如何突破数学思想教学的瓶颈

    张永香

    数学思想是数学的灵魂。但在很多小学数学课堂教学中，数学思想却没有得到足够的重视，也没有得到真正的落实。究其原因，有以下三个方面：一是对数学思想的挖掘和渗透还不够;二是新旧内容的断层;三是学生认知水平的限制。下面，结合实际教学案例，谈谈如何突破这一瓶颈。

    一、深入挖掘，渗透数学思想

    数学思想决定了数学知识的高度和定位。南京大学郑毓信教授曾指出，小学数学知识看起来浅显，其实蕴含着丰富的数学思想。比如，对一年级10以内、20以内的加减法，很多学生在幼儿园时就已经烂熟于心了。教学中，如果教师依然停留在学生能准确、流利地算出正确答案就算达成教学目标的话，那么学生充其量只是一个算术计算的工具而已，而没有获得数学思想。实际上，在这些浅显的加减法知识里蕴含着重要的函数思想，它为今后要学习的所有运算知识提供了教学依据。而对一年级的学生来说，一个简单的暗箱魔术游戏就足以让他们体验到函数思想的魅力，如：一个数从箱子的一端进入，另一个数从箱子里面出来。在这样不断的变化中，学生们更乐于模拟实验，发现规律，得出结论，找出三者之间的关系。在课堂教学中，如果教师从一年级的加减法计算开始，对函数思想进行高度立意，一点点渗透函数变换、一一对应的思想，那么学生就不会只盯着计算结果的正误不放，而是能够逐渐确立一种关系思维和结构化思维，打破固有的算术思维，这是后期学习代数的重要基础。要真正帮助学生实现从低阶思维向高阶思维的平稳过渡，就要从一年级的加减法教学开始，向学生渗透数学思想。

    二、打通关联，感悟数学思想

    以数学的极限思想为例，很多教师认为，在小学无法渗透极限思想，其实不然。教师可以结合教学内容让学生去感悟这一数学思想。

    1.揭示整数的计数规律与性质

    学完整数后，可让学生思考一下，有没有一个最小的整数？能不能找到一个最大的整数？假设先让学生想象出一个很大的数，然后再加上1，就是它后面的一个数了。这样一直找下去，永远找不到一个最大的整数。可用数轴来表示数，而数轴是一条能向两边无限延展的直线，永远没有尽头，给学生的感受就是这个数永远也找不到。

    2.揭示整数与小数的关系

    学完小数后，可让学生尝试打通小数与整数之间的关联。比如，无限循环小数0.99999……让学生想办法证明0.99999……=1。然后，展示证明过程：设0.99999……=x，0.99999……×10=10x， 9.9999……=10x，前两个等式两边相减，得到9=9x，所以x=1。借助这个证明过程，让学生在线段图上用“逼近”的方法寻找这个数，从中体悟“逼近”的意思，感悟极限思想。

    3.揭示从特殊到一般的认识规律

    在教学三角形的内角和时，教师可向学生提出这样的问题：你是怎样想到三角形的内角和是180度的呢？为什么不是178度呢？教师可用极限思想引导学生先想象两种特殊情况，边想象边利用多媒体几何画板进行演示。第一种情况是将三角形的一边固定，不断下压此边相对的顶点，让其不断逼近这条边，使这条边对应的内角，逐渐接近一个平角，而另外两个角也同时逐渐变小，直小到用量角器都量不出来。第二种情况是将一个顶点向上拔高，另外两个顶点就会逐渐互相靠近，想象一下这时三个角的度数逼近了多少度？这样的教学过程可为学生打开一扇发现问题、思考问题、解决问题的窗口，让他们找到从特殊到一般的认知规律。

    也可引导学生经历“化直为曲”“化方为圆”的过程，揭示由多边形到圆的变换关系，感悟极限思想。首先，让学生动手剪一剪，把一张正方形纸片，依次剪出正八边形、正十六边形……直到无法操作。然后，通过观察和想象继续“剪”下去，看其结果怎样。当操作受限无法印证想象的时候，可以利用信息技术，用电脑进行更直观的演示，让想象的画面呈现在眼前。随后，利用电脑演示割圆术，展示正多边形逐步逼近圆的过程，帮助学生理解曲直、方圆之间的关系。这些活动经验的积累，可为学生后续学习圆的周长和面积奠定基础。

    还可让学生经历立体图形之间的变换过程，打通图形间的相互联系，感悟极限思想。比如，长方形与正方形的关系。当长方形的一边不动，另一边发生变化，直到两边长度相等时，就变成了正方形。由此，可以打通立体图形与平面图形的联系，印证“点动成线，线动成面、面动成体”的构形原则，找到图形各要素之间的位置、数量关系，从数学思想的高度帮助学生建立科学的空间观念。

    三、回归本源，应用数学思想

    小学生的数学思想，会受到认知水平的制约。要突破这一瓶颈，就要让学生在运用数学思想的过程中不断获得和加强数学思想。比如，数学学习中常用的转化思想、数形结合等。事实上，每一种数学思想都有其逻辑起点和思维起点，这就要求教学回到起点，追溯本源，进而提高学生的元认知能力。

    以“平均数”的概念教学为例，有的教师往往把概念教学变成了计算教学，很难让学生理解平均数的本质内涵。其根本原因在于教师对平均数的本源就不够清楚。笔者通过研究文献、分析教材、访谈教师和学生，对教学进行了调整。一是先弄清楚平均数概念的研究对象。作为统计量的平均数，需要研究三种状态，即正常状态、超常状态和失常状态。这三种状态的任何一种，都不能代表其总体水平或整体水平。综合这三种状态的数据，利用“移多补少”的方法所产生的虚拟数据，可代表其整体水平。二是平均数是一个统计量，它是在统计过程中产生的，所以没有统计过程的教学，就不会有统计观念的形成，也不会产生统计思想。由此，在教学中，笔者补充了概念原型的素材，意在引导学生基于概念原型的分析，充分理解概念产生的必要性和合理性，再经历“移多补少”的操作过程，體验平均数的形成过程，理解平均数的数学图形样态，最后将“平均分”和“平均数”进行对比，感受平均数的变化过程。这样的教学设计，使平均数概念的建构过程变得有理有据、清晰透明。在这个过程中，学生找到了概念生发的原型，并由此开始应用建模思想，最终通过推理、抽象的概念形成过程，获得了清晰的学习思路和可迁移的学习方法。

    综上所述，在教学中渗透数学思想需要教师对教材进行挖掘，根据学生的认知水平选择适合的教学方式，开展体验性、感悟性的教学活动，使学生受到数学思想的陶冶，感受数学思想的魅力。

    （责任编辑? ?郭向和）