浅谈数学中的“转化法”解题技巧

    王鹏飞

    

    

    中图分类号：A? 文献标识码：A? 文章编号：（2021）-20-450

    “转化法”解题，是指在解题中化具体为抽象、化静为动、化低次为高次、化局部为整体、化个别为一般等方法的一种解题策略。运用这一策略常可使解题过程简洁灵巧，收到事半功倍的效果。下面以一些往年的中考题为例来说明。

    一、化具体为抽象，用字母代替数字

    有些数学问题，从其本身的数量关系来看，直接寻找解答方法较困难，这是由于特殊的数或量妨碍我们从一般情形去考虑问题，若能用字母代替数字，则能很快获解。

    例1你能比较两个数20082009和20092008的大小吗？

    为了解决这个问题，我们先把它抽象成一般数学问题，写出它的一般形式，即比较nn+1与（n+1）n的大小（n是自然数）。然后，我们从分析n=1，2，3，……这些简单情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论。

    （1）通过计算，比较下列各组中两个数的大小（在空格中填写“>”、“=”、“<”号）。

    ①12? 21;②23? 32;③34? 43;④45? 54;⑤56? 65;……

    （2）从第（1）题的结果经过归纳，可以猜想出nn+1与（n+1）n的大小关系是（? ）。

    （3）根据上面归纳猜想得到的一般结论，试比较下列两个数的大小：20082009 20092008。

    分析：此题若直接计算显然比较费时费力，而命题者精心设计了一个解题程序，先考虑

    它的一般情况中的几个特例，通过计算进行形象思维，再归纳猜想出一般性结论，并应用结论去解决问题，学生很容易得出如下答案：

    （1）<、、>、>;

    （2）当n<3时，nn+1（n+1）n（n是自然数）

    （3）>。

    二、化静为动，用函数代替方程

    方程与函数相比较，函数更具一般性，方程的解可理解为对应函数在某种特定状态下自变量的值。因此当我们研究一个方程时，有时可将它置于函数之中，在变化中解题。

    例2方程x2-11x+30+a=0有两个实数根，且两根都大于5，则a的范围是（ ）

    （A）a>0? （B）a≤ 1 4 ?（C）0

    分析：将方程置于函数之中考虑，设y=x2-11x+30+a，其图象是以x= 11 2 为对称轴，开口向上的抛物线，结合图1易知，要使原方程两根都大于5，即抛物线与x轴有交点，且交点在（5，0）的右则，从而有：（1）b2-4ac≥0;（2）当x=5时，y>0.即 ??b2-4ac=（-11）2-4×1×（30+a）≥0，52-11×5+30+a>0.解得0

    三、 化局部为整体，从大处着眼

    从表面上看，有些数学题需要局部求出各有关的量，但实际上若从总体上去把握这些量之间的关系，进行整体处理，则解题思路更为明朗、简洁。

    例3已知（x+y）2=25，（x-y）2=1，则x2+y2的值为（? ）

    （A）12.? （B）13.? （C）14.? （D）15.

    分析：本题固然可以求出x，y的值，但较繁，也没有这个必要，将x2+y2视为整体，则有 ??（x2+y2）+2xy=25…………（1）（x2+y2）-2xy=1…………..（2）所以[（1）+（2）]÷2，得x2+y2=13.故应选（B）。

    例4、已知实数a、b满足的条件为a2-7a+2=0，b2-7b+2=0，则 b a + a b =

    分析：分别求出a、b再求值较繁，将题设中的两个等式进行整体思考，容易知道a≠b时，a、b是方程x2-7x+2=0的两个根，由a+b=7，ab=2得， b a + a b = a2+b2 ab = （a+b）2-2ab ab = 72-2×2 2 =22 1 2 当a=b时，原式=2.

    四、借助高次解决低次问题

    解数学题通常要将高次问题转化为低次问题，但有时若进行“升次”转化，却能使解答简洁明快。

    例5解方程x2+ 9x2 （x-3）2 =27

    解：设y= 3x x-3 ，则3（x+y）-xy=0.原方程转化为方程组 ??x2+y2=27…………（1）xy=3（x+y）…………（2），（1）+（2）×2得（x+y）2-6（x+y）-27=0.∴x+y=9，或x+y=-3.从而有 ??x+y=9xy=27或 ??x+y=-3xy=-9第一個方程组无解，解第二个方程组得x1，x2= -3±3 5? 2 .经检验知原方程的解为x1，x2= -3±3 5? 2 。

    例6已知a2-3a+9=0，求a3的值。

    分析：联想到立方和公式，作如下转化：∵a2-3a+9=0∴a≠-3∴（a+3）（a2-3a+9）=0即a3+27=0∴a3= —27。本例在实数范围内是无法解决的，这是用“转化”思想巧妙地求出了a3的值。

    五、 化三角形为多边形，增加边数

    多边形问题常常转化为三角形来处理，但有时将三角形转化为多边形来处理，却显得新颖别致，更具创造性。

    例7已知三角形ABC中，AB=AC，AE=CF，求证：EF≥ 1 2 BC.

    分析：要证EF≥ 1 2 BC，即要证2EF≥BC。根据这一关系，可想到构造一个以EF长为腰，BC长为底边的等腰三角形，于是可在AC边上接一个倒置的且与△ABC全等的三角形，将三角形转化为平行四边形来解决。

    证明：如图2，过A作AD∥且=BC，连结DC，在DC上截取DG=AE，连结EG、FG。则△ABC≌△CDA，△AEF≌△CFG，并且四边形AEGD是平行四边形，故EF=FG，EG=BC。

    ∵EF+FG≥EG，∴2EF≥BC，即EF≥ 1 2 BC

    例8在△ABC中，AD⊥BC，∠BAC=450，BD=2，DC=3.求△ABC的面積。、

    分析：（如图3）根据对称性，作△ABE≌△ABD，△ACF≌△ACD，再延长EB、FC相交于G，得正方形AEGF.在Rt△BCG中，设CG=x，则BG=x+1.又BC=5，由勾股定理有BG2+CG2=BC2.即（x+1）2+x2=52.解得x=3（-4舍去），故FG=6.从而AD=AF=FG=6. ∴S△ABC= 1 2 ×5×6=15

    六、化直为曲，将直线图形转化为圆

    圆具有许多重要的性质，有些直线图形问题转化为圆来处理，极易解决。

    例9在凸四边形ABCD中，AB=BC=BD，∠ABC=800，则∠ADC=（ ）

    （A）1400. （B）800.? （C）1000.? （D）1600.

    分析：如图4，以B为圆心，BA为半径作圆，则A、D、C都在圆B上，∵∠ABC=800，∴ADC ?此处为双箭头 为800的弧，∠ADC所对的弧为2800的弧，于是∠ADC=1400，故选（A）。

    例10如图5，在△ABC中，AB=AC=4，P为BC边上任意一点。求证：AP2+PB·PC=16.

    分析：如图5，以A为圆心，AB为半径作圆，则C点必在⊙A上，双向延长AP交⊙A于E、F.则由相交弦定理有PB·PC=PE·PF=（AE+AP）（AF—AP）=AB2-AP2.∴AP2+PB·PC=AB2=16.

    转化思想在很多辅导书或教材中都有提到过，但因本人孤陋寡闻，未见有详尽论述者。若以上有分类不全、不当或分类交叉现象处，请指正。熟练掌握转化思想能用无限认识有限，用一般现象证特殊现象等等。转化法的解题策略实质上是建立高观点、大视角，在更广阔空间或区域内解决给定的问题，因而值得学生掌握。