基于贝叶斯推断的裂纹梁损伤参数识别
梁岗 沈奎双 马玉付
摘要：
针对在结构损伤诊断过程中存在的不确定性和对称结构损伤参数难以识别的问题，以梁损伤前后两阶频率变化平方比为基础损伤指标，采用对基础损伤指标进行积分处理的方法，构建新的损伤指标。基于贝叶斯结构损伤诊断理论，建立损伤参数的后验概率分布。采用马尔科夫链蒙特卡洛（Markov chain Monte Carlo， MCMC）方法解决贝叶斯方程中存在的高维积分问题。仿真和算例分析说明，该方法可实现对损伤参数的有效估计。
关键词：
贝叶斯推断； 简支梁； 裂纹； 损伤识别； 马尔科夫链蒙特卡洛（Markov chain Monte Carlo， MCMC）方法
中图分类号： U653.921； TH215
文献标志码： A
Abstract：
In order to solve the problems of the uncertainty in the process of structural damage diagnosis and the difficulty in identifying damage parameters of symmetrical structure， the two order frequencychange square ratio of beam before and after damage is taken as the basic damage index， and a new damage index is constructed by integrating the basic damage index. The posterior probability distribution of damage parameters is established based on the Bayesianian structural damage diagnosis theory. The Markov chain Monte Carlo （MCMC） method is adopted to solve the problem of high dimensional integral in Bayesianian equations. Simulation and example analysis show that the method can effectively estimate damage parameters.
Key words：
Bayesianian inference； simply supported beam； crackle； damage identification； Markov chain Monte Carlo （MCMC） method
0引言
随着我国经济的高速发展，港口码头的建设取得了很大的成就，港口起重机在起重运输领域中的作用日益增强。桥式起重机作为应用广泛的起重运输设备，在日常工作中要承受高载荷以及频繁而剧烈的振动冲击，其主梁结构经常发生裂纹损伤现象，安全运行存在极大的隐患。因此，为保证起重机的安全运行并对其健康状况进行监测，对主梁结构进行损伤识别研究尤为重要。
结构损伤会使结构的动力特性发生变化，在结构损伤前后分别测试结构的模态值，利用损伤指标方法能有效识别出结构的损伤。由于工程中存在着许多不确性定因素，例如温度的变化、力振幅的变化、动力测试噪声等，实测值与真实值之间总存在着误差，从而导致损伤识别问题成为不确定性问题[1]。因此，必须在确定性损伤识别研究的基础上，建立一种能比较合理地反映不确定性损伤识别概率的方法。BECK等[2]和KATAFYGIOTIS等[3]于1998年提出了基于貝叶斯模型修正及统计推断的基本框架，在此框架下VANIK等[4]建立了基于概率统计的健康监测方法。易伟建等[5]和李小华等[6]基于贝叶斯基本原理和
马尔科夫链蒙特卡洛（Markov chain Monte Carlo， MCMC）方法，对多层框架结构的局部加强的损伤情况进行了结构损伤诊断研究。房长宇等[7]考虑模型误差和测试噪声的影响，在基于动力响应的损伤识别中引入了贝叶斯估计理论，对轴力作用下的带损伤混凝土梁段进行了损伤识别。
因为结构振动频率的测量精度远高于振型的测量精度，而且频率的测量方法比较简单，所以本文通过测试结构振动频率的改变来识别结构的损伤。以单裂纹简支梁为例，基于传递矩阵法[8]推导出裂纹梁的频率特征方程，由此求出裂纹梁的低阶固有频率。以梁损伤前后两阶频率变化平方比为基础损伤指标，对简支梁结构在对称位置的裂纹损伤难以正确识别的问题[9]，采用对基础损伤指标进行积分处理的方法，构建新的损伤指标。基于贝叶斯推断理论分别建立损伤位置参数和损伤深度参数的后验概率分布，针对贝叶斯方程中分母维数高、积分困难的问题，采用MCMC方法，得到损伤位置参数和损伤深度参数的最优估计值，验证该方法的有效性。裂纹梁损伤参数识别研究思路框图见图1。
1裂纹梁频率特征方程推导
L，截面宽度和高度分别为b和h，其外侧边缘距离梁左端L0处有一深度为a的裂纹。弹性模量为E，截面惯性矩为I，密度为ρ，泊松比为ν。下面用传递矩阵法推导单裂纹简支梁的频率特征方程。
2贝叶斯推断和MCMC方法
2.1贝叶斯推断
贝叶斯推断是贝叶斯统计的核心，离散型随机变量的贝叶斯公式如下：
2.2马尔科夫过程
在式（2）中，
h（x）与样本观测值x有关，一般的蒙特卡洛模拟难以有效计算。MCMC方法通过在蒙特卡洛模拟中引进Metropolis准则，将模拟过程看成一个马尔科夫过程，模拟采样最终收敛于式（2）定义的概率分布。定义随机变量x的状态转移概率
为
P（i，j）=P（i→j）=P（Xt+1=sjXt=si）
它只取决于随机变量取值的当前状态，与过程无关。以此转移概率定义的随机变量x将最终达到一个静态分布π，与x的初始状态无关，满足π=πP，此时存在局部平衡：
P（j→k）π*j=P（k→j）π*k
它是π存在的充分条件。
2.3MetropolisHastings （MH）抽样算法
MH抽样算法[11]的基本思想是：假定要从目标概率密度函數
p（θ）（-∞<θ<+∞）中抽样，用MH抽样算法可以得到一条马尔科夫链，产生一条真值序列：
θ（1）→θ（2）→…→θ（t）→…
其中，θ（t）代表马尔科夫链中时刻t的状态。样本开始收敛前的迭代次数称为燃烧期，当经过k步燃烧期以后，抽样得到的序列可以近似反映目标分布p（θ），即通过平稳的马尔科夫链来近似等效替代未知的后验分布。具体的步骤如下：
（1）令t=1，产生初始值θ（0），令θ（t）=θ（0）。
（2）利用当前θ（t）值，从建议分布q（θ*|θ（t））中产生一个候选参数θ*。
（3）计算接受率：
ε=min1，p（θ*）p（θ（t））
（4）从均匀分布U（0，1）中产生一个随机数u。
（5）判断是否接受候选参数：若ε≥u则接受候选参数，即θ（t+1）=θ*；若ε<u则拒绝候选参数，即θ（t+1）=θ（t）。
（6）重复步骤（2）～（5），直至产生一个收敛序列，终止循环：t=T。
MH抽样算法是一种简单有效的数值模拟算法，能够解决从未知的后验分布中生成随机样本的问题。选择合理的建议分布对抽样的收敛效果有重要的影响。
3裂纹梁损伤参数识别
3.1基于频率变化平方比积分的损伤指标
文献[12]表明：当某一单元出现损伤或各损伤单元损伤深度相同时，结构损伤前后两阶频率变化的平方比
（dωi）2（dωj）2只与损伤位置有关，与损伤深度无关，故可以将其定义为损伤位置指标。不考虑结构损伤引起的质量变化时，（dωi）2ωi2只与损伤深度有关，故可以将其定义为损伤深度指标。
由于简支梁为对称结构，如果选择上述损伤指标，则在对称位置上损伤指标的值相同，识别结果不唯一，导致损伤参数无法识别。采用把原损伤指标对损伤参数进行积分处理的方法，保证了损伤指标与损伤参数的对应是唯一的，这样可以根据损伤指标有效地识别出损伤位置参数和损伤深度参数。损伤位置指标为
DL=
∫β0（dωi）2（dωj）2dβ，β为损伤位置参数，DL表征裂纹损伤位置参数的识别参量；损伤深度指标为DS=∫α0（dωi）2ωi2dα，α为损伤深度参数，DS
表征裂纹损伤深度参数的识别参量。
3.2先验分布
对于裂纹损伤
位置参数β和损伤深度参数α的先验概率分布，其选择依据主要是经验和相关文献资料。α和β在工程实践中为无信息先验分布，本文按照贝叶斯假设确定其先验分布。贝叶斯假设中的无信息先验分布指当参数θ的取值区间Θ和参数的含义已知、参数θ的其他信息均未知时，贝叶斯假设把取值区间Θ上的均匀分布视为θ的先验分布。按照此假设，损伤位置参数β和损伤深度参数α的先验分布为
3.3似然函数
由于工程中存在许多不确定性因素，例如温度的变化、力振幅的变化、动力测试噪声等，固有频率的测试值与真实值之间总存在着误差，测试值与理论计算值的误差符合线性模型：
4算例分析
4.1损伤指标的建立
设有一单裂纹简支梁模型，模型的几何参数和材料常数为：跨度L=1 m，截面宽度b=0.05 m，截面高度h=0.005 m，弹性模量E=207 GPa，密度ρ=7 800 kg/m3，泊松比ν=0.3。根据式（1）计算得出损伤位置参数、损伤深度参数与损伤前后两阶频率变化平方比的关系，见图3。图4为去除中间较大数据后损伤指标与损伤参数的关系图。
从图3和4可以看出，损伤前后两阶频率变化平方比在损伤位置参数0.5处呈现对称性，这与简支梁属于对称结构有关，对称结构的对称位置处发生相同的损伤将引起相同的频率变化量。为解决对称结构引起的损伤参数难以识别的问题，以损伤位置参数为自变量，对损伤前后两阶频率变化平方比进行积分处理，这样可以实现两者之间保持单调性，能有效识别对称结构的损伤情况。
图5给出了损伤深度参数α分别为0.1、0.3和
0.5时，损伤指标与损伤位置参数的关系。从图5可以看出，不同的损伤深度参数，其损伤指标与损伤位置参数的曲线在中间点呈现对称且均在水平轴上方。图6是损伤指标的积分值与损伤参数的关系图，两个变量之间保持单调性，因此对损伤指标进行积分处理可以实现对损伤参数的有效识别。
4.2样本值获取
用计算机进行仿真，测试值以生成正态分布随
机数的方式产生，理论值作为均值，标准差设为0.1。设梁上有一裂纹，损伤位置参数β=0.4，损伤深
度参数α=0.35，对应的第一阶和第二阶固有频率分别为73.558 rad/s和295.121 rad/s，各取10组样本值，样本数据见表1。
4.3基于MH算法的抽样过程
根据MH抽样算法，选取建议分布为正态分布，
β～N（β（t），σβ2），α～N（α（t），σα2），其中β和α为候选参数，β（t）和α（t）为上一次的迭代值，σβ2和σα2
为方差，这里选取（σβ2σα2）=（0.050.1）。在利用MCMC方法进行抽样前，必须对目标参数赋予初始值。选取不同的初始值，对后验均值最终的收敛没有任何影响，因此初始值的选取是任意的，可以根据相关的经验确定。随着迭代次数的增加，样本值最终会收敛于目标分布。
当损伤位置参数β和损伤深度参数α目标值分别为0.40和0.35时，设置其初始值分别为β=0.10，0.70，0.90和α=0.10，0.60，0.90，迭代次数N的最大值为2 000，通过仿真得到β和α的识别结果（马尔科夫链），见图7。
从图7可以看出，损伤位置参数和损伤深度参数取不同初始值时其识别结果均能达到预设目标值，预设初始值与目标值的距离将决定燃烧期的长度。损伤位置参数和损伤深度参数的馬尔科夫链均趋于预设目标值，且当迭代次数增加时波动较小，因此两个参数的马尔科夫链均是收敛的，达到了损伤识别的效果。
4.4损伤参数的识别结果
为降低所选初始值的影响，先去除前10%的后验样本，然后对后验样本进行频数统计，所得损伤位
置参数和损伤深度参数的后验分布频数直方图见图8。损伤位置参数集中在（0.39，0.41）区间内，其中0.40对应的频数最高；损伤深度参数集中在（0.34，0.36）区间内，其中0.35对应的频数最高。两个参数的后验分布频数直方图在它们取不同的初始值时都保持“瘦高”形状，类似正态分布，这与似然函数选取为正态分布的情形基本吻合。
5结论
本文用传递矩阵法推导了单裂纹简支梁频率特征方程，针对对称结构损伤参数难以识别的问题，采用对裂纹梁损伤前后频率变化平方比的基础损伤指标进行积分处理的方法，建立新的损伤指标。应用贝叶斯结构损伤诊断理论构建了损伤位置参数和损伤深度参数的后验函数。采用马尔科夫链蒙特卡洛（MCMC）方法解决了后验分布中存在高维积分难的问题，实现了对损伤参数的识别与估计。通过对简支裂纹梁的损伤估算和分析，验证了该方法的有效性，从而为梁类工程结构的损伤诊断和健康监测提供了参考。
参考文献：
[1]
MUTO M M. Application of stochastic simulation methods to system identification[D]. California： California Institute of Technology， 2007.
[2]BECK J L， KATAFYGIOTIS L S. Updating models and their uncertainties. I： Bayesianian statistical[J]. Journal of Engineering Mechanics， 1998， 124（4）： 455461.
[3]KATAFYGIOTIS L S， BECK J L. Updating models and their uncertainties. II： model identifiability[J]. Journal of Engineering Mechanics， 1998， 124（4）： 463467.
[4]VANIK M W， BECK J L， AU S K. Bayesianian probabilistic approach to structural health monitoring[J]. Journal of Engineering Mechanics， 2000， 126（7）： 738745.
[5]易伟建， 周云， 李浩. 基于贝叶斯统计推断的框架结构损伤诊断研究[J]. 工程力学， 2009， 26（5）： 121129.
[6]李小华， 公茂盛， 谢礼立. 基于多分辨率分析的结构物理参数识别贝叶斯估计方法： 方法推导与验证[J]. 工程力学， 2011， 28（1）： 1218.
[7]房长宇， 张耀庭， 马超. 基于贝叶斯理论评估轴力作用下带损伤段梁[J]. 科学技术与工程， 2014， 14（8）： 6569.
[8]芮筱亭. 多体系统传递矩阵法及其应用[M]. 北京： 科学出版社， 2008： 2395.
[9]杨秋伟， 刘济科. 结构损伤识别的附加质量方法[J]. 工程力学， 2009， 26（5）： 159163.
[10]RIZOS P F， ASPRAGATHOS N， DIMAROGONAS A D. Identification of crack location and magnitude in a cantilever beam from the vibration modes[J]. Journal of Sound & Vibration， 1990， 138（3）： 381388.
[11]康崇禄. 蒙特卡罗方法理论和应用[M]. 北京： 科学出版社， 2015： 86149.
[12]SALAWU O S. Detection of structural damage through changes in frequency： a review[J]. Engineering Structures， 1997， 19（9）： 718723.
（编辑贾裙平）
摘要：
针对在结构损伤诊断过程中存在的不确定性和对称结构损伤参数难以识别的问题，以梁损伤前后两阶频率变化平方比为基础损伤指标，采用对基础损伤指标进行积分处理的方法，构建新的损伤指标。基于贝叶斯结构损伤诊断理论，建立损伤参数的后验概率分布。采用马尔科夫链蒙特卡洛（Markov chain Monte Carlo， MCMC）方法解决贝叶斯方程中存在的高维积分问题。仿真和算例分析说明，该方法可实现对损伤参数的有效估计。
关键词：
贝叶斯推断； 简支梁； 裂纹； 损伤识别； 马尔科夫链蒙特卡洛（Markov chain Monte Carlo， MCMC）方法
中图分类号： U653.921； TH215
文献标志码： A
Abstract：
In order to solve the problems of the uncertainty in the process of structural damage diagnosis and the difficulty in identifying damage parameters of symmetrical structure， the two order frequencychange square ratio of beam before and after damage is taken as the basic damage index， and a new damage index is constructed by integrating the basic damage index. The posterior probability distribution of damage parameters is established based on the Bayesianian structural damage diagnosis theory. The Markov chain Monte Carlo （MCMC） method is adopted to solve the problem of high dimensional integral in Bayesianian equations. Simulation and example analysis show that the method can effectively estimate damage parameters.
Key words：
Bayesianian inference； simply supported beam； crackle； damage identification； Markov chain Monte Carlo （MCMC） method
0引言
随着我国经济的高速发展，港口码头的建设取得了很大的成就，港口起重机在起重运输领域中的作用日益增强。桥式起重机作为应用广泛的起重运输设备，在日常工作中要承受高载荷以及频繁而剧烈的振动冲击，其主梁结构经常发生裂纹损伤现象，安全运行存在极大的隐患。因此，为保证起重机的安全运行并对其健康状况进行监测，对主梁结构进行损伤识别研究尤为重要。
结构损伤会使结构的动力特性发生变化，在结构损伤前后分别测试结构的模态值，利用损伤指标方法能有效识别出结构的损伤。由于工程中存在着许多不确性定因素，例如温度的变化、力振幅的变化、动力测试噪声等，实测值与真实值之间总存在着误差，从而导致损伤识别问题成为不确定性问题[1]。因此，必须在确定性损伤识别研究的基础上，建立一种能比较合理地反映不确定性损伤识别概率的方法。BECK等[2]和KATAFYGIOTIS等[3]于1998年提出了基于貝叶斯模型修正及统计推断的基本框架，在此框架下VANIK等[4]建立了基于概率统计的健康监测方法。易伟建等[5]和李小华等[6]基于贝叶斯基本原理和
马尔科夫链蒙特卡洛（Markov chain Monte Carlo， MCMC）方法，对多层框架结构的局部加强的损伤情况进行了结构损伤诊断研究。房长宇等[7]考虑模型误差和测试噪声的影响，在基于动力响应的损伤识别中引入了贝叶斯估计理论，对轴力作用下的带损伤混凝土梁段进行了损伤识别。
因为结构振动频率的测量精度远高于振型的测量精度，而且频率的测量方法比较简单，所以本文通过测试结构振动频率的改变来识别结构的损伤。以单裂纹简支梁为例，基于传递矩阵法[8]推导出裂纹梁的频率特征方程，由此求出裂纹梁的低阶固有频率。以梁损伤前后两阶频率变化平方比为基础损伤指标，对简支梁结构在对称位置的裂纹损伤难以正确识别的问题[9]，采用对基础损伤指标进行积分处理的方法，构建新的损伤指标。基于贝叶斯推断理论分别建立损伤位置参数和损伤深度参数的后验概率分布，针对贝叶斯方程中分母维数高、积分困难的问题，采用MCMC方法，得到损伤位置参数和损伤深度参数的最优估计值，验证该方法的有效性。裂纹梁损伤参数识别研究思路框图见图1。
1裂纹梁频率特征方程推导
L，截面宽度和高度分别为b和h，其外侧边缘距离梁左端L0处有一深度为a的裂纹。弹性模量为E，截面惯性矩为I，密度为ρ，泊松比为ν。下面用传递矩阵法推导单裂纹简支梁的频率特征方程。
2贝叶斯推断和MCMC方法
2.1贝叶斯推断
贝叶斯推断是贝叶斯统计的核心，离散型随机变量的贝叶斯公式如下：
2.2马尔科夫过程
在式（2）中，
h（x）与样本观测值x有关，一般的蒙特卡洛模拟难以有效计算。MCMC方法通过在蒙特卡洛模拟中引进Metropolis准则，将模拟过程看成一个马尔科夫过程，模拟采样最终收敛于式（2）定义的概率分布。定义随机变量x的状态转移概率
为
P（i，j）=P（i→j）=P（Xt+1=sjXt=si）
它只取决于随机变量取值的当前状态，与过程无关。以此转移概率定义的随机变量x将最终达到一个静态分布π，与x的初始状态无关，满足π=πP，此时存在局部平衡：
P（j→k）π*j=P（k→j）π*k
它是π存在的充分条件。
2.3MetropolisHastings （MH）抽样算法
MH抽样算法[11]的基本思想是：假定要从目标概率密度函數
p（θ）（-∞<θ<+∞）中抽样，用MH抽样算法可以得到一条马尔科夫链，产生一条真值序列：
θ（1）→θ（2）→…→θ（t）→…
其中，θ（t）代表马尔科夫链中时刻t的状态。样本开始收敛前的迭代次数称为燃烧期，当经过k步燃烧期以后，抽样得到的序列可以近似反映目标分布p（θ），即通过平稳的马尔科夫链来近似等效替代未知的后验分布。具体的步骤如下：
（1）令t=1，产生初始值θ（0），令θ（t）=θ（0）。
（2）利用当前θ（t）值，从建议分布q（θ*|θ（t））中产生一个候选参数θ*。
（3）计算接受率：
ε=min1，p（θ*）p（θ（t））
（4）从均匀分布U（0，1）中产生一个随机数u。
（5）判断是否接受候选参数：若ε≥u则接受候选参数，即θ（t+1）=θ*；若ε<u则拒绝候选参数，即θ（t+1）=θ（t）。
（6）重复步骤（2）～（5），直至产生一个收敛序列，终止循环：t=T。
MH抽样算法是一种简单有效的数值模拟算法，能够解决从未知的后验分布中生成随机样本的问题。选择合理的建议分布对抽样的收敛效果有重要的影响。
3裂纹梁损伤参数识别
3.1基于频率变化平方比积分的损伤指标
文献[12]表明：当某一单元出现损伤或各损伤单元损伤深度相同时，结构损伤前后两阶频率变化的平方比
（dωi）2（dωj）2只与损伤位置有关，与损伤深度无关，故可以将其定义为损伤位置指标。不考虑结构损伤引起的质量变化时，（dωi）2ωi2只与损伤深度有关，故可以将其定义为损伤深度指标。
由于简支梁为对称结构，如果选择上述损伤指标，则在对称位置上损伤指标的值相同，识别结果不唯一，导致损伤参数无法识别。采用把原损伤指标对损伤参数进行积分处理的方法，保证了损伤指标与损伤参数的对应是唯一的，这样可以根据损伤指标有效地识别出损伤位置参数和损伤深度参数。损伤位置指标为
DL=
∫β0（dωi）2（dωj）2dβ，β为损伤位置参数，DL表征裂纹损伤位置参数的识别参量；损伤深度指标为DS=∫α0（dωi）2ωi2dα，α为损伤深度参数，DS
表征裂纹损伤深度参数的识别参量。
3.2先验分布
对于裂纹损伤
位置参数β和损伤深度参数α的先验概率分布，其选择依据主要是经验和相关文献资料。α和β在工程实践中为无信息先验分布，本文按照贝叶斯假设确定其先验分布。贝叶斯假设中的无信息先验分布指当参数θ的取值区间Θ和参数的含义已知、参数θ的其他信息均未知时，贝叶斯假设把取值区间Θ上的均匀分布视为θ的先验分布。按照此假设，损伤位置参数β和损伤深度参数α的先验分布为
3.3似然函数
由于工程中存在许多不确定性因素，例如温度的变化、力振幅的变化、动力测试噪声等，固有频率的测试值与真实值之间总存在着误差，测试值与理论计算值的误差符合线性模型：
4算例分析
4.1损伤指标的建立
设有一单裂纹简支梁模型，模型的几何参数和材料常数为：跨度L=1 m，截面宽度b=0.05 m，截面高度h=0.005 m，弹性模量E=207 GPa，密度ρ=7 800 kg/m3，泊松比ν=0.3。根据式（1）计算得出损伤位置参数、损伤深度参数与损伤前后两阶频率变化平方比的关系，见图3。图4为去除中间较大数据后损伤指标与损伤参数的关系图。
从图3和4可以看出，损伤前后两阶频率变化平方比在损伤位置参数0.5处呈现对称性，这与简支梁属于对称结构有关，对称结构的对称位置处发生相同的损伤将引起相同的频率变化量。为解决对称结构引起的损伤参数难以识别的问题，以损伤位置参数为自变量，对损伤前后两阶频率变化平方比进行积分处理，这样可以实现两者之间保持单调性，能有效识别对称结构的损伤情况。
图5给出了损伤深度参数α分别为0.1、0.3和
0.5时，损伤指标与损伤位置参数的关系。从图5可以看出，不同的损伤深度参数，其损伤指标与损伤位置参数的曲线在中间点呈现对称且均在水平轴上方。图6是损伤指标的积分值与损伤参数的关系图，两个变量之间保持单调性，因此对损伤指标进行积分处理可以实现对损伤参数的有效识别。
4.2样本值获取
用计算机进行仿真，测试值以生成正态分布随
机数的方式产生，理论值作为均值，标准差设为0.1。设梁上有一裂纹，损伤位置参数β=0.4，损伤深
度参数α=0.35，对应的第一阶和第二阶固有频率分别为73.558 rad/s和295.121 rad/s，各取10组样本值，样本数据见表1。
4.3基于MH算法的抽样过程
根据MH抽样算法，选取建议分布为正态分布，
β～N（β（t），σβ2），α～N（α（t），σα2），其中β和α为候选参数，β（t）和α（t）为上一次的迭代值，σβ2和σα2
为方差，这里选取（σβ2σα2）=（0.050.1）。在利用MCMC方法进行抽样前，必须对目标参数赋予初始值。选取不同的初始值，对后验均值最终的收敛没有任何影响，因此初始值的选取是任意的，可以根据相关的经验确定。随着迭代次数的增加，样本值最终会收敛于目标分布。
当损伤位置参数β和损伤深度参数α目标值分别为0.40和0.35时，设置其初始值分别为β=0.10，0.70，0.90和α=0.10，0.60，0.90，迭代次数N的最大值为2 000，通过仿真得到β和α的识别结果（马尔科夫链），见图7。
从图7可以看出，损伤位置参数和损伤深度参数取不同初始值时其识别结果均能达到预设目标值，预设初始值与目标值的距离将决定燃烧期的长度。损伤位置参数和损伤深度参数的馬尔科夫链均趋于预设目标值，且当迭代次数增加时波动较小，因此两个参数的马尔科夫链均是收敛的，达到了损伤识别的效果。
4.4损伤参数的识别结果
为降低所选初始值的影响，先去除前10%的后验样本，然后对后验样本进行频数统计，所得损伤位
置参数和损伤深度参数的后验分布频数直方图见图8。损伤位置参数集中在（0.39，0.41）区间内，其中0.40对应的频数最高；损伤深度参数集中在（0.34，0.36）区间内，其中0.35对应的频数最高。两个参数的后验分布频数直方图在它们取不同的初始值时都保持“瘦高”形状，类似正态分布，这与似然函数选取为正态分布的情形基本吻合。
5结论
本文用传递矩阵法推导了单裂纹简支梁频率特征方程，针对对称结构损伤参数难以识别的问题，采用对裂纹梁损伤前后频率变化平方比的基础损伤指标进行积分处理的方法，建立新的损伤指标。应用贝叶斯结构损伤诊断理论构建了损伤位置参数和损伤深度参数的后验函数。采用马尔科夫链蒙特卡洛（MCMC）方法解决了后验分布中存在高维积分难的问题，实现了对损伤参数的识别与估计。通过对简支裂纹梁的损伤估算和分析，验证了该方法的有效性，从而为梁类工程结构的损伤诊断和健康监测提供了参考。
参考文献：
[1]
MUTO M M. Application of stochastic simulation methods to system identification[D]. California： California Institute of Technology， 2007.
[2]BECK J L， KATAFYGIOTIS L S. Updating models and their uncertainties. I： Bayesianian statistical[J]. Journal of Engineering Mechanics， 1998， 124（4）： 455461.
[3]KATAFYGIOTIS L S， BECK J L. Updating models and their uncertainties. II： model identifiability[J]. Journal of Engineering Mechanics， 1998， 124（4）： 463467.
[4]VANIK M W， BECK J L， AU S K. Bayesianian probabilistic approach to structural health monitoring[J]. Journal of Engineering Mechanics， 2000， 126（7）： 738745.
[5]易伟建， 周云， 李浩. 基于贝叶斯统计推断的框架结构损伤诊断研究[J]. 工程力学， 2009， 26（5）： 121129.
[6]李小华， 公茂盛， 谢礼立. 基于多分辨率分析的结构物理参数识别贝叶斯估计方法： 方法推导与验证[J]. 工程力学， 2011， 28（1）： 1218.
[7]房长宇， 张耀庭， 马超. 基于贝叶斯理论评估轴力作用下带损伤段梁[J]. 科学技术与工程， 2014， 14（8）： 6569.
[8]芮筱亭. 多体系统传递矩阵法及其应用[M]. 北京： 科学出版社， 2008： 2395.
[9]杨秋伟， 刘济科. 结构损伤识别的附加质量方法[J]. 工程力学， 2009， 26（5）： 159163.
[10]RIZOS P F， ASPRAGATHOS N， DIMAROGONAS A D. Identification of crack location and magnitude in a cantilever beam from the vibration modes[J]. Journal of Sound & Vibration， 1990， 138（3）： 381388.
[11]康崇禄. 蒙特卡罗方法理论和应用[M]. 北京： 科学出版社， 2015： 86149.
[12]SALAWU O S. Detection of structural damage through changes in frequency： a review[J]. Engineering Structures， 1997， 19（9）： 718723.
（编辑贾裙平）
