的信息等等. 此时需要学生进一步分析数学情境中的数学模型，建立函数模型，让二次函数的表达式得以明了，也借此达成学以致用的效果，如变式4.

变式4：某建筑物窗户如图5所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形. 制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15 m. 当x等于多少时，窗户透过的光线最多（结果精确到0.01 m）？此时，窗户的面积是多少？

在这道题目中，我们可以发现“造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15 m”，这一信息较前面的题目更隱蔽一些，需要学生分析图形中的关系，从而建构x，y与已知量15之间的关系，进而结合半圆形面积和矩形面积的求和达成面积的关系式，再结合二次函数来完成求解.

通过以上两个环节的变式和剖析，学生对所学内容有了一个较为深入的认知和巩固，无论是方法上还是技能上，或者思维上，都得到了较为精准的提升.

总之，学生在课堂上的能力生长和思维进阶都需要教师巧妙而科学的设计，这种设计一方面是基于学生的学情，达到因材施教、以学定教，另一方面是按照学材的要求，满足国家课程对学生的要求，以此确保学生能满足社会发展的需要，能更好地适应社会的发展.