基于扩展DFT的谐波检测算法的研究
张静 赵庆生 王旭平 郭尊
摘 要： 传统离散傅里叶变换（DFT）算法因其具有计算效率高，便于在嵌入式系统中应用的优点而广泛应用于谐波检测中，但其在非同步采样下，频谱泄露和柵栏效应的存在将会影响到测量结果的精确性。将扩展傅里叶变换（EDFT）应用于谐波检测中，EDFT以傅里叶积分变换为目标，在扩展的频率范围内优化变换基即利用变换基函数取代传统DFT变换中的指数基来构造信号的目标函数，并将原始数据通过迭代近似拟合从而使测量精度得以提高。经验证，在非同步采样和噪声存在的条件下，该方法依然有较高的频率分辨率和较强的抗干扰特性，适用于高精度测量或检测。
关键词： 非同步采样； DFT； 扩展傅里叶变换； 谐波检测
中图分类号： TN911.6?34 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2017）21?0175?05
Research on harmonic detection algorithm based on extended DFT
ZHANG Jing1， ZHAO Qingsheng1， WANG Xuping1， GUO Zun2
（1. Shanxi Key Laboratory of Power System Operation and Control， Taiyuan University of Technology， Taiyuan 030024， China；
2. School of Electrical and Electronic Engineering， North China Electric Power University， Beijing 102206， China）
Abstract： The traditional discrete Fourier transform （DFT） algorithm has fast computational efficiency and is convenient to apply to the embedded system， which is widely used in the harmonic detection. However， the available spectrum leakage and picket fence effect may influence the accuracy of the measuring result under the condition of asynchronous sampling. The extended discrete Fourier transform （EDFT） algorithm is applied to the harmonic detection. Taking the Fourier integral transform as the target of EDFT algorithm， the transform basis is optimized within the extended frequency range， for which the index basis in traditional DFT is replaced by the transform basis function to construct the target function of the signal. The original data is carried out with the iterative approximation fitting to improve the measuring accuracy. The simulation result shows that， under the conditions of asynchronous sampling and noise， the algorithm has high frequency resolution and strong anti?interference ability， and is suitable for the high?precision measurement or detection.
Keywords： asynchronous sampling； DFT； EDFT； harmonic detection
0 引 言
越来越多的非线性元件接入电网是电网波形失真的主要原因，谐波、间谐波和分谐波等的存在严重影响电力系统的电能质量[1]。精确的电能质量算法在电力系统安全检测、瞬态值估计和继电保护中起着重要的作用。
现如今谐波检测的主流算法有：Prony 算法[2]、小波变换法[3]和离散傅里叶变换（DFT）法[4]等。Prony 算法频率分辨率较高，但对噪声较敏感；小波变换法虽能滤除不同频率的信号从而提高频率分辨率，但其计算复杂且需DSP具有更强的数据处理能力；离散傅里叶变换（DFT）计算速度快，能较好地处理谐波，可以方便地应用于嵌入式系统中而成为电能质量计算中应用最广泛的算法之一。但在实际运行的电网中频率不会一直不变，就会引起非同步采样，频谱泄露和栅栏效应问题将会呈现，DFT计算精度就会受到严重影响。加窗插值DFT算法可减轻频谱泄露和栅栏效应，有效解决谐波和间谐波问题，但减小了频率分辨率[4]。
EDFT以傅里叶积分变换为目标，在扩展的频率范围内优化变换基，并将原始数据通过迭代从而近似拟合。文献[5]将EDFT应用于感应电动机的故障检测中，根据频域谐波幅值的变化来确定电机状态，谐波幅值百分比变化可以判断故障的严重程度。文献[6]将EDFT用于输电线路上的电弧故障检测和定位，EDFT能有效减少在基波和谐波计算时由指数衰减偏置所引起的误差，并将故障监测的时间缩短到3.25 ms。文献[7]基于EDFT设计出了可变带宽滤波器，所设计的滤波器具有更新简单、不太复杂、滤波效果显著等特性。
为了保证供电可靠性，越来越多的研究者开始研究和探索高精度的谐波检测算法。本文将EDFT算法应用于谐波检测中，该算法是对传统DFT算法的改进，在扩展频率范围内优化变换基，可有效提高测量精度、抗噪能力和频率分辨率等，为谐波检测提供了新的方向。
1 理论分析
1.1 非同步采样条件下传统DFT
传统的傅里叶变换在同步采样条件下能很好地处理和分析谐波，然而实际电网中频率在发生偏移，如果仍然以[Nf0]进行采样并且通过傅里叶变换计算时，因频谱泄露和栅栏效应，所得的精确度较低[8]。
设输入信号[x（t）]为只含基波的周期信号，信号模型为：
[x（t）=2Xcos2πf0+Δft+φ，-∞<t<+∞]
式中：[2X]为幅值；[φ]为初相位；[f0]为基波频率；[Δf]为频率偏移。采样信号可以表示为：
[x=2Xejφ（1）sinπΔff0NsinπΔfNf0（2）e-j（2φ+2π（N-1）（f+Δf）Nf0）（3）×1+sinπΔfNf0sinπ（2f0+Δf）Nf0e-j2φ+2π（N-1）（f+Δf）Nf0（4）] （2）
由式（2）可以看出，在同步采樣条件下，[Δf=0，]采样频率[fs=Nf0，]式（2）可化简为[x=2Xejφ。]由以上理论分析可见，同步采样下，计算结果与输入信号一致。然而当进行非同步采样时，第一部分是原始的幅值和相位；第二部分和第三部分分别表示当频率偏离标称值时，所产生的幅值和相位误差；第四部分为幅值和相角的旋转偏移量，与频率偏移[Δf]和初相[φ]有关[8]。通过以上分析可以看出传统的DFT在非同步采样下所产生的误差较大。
1.2 EDFT
为解决传统傅里叶变换算法由于频率变化而引起的频谱泄露和栅栏效应的问题，EDFT需对同步采样没有特殊要求，以傅里叶积分变换为目标，在扩展的频率范围内优化变换基将原始数据通过迭代近似拟合[9]。此外，该算法还可以增加频率分辨率，稳定性更高。
对连续时间信号[x（t）]进行傅里叶变换和逆变换：
[F（ω）=-∞∞x（t）e-jωtdt] （3）
[x（t）=12π-∞∞F（ω）ejωtdω] （4）
然而，实际的数值模拟还是在有限空间，即[-Θ2<t<θ2，]同步采样和非同步采样的信号分别表示为[x（kt）]和[x（tk）]，其中，[k=0，1，2，…，k-1，][k]是离散傅里叶序列长度。
EDFT的基本形式为：
[Fα（ω）=-Θ2Θ2x（t）α（ω，t）dt] （5）
同步采样条件下，EDFT计算式为：
[Fα（ω）=k=0K-1x（kT）α（ω，kT）] （6）
非同步采样条件下，EDFT计算式为：
[Fα（ω）=k=0K-1x（tk）α（ω，tk）] （7）
扩展傅里叶逆变换计算式：
[xα（t）=12π-ΩΩFα（ω）ejωtdω] （8）
用变换基[α（ω，t），α（ω，tk），α（ω，kT）]代替传统傅里叶变换的基[e-jωt]，为了使[F（ω）]与[Fα（ω）]接近，需构造函数：
[F（ω）-Fα（ω）2→min] （9）
然而，对于带限信号[F（ω）]直接求取是困难的，为使式（9）成立必须找一个表达式来替代，考虑在无限的时间间隔里用圆频率[ω0]和幅值谱[S（ω0）]来表示[x（t）]。
[F（ω）=-∞∞x（ω0，t）e-jωtdt=-∞∞S（ω0）ejω0te-jωtdt=2πS（ω0）δ（ω-ω0）] （10）
显然式（10）是在信号[x（t）]的幅值谱已知的情况下才成立的，因此，经过替换的目标函数为：
[Δ=-ΩΩ2πS（ω0）δ（ω-ω0）-Θ2Θ2S（ω0）ejω0tα（ω，t）dt2dω0] （11）
同步采样和非同步采样下的EDFT的目标函数就是将式（11）中的[Fα（ω）]用式（6）和式（7）替换并且用[ω0]和[S（ω0）]来表示[x（tk）]和[x（kT）]。要使目标函数最小即可得出信号[x（t）]下的[α（ω，t），][α（ω，kT），][α（ω，tk）]等。为了确定[S（ω0）]与时间序列[x（t），][x（tk）]和[x（kT）]对应的幅值谱[Sα（ω）]，当[Δ=0，ω=ω0]时，定义[Sα（ω）]为：
[Sα（ω）=-Θ2Θ2x（t）α（ω，t）dt-Θ2Θ2ejωtα（ω，t）dt] （12）
同理，同步采样和非同步采样条件下的幅值谱与式（12）类似。
2 EDFT的实现
EDFT对输入序列[X]进行[N]点的傅里叶变换，当[N]大于输入序列的长度时，会自动扩展输入序列至[N。]FFT通过补零的方式达到数据[N，]但补零并不会影响频率分辨率[10]。而EDFT主要基于现有数据和扩展频率来进行计算，频率分辨率得以提高。该方法可以用于连续频率和离散频率，在连续频率下的计算如下所示：
[Fα（ω）=S（ω）2XR-1Eω，-Ω≤ω≤Ω] （13）
[xα（t）=XR-1Et，-∞<t<∞]
[Sα（ω）=XR-1EωEHωR-1Eω] （15）
当然，EDFT在离散频率[-Ω<ωn<Ω]（其中[n=0，1，2，…，N-1]）下也能实现，EDFT迭代过程主要为：
第一步：设定功率谱向量的初始值为[W0=][[1，1，…，1]1×N]；
第二步：根据[W0]的初始值来确定自相关矩阵[R1；] </t</t</t
第三步：计算傅里叶变换[F1]、离散幅值谱[S1]、功率谱[W1，]为下一次迭代做准备。当迭代最大次数[I]达到或功率谱变化率小于所给定的阈值时迭代将会终止。
[Ri=E?diagWiN?EH] （16）
[Fi=XRi-1EWi] （17）
[Si=XRi-1E.I1×ME*.×（Ri-1E）] （18）
[Wi+1=Si.×Si*] （19）
[δp=sum（Wi）-sum（Wi-1）sum（Wi）] （20）
式中：{·}?1代表矩阵求逆；{·}H表示矩阵的共轭装置；[·×]代表元素间相乘；[sum（Wi）]代表所有行向量元素的和；[I1×M]代表[1×M]阶的所有元素为1的行向量；[I]乘以一个矩阵可以将矩阵的每行元素添加到一个行向量。
经过以上迭代过程进行近似拟合，迭代次数[i=1，2，…，I]（[I]是迭代的最大次数），其中矩阵[R]为相关矩阵，[W]为功率谱向量，[X]是同步采样下的[x（kT）]和非同步采样下的[x（tk）]，[E]包含元素[e-j2πfnkT]和[e-j2πfntk。][Fi]为第[i]次迭代所得的傅里叶变换结果，[Si]为第[i]次迭代所得的幅值谱结果，将其进行坐标变换即可获得所需的幅值和相角。算法的流程如图1所示。
3 算法验证
3.1 仿真算例
为了验证理论分析的正确性，对同步和非同步采樣条件下的EDFT进行验证。信号的原始频谱包括3个非重叠频域分量：在频率范围-0.5～-0.25内平坦的带限噪声，0～0.25间的矩形脉冲和在频率为0.35和0.412 5上有两个单位的功率复合指数。
对原始信号进行同步采样和非同步采样，同步采样的时间间隔是1 s，非同步采样的平均时间间隔是1 s，[tk=kT+τk，k=0，1，2，…，K-1]。其中[τk]是在0～0.8间均匀分布的随机值，采样点数选择[N=500，]上限频率[fu=0.5]Hz，分别对原始频谱进行传统的DFT变换和EDFT变换，并将两种方法的功率谱和相对分辨率的结果进行对比。图2，图3分别是扩展频率范围内同步采样和非同步采样条件下经DFT和EDFT后所得的功率谱[10?lgS2]计算结果。
对比图2（a）和图3（a）可得，非同步采样下传统DFT的误差较大，所得结果与式（2）分析相一致。然而由图2（b），图3（b）可看出EDFT在同步采样和非同步采样条件下误差都较小，与原始频谱接近，由此可以得出EDFT适用于高精度的测量中。谐波检测需要考虑的另一个因素是相对频率分辨率，传统DFT和EDFT的相对频率分辨率对比如图4所示。
由图4可看出传统的DFT算法由[1（2fuTs）]计算出的相对频率分辨率函数值为常数1，如实线所示，频率为0.35 Hz的时频率分辨率达到最大值（最大值为[NK≈8]），而在频率为0.412 5 Hz时没有达到最大值，因为频率间隔[2fuN=0.002]Hz，0.412 5 Hz在两个频率间隔的中间，频率分辨率达不到最大值。从图4中所示的结果可以看出传统DFT和EDFT算法性能上的差异，利用传统的DFT方法由于频谱泄漏的影响，不能准确分辨0.35 Hz和0.412 5 Hz的频率，而EDFT能准确分辨这两个频率点，充分体现了本文算法具有的超高频率分辨率特性。
为了验证在噪声存在条件下EDFT依然能有较高的精度，本文将幅值为0.5，1，2.5，3.5，初始相位任意的4个正弦信号和信噪比为15 dB的高斯噪声作为原始数据，在非同步采样条件下分别进行传统DFT变换和EDFT变换，所得结果如图5和图6所示。其中，图5（a）所示的是原始数据，图5（b）圈代表原始数据的幅值，点线、实线分别是DFT变换和EDFT变换所得的结果。图6（a）是DFT和EDFT在噪声存在情况下进行非同步采样相对频率分辨率高低的对比，图6（b）是将原始的时域数据与逆EDFT变换所得结果进行对比。
从图5（b）可以看出，传统DFT不能识别出弱小的信号，而EDFT能准确地识别出各种信号，并且能对幅值进行精确的估计。图6（a）中传统DFT的频率分辨率[1（2fuTs）=KN=0.064，]其值远小于信号处理的需要，将会导致频谱泄露和栅栏效应；而EDFT的频率分辨率通过式[12fuTsKF.S=1NF.S]计算所得，增加了[NK]倍，由图中点线可以看出最大值接近1。从图6（b）中可以看出扩展逆DFT用于输出长度为[N]的序列，其中包括[K]点的原始数据和[N-K]点插值序列。
3.2 实例分析
为了观察非线性负载对电压的影响，将某可监测电压的装置接入220/380 V电压等级的测试点，负载主要包括功率为3 kW的三相交流电机和24 kW焊接炉。实验所得电压波形如图7所示，取实测电压数据中间有谐波的数据进行EDFT和传统DFT分析，结果如图8所示。
从图8中可以清晰地看出，电网中的频率成分主要为50 Hz，DFT和EDFT都能准确地检测出基波和高次谐波（200 Hz），但是传统DFT由于频谱泄露和混叠，频谱很容易受附近频率成分的干扰，并不能检测出间谐波。而EDFT还可以检测出频率为25 Hz（幅值150.02 V），87.5 Hz（幅值78.33 V）、112.5 Hz（幅值73.58 V）和162 Hz（幅值69.35 V）的间谐波。由此可看出EDFT有较高的频率分辨率。
4 结 语
本文针对传统DFT算法在非同步采样下，影响到电能质量测量结果的精确性，将EDFT方法应用于谐波检测中。实验结果表明，在非同步采样和噪声存在的条件下，EDFT方法相比DFT方法有较高的频率分辨率和较强的抗干扰特性，为谐波检测提供了新方法。
参考文献
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[2] 趙庆生，王宇，郭贺宏，等.扩展Prony算法在电力系统非整次谐波检测中的应用研究[J].电测与仪表，2016，53（7）：57?60.
[3] 李正明，徐敏，潘天红，等.基于小波变换和HHT的分布式并网系统谐波检测方法[J].电力系统保护与控制，2014，42（4）：34?39.
[4] 马令坤，吴波.基于DFT的周期信号谐波特性测试与仿真研究[J].计算机仿真，2015，32（11）：207?211.
[5] TREETRONG J. Fault detection of electric motors based on frequency and time?frequency analysis using extended DFT [J]. International journal of control & automation， 2011， 4（1）： 49?58.
[6] LIN Y H， LIU C W， CHEN C S. A new PMU?based fault detection/location technique for transmission lines with conside?ration of arcing fault discrimination?part Ⅱ： performance evaluation [J]. IEEE transactions on power delivery， 2004， 19（4）： 1594?1601.
[7] 吴伟，唐斌.基于EDFT的可变带宽滤波器设计[J].仪器仪表学报，2007，28（5）：826?831.
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[9] CACIOTTA M， GIARNETTI S， LECCESE F， et al. Comparison between DFT， adaptive window DFT and EDFT for power quality frequency spectrum analysis [C]// Proceedings of 2010 International Symposium on Modern Electric Power Systems. Wroclaw： IEEE， 2010： 1?5.
[10] 张鸿博，蔡晓峰，鲁改凤，等.基于改进双谱线插值FFT算法的电力谐波分析[J].水电能源科学，2014，32（10）：185?188.
摘 要： 传统离散傅里叶变换（DFT）算法因其具有计算效率高，便于在嵌入式系统中应用的优点而广泛应用于谐波检测中，但其在非同步采样下，频谱泄露和柵栏效应的存在将会影响到测量结果的精确性。将扩展傅里叶变换（EDFT）应用于谐波检测中，EDFT以傅里叶积分变换为目标，在扩展的频率范围内优化变换基即利用变换基函数取代传统DFT变换中的指数基来构造信号的目标函数，并将原始数据通过迭代近似拟合从而使测量精度得以提高。经验证，在非同步采样和噪声存在的条件下，该方法依然有较高的频率分辨率和较强的抗干扰特性，适用于高精度测量或检测。
关键词： 非同步采样； DFT； 扩展傅里叶变换； 谐波检测
中图分类号： TN911.6?34 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2017）21?0175?05
Research on harmonic detection algorithm based on extended DFT
ZHANG Jing1， ZHAO Qingsheng1， WANG Xuping1， GUO Zun2
（1. Shanxi Key Laboratory of Power System Operation and Control， Taiyuan University of Technology， Taiyuan 030024， China；
2. School of Electrical and Electronic Engineering， North China Electric Power University， Beijing 102206， China）
Abstract： The traditional discrete Fourier transform （DFT） algorithm has fast computational efficiency and is convenient to apply to the embedded system， which is widely used in the harmonic detection. However， the available spectrum leakage and picket fence effect may influence the accuracy of the measuring result under the condition of asynchronous sampling. The extended discrete Fourier transform （EDFT） algorithm is applied to the harmonic detection. Taking the Fourier integral transform as the target of EDFT algorithm， the transform basis is optimized within the extended frequency range， for which the index basis in traditional DFT is replaced by the transform basis function to construct the target function of the signal. The original data is carried out with the iterative approximation fitting to improve the measuring accuracy. The simulation result shows that， under the conditions of asynchronous sampling and noise， the algorithm has high frequency resolution and strong anti?interference ability， and is suitable for the high?precision measurement or detection.
Keywords： asynchronous sampling； DFT； EDFT； harmonic detection
0 引 言
越来越多的非线性元件接入电网是电网波形失真的主要原因，谐波、间谐波和分谐波等的存在严重影响电力系统的电能质量[1]。精确的电能质量算法在电力系统安全检测、瞬态值估计和继电保护中起着重要的作用。
现如今谐波检测的主流算法有：Prony 算法[2]、小波变换法[3]和离散傅里叶变换（DFT）法[4]等。Prony 算法频率分辨率较高，但对噪声较敏感；小波变换法虽能滤除不同频率的信号从而提高频率分辨率，但其计算复杂且需DSP具有更强的数据处理能力；离散傅里叶变换（DFT）计算速度快，能较好地处理谐波，可以方便地应用于嵌入式系统中而成为电能质量计算中应用最广泛的算法之一。但在实际运行的电网中频率不会一直不变，就会引起非同步采样，频谱泄露和栅栏效应问题将会呈现，DFT计算精度就会受到严重影响。加窗插值DFT算法可减轻频谱泄露和栅栏效应，有效解决谐波和间谐波问题，但减小了频率分辨率[4]。
EDFT以傅里叶积分变换为目标，在扩展的频率范围内优化变换基，并将原始数据通过迭代从而近似拟合。文献[5]将EDFT应用于感应电动机的故障检测中，根据频域谐波幅值的变化来确定电机状态，谐波幅值百分比变化可以判断故障的严重程度。文献[6]将EDFT用于输电线路上的电弧故障检测和定位，EDFT能有效减少在基波和谐波计算时由指数衰减偏置所引起的误差，并将故障监测的时间缩短到3.25 ms。文献[7]基于EDFT设计出了可变带宽滤波器，所设计的滤波器具有更新简单、不太复杂、滤波效果显著等特性。
为了保证供电可靠性，越来越多的研究者开始研究和探索高精度的谐波检测算法。本文将EDFT算法应用于谐波检测中，该算法是对传统DFT算法的改进，在扩展频率范围内优化变换基，可有效提高测量精度、抗噪能力和频率分辨率等，为谐波检测提供了新的方向。
1 理论分析
1.1 非同步采样条件下传统DFT
传统的傅里叶变换在同步采样条件下能很好地处理和分析谐波，然而实际电网中频率在发生偏移，如果仍然以[Nf0]进行采样并且通过傅里叶变换计算时，因频谱泄露和栅栏效应，所得的精确度较低[8]。
设输入信号[x（t）]为只含基波的周期信号，信号模型为：
[x（t）=2Xcos2πf0+Δft+φ，-∞<t<+∞]
式中：[2X]为幅值；[φ]为初相位；[f0]为基波频率；[Δf]为频率偏移。采样信号可以表示为：
[x=2Xejφ（1）sinπΔff0NsinπΔfNf0（2）e-j（2φ+2π（N-1）（f+Δf）Nf0）（3）×1+sinπΔfNf0sinπ（2f0+Δf）Nf0e-j2φ+2π（N-1）（f+Δf）Nf0（4）] （2）
由式（2）可以看出，在同步采樣条件下，[Δf=0，]采样频率[fs=Nf0，]式（2）可化简为[x=2Xejφ。]由以上理论分析可见，同步采样下，计算结果与输入信号一致。然而当进行非同步采样时，第一部分是原始的幅值和相位；第二部分和第三部分分别表示当频率偏离标称值时，所产生的幅值和相位误差；第四部分为幅值和相角的旋转偏移量，与频率偏移[Δf]和初相[φ]有关[8]。通过以上分析可以看出传统的DFT在非同步采样下所产生的误差较大。
1.2 EDFT
为解决传统傅里叶变换算法由于频率变化而引起的频谱泄露和栅栏效应的问题，EDFT需对同步采样没有特殊要求，以傅里叶积分变换为目标，在扩展的频率范围内优化变换基将原始数据通过迭代近似拟合[9]。此外，该算法还可以增加频率分辨率，稳定性更高。
对连续时间信号[x（t）]进行傅里叶变换和逆变换：
[F（ω）=-∞∞x（t）e-jωtdt] （3）
[x（t）=12π-∞∞F（ω）ejωtdω] （4）
然而，实际的数值模拟还是在有限空间，即[-Θ2<t<θ2，]同步采样和非同步采样的信号分别表示为[x（kt）]和[x（tk）]，其中，[k=0，1，2，…，k-1，][k]是离散傅里叶序列长度。
EDFT的基本形式为：
[Fα（ω）=-Θ2Θ2x（t）α（ω，t）dt] （5）
同步采样条件下，EDFT计算式为：
[Fα（ω）=k=0K-1x（kT）α（ω，kT）] （6）
非同步采样条件下，EDFT计算式为：
[Fα（ω）=k=0K-1x（tk）α（ω，tk）] （7）
扩展傅里叶逆变换计算式：
[xα（t）=12π-ΩΩFα（ω）ejωtdω] （8）
用变换基[α（ω，t），α（ω，tk），α（ω，kT）]代替传统傅里叶变换的基[e-jωt]，为了使[F（ω）]与[Fα（ω）]接近，需构造函数：
[F（ω）-Fα（ω）2→min] （9）
然而，对于带限信号[F（ω）]直接求取是困难的，为使式（9）成立必须找一个表达式来替代，考虑在无限的时间间隔里用圆频率[ω0]和幅值谱[S（ω0）]来表示[x（t）]。
[F（ω）=-∞∞x（ω0，t）e-jωtdt=-∞∞S（ω0）ejω0te-jωtdt=2πS（ω0）δ（ω-ω0）] （10）
显然式（10）是在信号[x（t）]的幅值谱已知的情况下才成立的，因此，经过替换的目标函数为：
[Δ=-ΩΩ2πS（ω0）δ（ω-ω0）-Θ2Θ2S（ω0）ejω0tα（ω，t）dt2dω0] （11）
同步采样和非同步采样下的EDFT的目标函数就是将式（11）中的[Fα（ω）]用式（6）和式（7）替换并且用[ω0]和[S（ω0）]来表示[x（tk）]和[x（kT）]。要使目标函数最小即可得出信号[x（t）]下的[α（ω，t），][α（ω，kT），][α（ω，tk）]等。为了确定[S（ω0）]与时间序列[x（t），][x（tk）]和[x（kT）]对应的幅值谱[Sα（ω）]，当[Δ=0，ω=ω0]时，定义[Sα（ω）]为：
[Sα（ω）=-Θ2Θ2x（t）α（ω，t）dt-Θ2Θ2ejωtα（ω，t）dt] （12）
同理，同步采样和非同步采样条件下的幅值谱与式（12）类似。
2 EDFT的实现
EDFT对输入序列[X]进行[N]点的傅里叶变换，当[N]大于输入序列的长度时，会自动扩展输入序列至[N。]FFT通过补零的方式达到数据[N，]但补零并不会影响频率分辨率[10]。而EDFT主要基于现有数据和扩展频率来进行计算，频率分辨率得以提高。该方法可以用于连续频率和离散频率，在连续频率下的计算如下所示：
[Fα（ω）=S（ω）2XR-1Eω，-Ω≤ω≤Ω] （13）
[xα（t）=XR-1Et，-∞<t<∞]
[Sα（ω）=XR-1EωEHωR-1Eω] （15）
当然，EDFT在离散频率[-Ω<ωn<Ω]（其中[n=0，1，2，…，N-1]）下也能实现，EDFT迭代过程主要为：
第一步：设定功率谱向量的初始值为[W0=][[1，1，…，1]1×N]；
第二步：根据[W0]的初始值来确定自相关矩阵[R1；] </t</t</t
第三步：计算傅里叶变换[F1]、离散幅值谱[S1]、功率谱[W1，]为下一次迭代做准备。当迭代最大次数[I]达到或功率谱变化率小于所给定的阈值时迭代将会终止。
[Ri=E?diagWiN?EH] （16）
[Fi=XRi-1EWi] （17）
[Si=XRi-1E.I1×ME*.×（Ri-1E）] （18）
[Wi+1=Si.×Si*] （19）
[δp=sum（Wi）-sum（Wi-1）sum（Wi）] （20）
式中：{·}?1代表矩阵求逆；{·}H表示矩阵的共轭装置；[·×]代表元素间相乘；[sum（Wi）]代表所有行向量元素的和；[I1×M]代表[1×M]阶的所有元素为1的行向量；[I]乘以一个矩阵可以将矩阵的每行元素添加到一个行向量。
经过以上迭代过程进行近似拟合，迭代次数[i=1，2，…，I]（[I]是迭代的最大次数），其中矩阵[R]为相关矩阵，[W]为功率谱向量，[X]是同步采样下的[x（kT）]和非同步采样下的[x（tk）]，[E]包含元素[e-j2πfnkT]和[e-j2πfntk。][Fi]为第[i]次迭代所得的傅里叶变换结果，[Si]为第[i]次迭代所得的幅值谱结果，将其进行坐标变换即可获得所需的幅值和相角。算法的流程如图1所示。
3 算法验证
3.1 仿真算例
为了验证理论分析的正确性，对同步和非同步采樣条件下的EDFT进行验证。信号的原始频谱包括3个非重叠频域分量：在频率范围-0.5～-0.25内平坦的带限噪声，0～0.25间的矩形脉冲和在频率为0.35和0.412 5上有两个单位的功率复合指数。
对原始信号进行同步采样和非同步采样，同步采样的时间间隔是1 s，非同步采样的平均时间间隔是1 s，[tk=kT+τk，k=0，1，2，…，K-1]。其中[τk]是在0～0.8间均匀分布的随机值，采样点数选择[N=500，]上限频率[fu=0.5]Hz，分别对原始频谱进行传统的DFT变换和EDFT变换，并将两种方法的功率谱和相对分辨率的结果进行对比。图2，图3分别是扩展频率范围内同步采样和非同步采样条件下经DFT和EDFT后所得的功率谱[10?lgS2]计算结果。
对比图2（a）和图3（a）可得，非同步采样下传统DFT的误差较大，所得结果与式（2）分析相一致。然而由图2（b），图3（b）可看出EDFT在同步采样和非同步采样条件下误差都较小，与原始频谱接近，由此可以得出EDFT适用于高精度的测量中。谐波检测需要考虑的另一个因素是相对频率分辨率，传统DFT和EDFT的相对频率分辨率对比如图4所示。
由图4可看出传统的DFT算法由[1（2fuTs）]计算出的相对频率分辨率函数值为常数1，如实线所示，频率为0.35 Hz的时频率分辨率达到最大值（最大值为[NK≈8]），而在频率为0.412 5 Hz时没有达到最大值，因为频率间隔[2fuN=0.002]Hz，0.412 5 Hz在两个频率间隔的中间，频率分辨率达不到最大值。从图4中所示的结果可以看出传统DFT和EDFT算法性能上的差异，利用传统的DFT方法由于频谱泄漏的影响，不能准确分辨0.35 Hz和0.412 5 Hz的频率，而EDFT能准确分辨这两个频率点，充分体现了本文算法具有的超高频率分辨率特性。
为了验证在噪声存在条件下EDFT依然能有较高的精度，本文将幅值为0.5，1，2.5，3.5，初始相位任意的4个正弦信号和信噪比为15 dB的高斯噪声作为原始数据，在非同步采样条件下分别进行传统DFT变换和EDFT变换，所得结果如图5和图6所示。其中，图5（a）所示的是原始数据，图5（b）圈代表原始数据的幅值，点线、实线分别是DFT变换和EDFT变换所得的结果。图6（a）是DFT和EDFT在噪声存在情况下进行非同步采样相对频率分辨率高低的对比，图6（b）是将原始的时域数据与逆EDFT变换所得结果进行对比。
从图5（b）可以看出，传统DFT不能识别出弱小的信号，而EDFT能准确地识别出各种信号，并且能对幅值进行精确的估计。图6（a）中传统DFT的频率分辨率[1（2fuTs）=KN=0.064，]其值远小于信号处理的需要，将会导致频谱泄露和栅栏效应；而EDFT的频率分辨率通过式[12fuTsKF.S=1NF.S]计算所得，增加了[NK]倍，由图中点线可以看出最大值接近1。从图6（b）中可以看出扩展逆DFT用于输出长度为[N]的序列，其中包括[K]点的原始数据和[N-K]点插值序列。
3.2 实例分析
为了观察非线性负载对电压的影响，将某可监测电压的装置接入220/380 V电压等级的测试点，负载主要包括功率为3 kW的三相交流电机和24 kW焊接炉。实验所得电压波形如图7所示，取实测电压数据中间有谐波的数据进行EDFT和传统DFT分析，结果如图8所示。
从图8中可以清晰地看出，电网中的频率成分主要为50 Hz，DFT和EDFT都能准确地检测出基波和高次谐波（200 Hz），但是传统DFT由于频谱泄露和混叠，频谱很容易受附近频率成分的干扰，并不能检测出间谐波。而EDFT还可以检测出频率为25 Hz（幅值150.02 V），87.5 Hz（幅值78.33 V）、112.5 Hz（幅值73.58 V）和162 Hz（幅值69.35 V）的间谐波。由此可看出EDFT有较高的频率分辨率。
4 结 语
本文针对传统DFT算法在非同步采样下，影响到电能质量测量结果的精确性，将EDFT方法应用于谐波检测中。实验结果表明，在非同步采样和噪声存在的条件下，EDFT方法相比DFT方法有较高的频率分辨率和较强的抗干扰特性，为谐波检测提供了新方法。
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